二次根式的混合运算培优讲义
二次根式培优专题
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移与内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数与的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A ．45B ．3π-C ．14D ．122、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a-1|+2)2(-a = 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。
7、化简：=--xx 1 ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。
讲义四：《二次根式综合复习》讲义
老师寄语：秋天的硕果不属于春天的赏花人，而属于春天的耕耘者，你在生命的春天播下创造的种子，必将迎来金色的生命的秋天! 知识点一、二次根式的主要性质：1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.一、知识链接：1．下列计算中正确的是（ ）A ．=B ．28)321(64-=-÷ C ．= D 15=± 2．已知25,25-=+=b a ，则722++b a 的值为( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 63．把代数式(a -a －１移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A ．a --1 B ．1-a C ．a -1 D ．1--a42=，则2(2)a +的平方根为（ ） A ．16 B ．±16 C ．±4 D ．±25．一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．a ＋1B ．21a + C D6．已知两条线段的长分别为３，４，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长为（ ）A ．５BCD 7、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ）A .0 B.1 C. －1 D. 28、如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3，化简|32|8136472-++--k k k 结果是（ ）A 、—5B 、1C 、13D 、4k －5 9.使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（ ）A. 0>aB. 0<aC. 0=aD. 不存在 10.若x x x x -∙-=--32)3)(2(成立。
《二次根式的混合运算》PPT课件
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
二次根式的混合运算(讲义)
二次根式的混合运算（讲义）一、知识点睛1.分母有理化，通过适当的变形把分母化成有理数的过程；须注意保持分子、分母同时乘以相同的因式．2.实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，则先算括号里面的．3.二次根式的化简：根据二次根式的双重非负性挖掘题目中的隐含条件，在运算过程中注意符号的变化．二、精讲精练1.把下列各式分母有理化（1（2（3（42.混合运算（1（2）⋅（3）（4）1)(2（5）2-2)（6）22（7）-（8）1)（10（9（11（12）（13）211)2⨯（14）22-3. 已知a =，b =的值．4. 已知b <0，则二次根式 ）A ．-B ．-C ．D ．5. 已知xy <0，则二次根式A B C ． D ．6. 化简二次根式____________________．7. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，0ca b三、回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】1．（1）4（2）3+（3）1-（4）2．（1）（2）6- （3）2-（4）1-+（5）7+ （6）-（7）6（8） （9）（10）（11）7- （12）（13）52-（14）4-34．C5．C6． 7．a -。
《二次根式的混合运算》PPT课件(甘肃省县级优课)
【针对训练】
【答案】
●总结梳理整合提高
1.本课掌握一种数学思想：类比（二次 根式的混合运算可以类比整式的混合运算） ；
2.进行二次根式的混合运算时，先算乘 除，后算加减，若有括号应先算括号里面．
●当堂检测反馈矫正
●课后作业测评： • 上交作业：教科书第16页第4题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案的混合运算有什么相似之处 ？
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则及公式在 二次根式混合运算中的应用
➢活动二：阅读教材第14页例4，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
