九年级数学上册第22章课件

距离为3.05m.
y
问题1 建立如图所示的直角坐标系，
求抛物线的解析式；
问题2这位同学身高1.7 m,若
在这次跳投中，球在头顶上
3.5m
方0.25 m处出手，问：球出
手时，他跳离地面的高度是
多少？
3.05 m
o
2.5m 4 m
x
2.你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形 状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、 乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学 生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米 处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知 学生丙的身高是1.5米，请你算一算学生丁的身高。
练一练 1、函数y=ax2-ax+3x+1的图象与x轴有且只有一 个交点，那么a的值和交点坐标分别为 9或1 。
2、写出一个开口向下，对称轴是直线x=3， 且与y轴交于（0，-2）的抛物线解析式。
3、把抛物线y=-3x2绕着它的顶点旋转1800后所
得的图象解析式是 y=3x2
。
4、已知二次函数y=a（x-h）2+k的图象过原点， 最小值是-8，且形状与抛物线y=0.5x2-3x-5的形
b 2a
3 时，S最大值＝
4ac b2 4a
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
5.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不 计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该 生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累 计为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养 费用为2万元，到第2年为6万元。
y丙
丁
(1,1.5)
(0,1)
1m
(4,1)
甲 o 1m
2.5m 4m
乙
x
3.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（a>b > 0），今在四边上分别选取E、F、G、H四点，且 AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使 花园面积最大？
D
GC
H
Fb
AE
B
a
4.（新疆生产建设兵团改编） 如图，在一面靠墙的空地上用长为 24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的 宽AB为x米，面积为S平方米。
次函数y=ax2+c的图象大致为（B ）
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
（3）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下 列说法正确的是（ ）
A abc>0
y
B a>0,b2-4ac<0
C 当x=1时，函数有最大
值为-1
D 当x=1时，函数有最小值为 O 1
x
-1
-1
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
A
D
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0<x<6）

C
(2)当x＝
（8）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在x轴上， 求c的值
（9）已知二次函数y=x2+4x+c的顶点坐标在直线y=2x+1 上，求c的值
如何求抛物线解析式常用的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
__y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(_a_≠__0_) 一般式
2、已知抛物线顶点坐标（m, k），通常 设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_+_m_)_2_+_k_(_a_≠_ 0)
(4) y=2x2+4x-5是由 y=2x2向 左 平移 1 个单位，再 向 下 平移 7 个单位得到
(5) y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到
函数解析式是 y=2(x+2)2-3
。
（6）已知二次函数y=x2-4x-5 ， 求下列问题
①开口方向 ②对称轴
③顶点坐标
③最值
④怎样平移
⑥与坐标轴的交点坐标
⑤x在什么范围，y随x 增大而增大
⑦当x为何值时，y>0
⑧与x轴的交点坐标为A,B,与y轴的交点为C,则 S∆ABC= y=-.2(x+1)2-8
⑨在抛物线上是否存在点P,使得S∆ABP是∆ABC面积的 2倍,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明 理由
（7）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标（1，-2），求 b，c的值
则b=
±8。
8、已知y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随 x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减 小，则k的值为 10 。
综合应用 (中考必考题）
1. 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处
跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运
行的水平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，
然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
（0，3）
B、C，抛物线y= -x2+bx+c
C
经过点B、C，点A是抛物线 A
B（3，0）
与x轴的另一个交点。
（-1，0）o E（1，0） x
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，求四边形ABDC
的面积；
解：S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S △EBD
=
1 AO ·OC +
1（OC+ED） ·OE+
1 EB ·ED
=
12 2 × 1×3+
2 1 × （3+4） × 1+ 2
1
×
2
2
3-1 ×4
=9
7.如图，已知直线 y= x+3与X轴、y轴分别交于点 B、C，抛物线y= -x2+bx+c 经过点B、C，点A是抛物线 与x轴的另一个交点。
y
（0，3）
CP
A
oQ
B（3，0）
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（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）. （2）已知点C（0，-2），直线AC与BO交于点D，与
该抛物线对称轴交于点E，且△OCD≌△BED，求m的 值. （3）在由（2）确定的抛物线上有一点N（n，5/3),N在对称轴左侧，点F,G在对称轴上，F在G的上 方，且FG=1，当四边形ONGF的周长最小时： ① 求点F的坐标； ② 设点P在抛物线上，在y轴上是否存在点H，使以 N,F,H,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
二次函数复习
一、二次函数概念
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函 数叫做二次函数
其中二次项为ax2，一次项为bx，常数项c 二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项c
练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²,
y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
b2-4ac<0
（1）已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
a__＜_0, b__＜__0, c___＞__0, abc__＞__0
b2-4ac___＞__0 a+b+c___＜__0, a-b+c__＞__0 4a-2b+c__＞___0
-2 -1 0 1
（2）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元
（3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
7. 如图，已知直线 y= -
y
x+3与X轴、y轴分别交于点 B、C，抛物线y= -x2+bx+c
（0，3）
C
经过点B、C，点A是抛物线 A
1、根据下列表格的对应值：
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个
解的范围是 （
）
Ａ、3＜x＜3.23
Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25
Ｄ、3.25＜x＜3.26
（1）求y的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？
解:（1）由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=2+4=6,分别代入 y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6, 解得:a=1,b=1, ∴y=x2+x.
