2020届高三数学(理)“小题精练”29

2020届高三数学（理）“小题速练”29
13. 14. 15. 16. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数z =
2
1i
+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{}
2
30,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()
R C M N =（ ）
A ．{}
37x x <≤
B ．{}
37x x ≤≤
C ．{}13x x ≤≤
D ．{}
13x x ≤<
3．下列叙述中正确的是（ ）
A ．函数2
22
()2
f x x x =+
+的最小值是2 B ．“04m <”是“210mx mx ++”的充要条件
C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2
000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=
D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题
4．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为的实轴长为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．函数3x x
e e y x x
--=-的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积
为（ ）
A B C D ．(4π+7．设a =20．1，b =ln 1
2，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．b >c >a
8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．213log 32
+
B ．2log 3
C ．2
D ．3
9．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，其图象关于直线4x π=对称
B ．()y f x =在,04π⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递增，其图象关于直线2x π
=对称
C ．()y f x =在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，其图象关于直线4x π=对称
D ．()y f x =在,04π⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递减，其图象关于直线2x π
=对称
10．6
(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．
23
B ．2
C ．2-
D ．23
-
11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为
12
R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）
A ．
16
9
π B ．
163
π C ．
649
π D ．
643
π 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．2
13e -
B ．2
16e -
C ．
2
16e D ．
2
13e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-，若()
3//a b a +，则实数k = ． 15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C
于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则AQ
QF
= ． 16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ．
2020届高三数学（理）“小题速练”29（答案解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数z =
2
1i
+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --=
===-++-，∴复数21i
z =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限，故选D ．
2．已知集合{}
2
30,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()
R C M N =（ ）
A ．{}
37x x <≤ B ．{}
37x x ≤≤
C ．{}13x x ≤≤
D ．{}
13x x ≤<
【答案】C
【解析】由{}{2
303M x x x x x =->=>或}0x <，∴{}
03R C M x x =≤≤，又
{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选C ．
3．下列叙述中正确的是（ ）
A ．函数2
2
2
()2
f x x x =+
+的最小值是2 B ．“04m <”是“210mx mx ++”的充要条件
C ．若命题2:,10p x R x x ∀∈-+≠，则2
000:,10p x R x x ⌝∃∈-+=
D ．“已知,x y R ∈，若1xy <，则,x y 都不大于1”的逆否命题是真命题 【答案】C
【解析】对于A ：()2
222222222f x x x x x =+
=++-++2≥中，2
2222
x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当1
3
x =，2y =时1
xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，∴D 错，故选C ．
4．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为的实轴长为（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】∵双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a
=±，∵两条渐近线互相垂
直，∴2
1b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得a b =，∵双曲线焦距为c =222c a b =+可知
228a =，∴2a =，∴实轴长为24a =，故选B ．
5．函数3x x
e e y x x
--=-的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】令()3x x
e e
f x x x
--=-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，图像关于y 轴对称，
排除C 选项．由30x x -≠，解得0x ≠且1x ≠±．()0.50.510.50
0.1250.5
e e
f -
=<-，排除D 选项．()1010
1101100010
e e
f -=
>-，故可排除B 选项．故选A ． 6．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A
．
(43π+ B
．(86π+ C
．(83
π+ D
．(4π+【答案】B
【解析】该几何体是圆锥的一半与一四棱锥的组合体．圆锥底半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高均为
B ． 7．设a =20．1，b =ln 1
2，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a >b >c B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．b >c >a
【答案】B
【解析】由题意得a =20．1>1，b =ln 1
2<0，c =log 32∈(0，1)，∴a >c >b ，故选B ． 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．21
3log 32
+ B ．2log 3
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】模拟程序的运行，可得s ＝3，i=1；满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log i=2；
满足条件i 3≤，执行循环体s ＝3+log log i=3；满足条件i 3≤，执行循环体，
s ＝3+log 4log log =，i=4；不满足条件i 3≤，退出循环，输出s 的值为s ＝242log =；故选C ． 9．设函数()3sin 2cos 244f x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则（ ） A ．()y f x =在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，其图象关于直线4x π=对称
B ．()y f x =在,04π⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递增，其图象关于直线2x π
=对称
C ．()y f x =在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减，其图象关于直线4x π=对称
D ．()y f x =在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减，其图象关于直线2x π
=对称
【答案】B
【解析】∵(
)3sin 2cos 2244f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+
+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2
π
ππ-
+≤≤∈k x k k Z ，
由222,k x k k Z πππ≤≤+∈得,2
π
ππ≤≤
+∈k x k k Z ，
即()y f x =的单调递增区间为,,2π
ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ；单调递减区间为,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ；∴()y f x =在,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增；由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=
∈；即函数()y f x =的对称轴为：,2
k x k Z π=∈；因此其图象关于直线2x π
=
对称，故选B ．
10．6
(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．
2
3
B ．2
C ．2-
D ．23
-
【答案】B
【解析】6
(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3
620C =，故
6
(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为
1201510a ⨯-=-，解得2a =，故选B ．
11．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为
1
2
R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ ）
A ．
169
π B ．
163
π C ．
649
π D ．
643
π 【答案】D 【
解
析
】
在
ABC
中，
2120AB AC BAC ==∠=︒，，
BC ∴==由正弦定理可得平面ABC 截球所得圆的半径（即ABC 的外接圆半径）
，2r =
=，
又∵球心到平面ABC 的距离12d R =， ∴球的O
半径2163
R R =∴=，故球O 的表面积2
64
43
S R ππ==
， 故选D ． 12．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e
-
B ．216e
-
C ．
216e
D ．
213e
【答案】D
【解析】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，
∵26(),a f x x
'=()24g x x a '=-，∴2
00624a x a x -=
，则22
0230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，
又00x >，且0a >，则03x a =．
∵()()00f x g x =，∴22
00046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >．
设()h a b =，∴()12(1ln3)h a a a '=-+，令()0h a '=，得13e
a =． ∴当103e a <<时，()0'>h a ；当13e a >时，()0h a '<，∴
b 的最大值为2113e 3e
h ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
【答案】4
【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4．
14．已知向量()()1,,2,4a k b =-=-，若()
3//a b a +，则实数k = ． 【答案】2．
【解析】由题意，得()()()331,2,45,34a b k k +=-+-=--，∵()
3//a b a +，∴
()()13450k k ⨯----=，解得2k =，故答案为：2．
15．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交l 于点A ，若3PF FQ =，则AQ
QF
= ． 【答案】2
【解析】过P ，Q 分别作PM ，QN 垂直准线l 于,M N ，如图，3PF FQ =，
1
||||4
QF PQ ∴=，由抛物线定义知，||||,||||PM PF QF QN ==，||3||PM QN ∴=，
//PM QN ，
||||1
||||3
AQ QN AP PM ∴
==， 11
||||4||2||22
AQ QP QF QF ∴==⨯=，2AQ QF ∴=，故答案为：2．
16．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 边上的点，且AC 3AD =，4BD =，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】9
【解析】∵AC 3AD =，∴3ABC ABD S S ∆∆=，
设AD x =，则3AB x =，由343x x x x +>>-得12x <<，
222
291658cos 233x x x A x x x +--==⋅⋅，sin A ==
11sin 322ABD
S AB AD A x ∆=⋅=⋅⋅
==，
∵12x <<，∴2
52x =时，ABD S ∆取得最大值3=，
∴ABC S ∆最大值为9，故答案为：9．。