第2课时 二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用．
• 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
自学导读
1. 自学教材14页例3，你能说出每一步的计算根据吗？运用 了什么法则，这说明整式的运算法则和公式在二次根式 的运算中——（能或不能）运用。
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
➢活动一：阅读教材第14页例3，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？
（2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
115 二次根式 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接(解析版)
第1.1章数与式1.1.5 二次根式初中要求1 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根;2 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用计算器求平方根;3 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
高中要求1 二次根式的简单四则运算；2 理解共轭二次根式；3 会求解含二次根式的方程与不等式.1.二次根式一般地，形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式.二次根式必须满足：①含有二次根号“√”；②被开方数a必须大于等于0.【例】√2x−4有意义，则x的取值范围是.解2x−4≥0，解得x≥2.2.最简二次根式若二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，如√5，√2x2+1是最简二次根式；√1m，√5x2y不是最简二次根式.3.二次根式的性质性质例子(1)若a≥0,则(√a)2=a(√3)2=3,(√x2+1)2=x2+1.(2)√a2=|a|={a,a≥0−a,a<0√(2−π)2=|2−π|=π−2，√a2=|a|={a,a≥0−a,a<0.(3)√a∙√b=√ab(a≥0,b≥0)√2∙√3=√6，√x−1∙√x+1=√x2−1(x>1).(4)√a√b =√ab(a≥0,b>0)√6√2=√3，√54=√52.【题型一】二次根式的运算【典题1】化简(1)√12+√13−√34−√5∙√35(2)−√3x3+√2m2x+x2∙√12x(x>0,m<0)解析(1)√12+√13−√34−√5∙√35=2√3+√33−√32−√3=5√36；(2)−√3x3+√2m2x+x2∙√12x=−√3x∙√x2+√2x∙ √m2+√x4∙12x=−x∙√3x−m√2x+2x√3x=x∙√3x−m√2x.点拨1.化简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；2.在化简过程中，要灵活运用二次根式的运算公式.有时根据需要，可把根号外的数或式放进根号里，如a∙√b a =√a2∙ba=√ab是否正确呢？【典题2】化简(1)√x2+1x2−2 (0<x<1)(2)√9−4√5解析(1)√x2+1x2−2=√x2−2∙x∙1x+(1x)2=√(x−1x)2=|x−1x|，∵0<x<1，∴x−1x >0，∴|x−1x|=x−1x即√x2+1x2−2=x−1x.(2)√9−4√5=√5−4√5+4=√(√5)2−2⋅2⋅√5+22=√(√5−2)2=√5−2.点拨1.观察根号内式子结构，确定是否能凑成一个数或式子的平方；2.遇到形如√A±√B(A,B是常数)的双重根式，注意对A的“拆解”，再试图配方成一个数的平方.变式练习1.已知a<0，b<0，c<0，化简下列根式：(1)√a b = (2)√ab 3= (3)√ab 3c=答案 (1)−√a∙bb(2) −b √ab (3) b √a∙c c解析 (1)√a b =√−a √−b=√−a∙(−b )−b=−√a∙bb； (2)√ab 3=√ab ∙√b 2=−b √ab ； (3)√ab 2c=√acb 2c 2=√a∙c∙√b 2√c 2=(−b )√a∙c −c=b √a∙c c.2. 若√(5−x)(x −3)2=(x −3)√5−x ，则x 的取值范围是________. 答案 3≤x ≤5解析 依题意得{5−x ≥0x −3≥0，解得3≤x ≤5.3.化简(1)(√3−x)2+√(x −4)2 ； (21+√2√2+√3√3+√4√4+√5√5+√6；(3)√7+4√3+√7−4√3．答案 (1)7−2x (2) √6−1 (3) 4 解析 (1) ∵3−x ≥0，∴x ≤3，x −4<0∴(√3−x)2+√(x −4)2=3−x +4−x =7−2x . (2) 1+√2+√2+√3√3+√4+1√4+√5√5+√6=√2−1+√3−√2+√4−√3+√5√4+√6−√5=√6−1；(3)√7+4√3√7−4√3=√(2+√3)2√(2−√3)2=2+√3+2−√3=4. 4.先观察下列等式，再回答问题 ①√1+112+122=1+11−11+1=112；②√1+122+132=1+12−12+1=116；③√1+132+142=1+13−13+1=1112.