（2）设g＝33x-100-x2-x,则 g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156. 由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=4时，即第4年可 收回投资。
6.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出 时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量 减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且
为整数）
与x轴的另一个交点。
o
（1）求抛物线的解析式；
B（3，0）
x
解：令y=0，则 –x+3=0，x=3， ∴B（3，0），
令x=0， 则y=3，
∴C（0，3），
｛ ｛ 得 -9+3b+c=0 解得 b=2
c=3
c=3
∴ y= -x2+2x+3
7.如图，已知直线 y= x+3与X轴、y轴分别交于点
y D（1，4）
顶点式
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为y_=_a_(_x_-_x_1_)_(_x_-_x_2) (a≠0)
交点式或两根式
4.公式法
如何求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2）。
x
（3）若点P在直线 BC上且
S△PAC=
1 2
S
△PAB，求P的坐标；
（4）第（3）题改为在直线y= -x+3上是否存在 点坐标P，；使若S不△PA存C=在，12说S明△P理AB？由若。存答在案，一求样出吗点？P的
P
y
（0，3）
C
A
Q
o
y
（0，3） CP
B（3，0） A
x
oQ
（B 3，0 x
（14）（ •乌鲁木齐）在平面直角坐标系xOy中， 抛物线y=mx²-2x与x轴正半轴交于点A，顶点 为B.
2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函 数？
二.二次函数图象
y=ax2+k
顶点式
一般式 y=ax2+bx+c
平移
对称 轴 顶点 坐标 最值
增减 性
y=ax2
直线x=0
(0,0)
a>0当 x=0,y最小 =0
y=a(x+m)2
y=a(x+m)2+k
y a x
b
2
3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
4.矩形的周长为60，长为x，面积为y，则y关于
x的函数关系式
。
如何判别a、b、c、b2-4ac，2a+b，a+b+c的符 号
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
4ac
b2
2a 4a
直线x=-m 直线x=-m
直线x b 2a
(-m,0)
a>0当x=m,y最小=0
(-m,k)
a>0当x=m,y最小=k
a>0，x≤-m,y随x
增大而减小 x≥-
m,y随x增大而增大
( b , 4ac b2 ) a 20,a当x b4,a
2a
y最小 4ac b2 )
关于对称轴的对称点
(0, c)
( b , c) a
(1) y=2(x+2)2是由 y=2x2 向 左平移 2 个单位得到
(2) y=-2x2-2是由 y=-2x2向 下 平移 2 个单位得到
(3) y=-2(x-2)2+3是由 y=-2x2 向右 平移 2 个单位
，再向 上 平移 3 个单位得到
状相同，其解析式为 y=0.5（x-16。）2-8
5、若x为任意实数，则二次函数y=x2+2x+3的函
数值y的取值范围是 y≥2 。
6、抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向
左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，
则b= 8 ，c=
3。
7、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，
a>0，x≤-b/42aa,y
随x增大而减小
x≥-b/2a,y随x增大 而增大
2.二次函数图象的画法 对称轴直线x= b 2a
y
( b , c) a
顶点坐标（ b ，4ac b2 ）
c
2a
4a
与X轴的交点坐标
x1
O x2
x (x1,0) (x2,0)
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
与Y轴的交点坐标及它