(1)根据上面三个等式，请猜想√1+142+152的结果(直接写出结论)(2)根据上面各等式反映的规律，试写出含n(n 为正整数)表示一般规律的等式，并加以验证； (3)根据上述的规律，解答问题：设m=√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120122+120132，求不超过m的最大整数[m].答案(1)1120 (2)1+1n(n+1)(3)2012解析(1)观察可得，√1+142+152=1120；(2) √1+1n2+1(n+1)2=11n(n+1)，√1+1n2+1(n+1)2=√n2(n+1)2+(n+1)2+n2n2(n+1)2=√[n(n+1)+1]2n2(n+1)2=n(n+1)+1n(n+1)=1+1n(n+1)；(3)m=√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120122+120132=112+116+1112+⋯+112012×2013=1×2012+(12+16+112+⋯+12012×2013)=2012+⋯+(1−12+12−13+13−14+⋯+12012−12013)=2012+(1−12013)，∴不超过m的最大整数[m]是2012.【题型二】比较大小【典题1】试比较下列各组数的大小：√3−√2和3；(2)√12−√11和√11−√10.解析(1)∵√3−√2=√3+√2，而(√3+√2)2=5+2√6，若要比较√3−√2和3⇔比较5+2√6和9⇔即2√6和4，显然2√6>4，故√3−√2>3.(2)方法1共轭根式法∵√12−√11=√12−√111=√12−√11)(√12+√11)√12+√11=√12+√11，√11−√10=√11−√101=√11−√10)(√11+√10)√11+√10=√11+√10，又√12+√11>√11+√10，∴√12−√11<√11−√10．方法2 分析法比较√12−√11和√11−√10只需比较√12+√10和2√11，只需比较(√12+√10)2=22+2√120和(2√11)2=44，只需比较2√120和22，易得2√120>22，故√12−√11<√11−√10.点拨1.√m−√n与√m+√n为共轭根式，其积为不含根号的数或式子，其和或平方和形式都有“特色”.若x=3+√2，y=3−√2，则xy=1，x+y=6，x2+y2=22；2.比较两数或式子大小常见的方法是作差法；本题中根据根式的特点，有共轭根式法和分析法.其中分析法，思考形式是“若要证明XXX，只需要证明YYY”.变式练习1.试比较下列各数大小(1)√2+√6与√3+√5(2) √23−√21与√21−√19答案(1) √2+√6<√3+√5(2)√23−√21<√21−√19解析(1) (√2+√6)2=8+4√3，(√3+√5)2=8+2√15,∵4√3<2√15，∴(√2+√6)2<(√3+√5)2，∴√2+√6<√3+√5.(2) √23−√21=√23+√21√21−√19=√21+√19，∵√23+√21>√21+√19，∴√23+√21<√21+√19，∴√23−√21<√21−√19.2.比较大小√b√a√a+√b(a>0,b>0)答案√b +√a≥√a+√b解析√b +√a(√a+√b)=(√b −√a)+(√a−√b)=√ab(√a−√b)+√ba(√b−√a)=(√a−√b)(√ab−√ba)当a≥b时，√a−√b≥0，√ab −√ba≥0,∴(√a−√b)(√ab−√ba)≥0，即√b +√a≥√a+√b；当a<b时，√a−√b<0，√ab −√ba<0,∴(√a−√b)(√ab−√ba)>0，即√b +√a>√a+√b；综上所得√b√a≥√a+√b.【题型三】含根号的方程与不等式【典题1】 解方程√x 2+5x +1−2x +1=0. 解析 移项得√x 2+5x +1=2x −1， 两边平方得x 2+5x +1=4x 2−4x +1， 解得x 1=0，x 2=3，把x 1=0，x 2=3代入原方程检验得x 1=0是方程的增根，x 2=3是原方程的根， 故原方程的根是x =3.点拨 含根式的方程，两边平方容易产生增根，故注意检验.【典题2】解不等式√x 2−1≥x −2.解析 原不等式等价于{x −2≥0x 2−1≥(x −2)2或{x −2<0x 2−1≥0，解得x ≥1或x ≤−1.点拨 含根式的不等式√f(x)≥g(x)等价于{g (x )≥0f (x )≥g 2(x)或{g (x )<0f (x )≥0.变式练习1.解方程√2x +14=x +3. 答案 1解析 方程两边平方得2x +14=x 2+6x +9，解得x 1=1，x 2=−5，把x 1=1，x 2=−5代入原方程检验得x 2=−5是方程的增根，x 1=1是原方程的根， 故原方程的根是x =1. 2.解不等式√x 2−1<x −2. 答案 无解解析 不等式等价于{x −2>0x 2−1≥0x 2−1<(x −2)2，化简得{x ≥2x ≥1或x ≤−1x <54，该不等式无解.3.解方程√x +2+√x −1=3. 答案 2解析 方程等价于√x +2=3−√x −1，两边平方得x +2=9−6√x −1+x −1，化简得√x −1=1，解得x =2， 代回方程检验可得x =2是方程的根，故方程的根式x =2.。
二次根式的混合运算 课件
（1） ( 5 3)( 5 3) ;
( 5)2 ( 3)2 53 2
(2) ( 3 2)2.
=（ 3 ）2 +4 3 + 4 =3+4 3 + 4 =7+4 3
牛刀小试
12 2 3 33 3 2 2
22 23 2 2
解：
（1）原式
2
2
2
2
3 8 27 19
（2）原式 6 4 2 3 2 4 2 2
观察题目的特点 是否能应用 乘法公式
拓展加深变式训练
计算 （1）（2 2 3）2016 （2 2+3）2016
求代数式的值
例3 已知 x 3 1, y 3 1, ，试求x2+2xy+y2的值.
•归纳 求代数式的值，通常要先化简.一种是化简已知条 件；一种是化简所求的代数式.
回顾与反思
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获与同学们共享呢？
3
解：原式 2 9+1+2 2
6+2 2 .
4. 已知 x 3 1 ，求 x2 2x 3 的值.
解：原式 （ 3+1）2 （2 3+1） 3
4+2 3 2 3 2 3
1.
复习引入
请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的 运算规律是否仍成立呢？
说明
整式运算中的x、y、z是字母，它的意义十分广泛，可 以代表任意代数式, 所以整式中的运算规律，公式等也适用 于二次根式的运算。
二次根式混合运算课件(浙教版)
2
单项二次根式利用
· =a来确定
发现
两项二次根式利用平方差公式来确定，情势为：a+b和 a-b.
例3:
解:
计算 （1）
（1）
（2）
1
3− 2
4
5+1
=
=
1
3− 2
1×
3+ 2
3− 2
4
;
3+ 2
5−1
5+1
5−1
（2）
4
5+1
.
= 3 + 2.
=
4
5−1
= 5 − 1.
4
例4:
如图，两根高分别为4m和7m的竹杆相距6m，一根绳子拉直系在
C. 32 ÷
2=2
2
2.填空：
( 3 ) 2 ____; (1 2 ) 2 ______
a 2 ( a 0) _____;
8 2 2 _____;
x x 2 x,
x
x ____
3. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：（1） 2 − 2 + 2 =( − )2
=[( 3 + 2) − ( 3 − 2)]2
=(2 2)2 =8
（2） 2 － 2 = ( − ��)( + )
=( 3 + 2 + 3 − 2)[( 3 + 2) − ( 3 − 2)]
=2 3·2 2 =4 6
a x b y
x y
x y
二次根式讲义
教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标1、了解二次根式和最简二次根式的概念2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算3、会确定二次根式有意义的条件教学重点二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算教学难点二次根式的混合运算教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、二次根式的概念（例1）一般地，我们把形如)0(≥aa的式子叫做二次根式.在二次根式中，a可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的a必须满足0≥a，当0<a时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数0≥a时，二次根式才有意义.注意：二次根式的两个基本特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如)1(1,0,2≥-aa等均是二次根式，而像1,32---a等均不是二次根式. 2、二次根式的性质（例2）（1）二次根式的非负性，即)0(0≥≥aa，这一性质也是非负数的算术平方根. （2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即)0()(2≥=aaa.把公式)0()(2≥=aaa反过来就得到了式子)0()(2≥=aaa，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即aa=2.3、积的算术平方根的性质（例3）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即baba∙=∙).,0(≥≥ba注意：（1）在这个性质中，ba,可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即0,0≥≥b a .要防止出现94)9()4(-⨯-=-⨯-这样的错误.（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如)0,0,0(≥≥≥∙∙=c b a c b a abc .(3)如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用a a =2化简二次根式.4、商的算术平方根的性质（例4）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或可以简单地说：商的算术平方根等于算术平方根的商.注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，注意412412⨯≠；如果被开方数是小数，应先化成分数，如5.0必须先化成21 5、最简二次根式（例5）定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如229,465,54,63都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如21不是最简二次根式.把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.6、二次根式的乘法和除法（例6）（1）把积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab 反过来写为)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如)0,0,0(≥≥≥=∙∙c b a abc c b a .二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.（2)把商的算术平方根的性质).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或反过来写为)00)((>≥÷=÷=b a b a b a b a ba ，或，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.7、分母有理化(例7）定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如36963232=== 注意：（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.(2）分母有理化的依据：分式的基本性质.(3）分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如)0(>a a 的有理化因式是a .8、二次根式的合并（例8）合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3233)2123(3213233=+-=+-.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.9、二次根式的加减法（例9)二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。
《二次根式的混合运算》PPT课件
- .
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
同类二次根式
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
彗眼识真:
计算
计算
1、注意运算顺序2、运用运算律
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应.
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
观察以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
例3 计算：
二:问题:
请学生举例.
例5 把下列各式分母有理化
基础训练
C
比较根式的大小.
提高题
解:
提 高题
想一想：还有其他方法吗？
提 高题
思考:
D
二次根式的混合运算培优讲义
二次根式的混合运算培优讲义————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：二次根式的混合运算培优讲义一、【知识点拨】一．解最简二次根式的基本解题技巧。
1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。
２.二次根式的化简及加减法1．最简二次根式：（1)被开方数因数是整数,因式是整式;(2）被开方数中不含有能开得尽方的因式和因数。
2．同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
3.二次根式的加减法:先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并方法与合并同类项类似。
４．有理化因式与分母有理化：有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，结果不含二次根式，就说这两个因式互为有理化因式。
①单项:a a a ⨯= (单项二次根式的有理化因式是它本身）;②两项:()()a b a b a b +-=- （平方差公式)。
；二．在二次根式混合运算中,实数运算律、运算性质及运算顺序规定都适用 二【例题讲解】例1．设3131+-的整数部分是ａ，小数部分是ｂ，试求22a b +的值。
例２．若a 、ｂ、c 是△ABC 的三边，化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+--＝ 。
教师寄语：浪花，从不伴随躲在避风港的小表演，而始终追赶着拚搏向前的巨轮。
例3若x 、y 为实数,且y >322+-+-x x ，求11--y y x 的值。
例4计算：（２＼r （,2)－3)2011（ 2＼r(,２)＋3)201２.例５若x ＝＼r(，１0）－３，求代数式x 2+６ｘ＋１1的值.三． 【课堂练习】⑴(３+2错误!）×错误!⑵(错误!-5，3）·错误!（3)(错误!－2错误!）(３错误!－错误!) (4)(错误!－错误!)（错误!+错误!）(５)(２错误!－３错误!)(2错误!＋3错误!) (6）(3－＼ｒ(２))2（7）(3＼r(，２)-４＼r(,5)）2 （８）(3-2，２)(２错误!-错误!）(9)（错误!－错误!）２（10)（１－2错误!)(1+2错误!）-(１＋错误!)2四【课堂反馈】1. 计算错误!(错误!－错误!)＝.2. 计算⑴(2+错误!）(2－错误!)＝; ⑵(错误!-2)2010（错误!＋2)20１１＝.３. 计算：⑴错误!（错误!+3错误!－错误!) ⑵(错误!错误!-错误!-3错误!)·错误!错误!未指定书签。
第3讲二次根式的混合运算讲义
二次根式的混合运算一、知识点睛1.分母有理化，通过适当的变形把分母化成有理数的过程；须注意保持分子、分母同时乘以相同的因式．2.实数混合运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，则先算括号里面的．3.二次根式的化简：根据二次根式的双重非负性挖掘题目中的隐含条件，在运算过程中注意符号的变化．二、精讲精练1.把下列各式分母有理化（1（2（3（42.混合运算（1（2）⋅（3）（4）1)(2（5）22)（6）22-（7）-（8）1)（9（10（11（12）（13）211)2⨯+（14）22-3.已知a=，b=4.已知b<0，则二次根式（）A．-．-．D．5.已知xy<0，则二次根式（）A．BC．D．6.化简二次根式__________．7.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，0cab随堂测试1.已知x=y=的值是．2.（1）（2）2- （3-3.化简二次根式 ）A．- B．-C． D．作业1.平方根为4±．其中正确的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2. ±2，则a =______．3.两个不相等的无理数，他们的乘积是有理数，请写出一对这样的数：_____，______． 4. 计算（1（2（3）（4）（5012()0.23--+-（6）21)--（7）2x >0，y >0）5. 化简（1（2（3m >3）化简：a c +6. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可以得到一些线段．请在图中画出AB=，CDEF 并选择其中的一个说明这样画的道理．。
二次根式的混合运算讲义
二次根式的混合运算预习1. 有理数混合运算的操作步骤：①观察________________，划_______________； ②有序操作，依___________________； ③_________________________________． 两大公式：平方差公式________________________；完全平方公式________________________________．2. 数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1，3，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表示的数为x ，则x=________．-3-2-101233. 请在数轴上画出与1数为_____________．-3-2-10123知识点1. 分母有理化，通过适当的变形把分母化成________的过程；须注意保持________、________同时乘以相同的因式．2. 实数混合运算顺序：先算____________，再算__________，最后算______．如果有括号，先算括号里面的．3. 实数在数轴上的表示：cabA B C如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称，则有AC=BC ，即c -a=b -c ．精讲精练1. 把下列各式分母有理化．（1（2解：原式=解：原式=（3（4 解：原式=解：原式=（5（6解：原式=解：原式=2. 计算：（1- （2） 解：原式=解：原式=（3） （4）解：原式=解：原式=（5）（6）1)(2 （7）22)解：原式= 解：原式=解：原式=（8）22- （9）1)解：原式= 解：原式=（10）2- 解：原式=（11（12 解：原式=解：原式=（13（14）211)2⨯解：原式= 解：原式=（15）（16解：原式= 解：原式=3. 关于点A 的对称点为C ，若4.5. 如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为，点B 关于点A 的对称点为C ，若点C 表示的数为x ，则2x x-+=__________．【参考答案】 课前预习 1. ①结构，部分②法则③每步推进一点点22()()a b a b a b +-=-222()2a b a ab b ±=±+2. -13. 1，1 知识点睛1. 有理数；分子、分母2. 乘方和开方，乘除，加减 精讲精练1. （1（2）3+（3）1-（4）（5）3 （6）2. （1）（2）5（3）9（4） （5）2-（61（7）7+（8）- （9）（10）6-- （11） （12）（13）7- （14）52- （15）（16）113. 2-4. 15.。
著名机构初中数学培优讲义二次根式运算.第05讲(B).学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算1. 二次根式a (0)a ≥的内涵，a (0)a ≥是一个非负数；2()a a =(0)a ≥；2a a =(0)a ≥•及其运用．2. 二次根式乘除法的规定及其运用．3. 二次根式的加减运算．菲 尔 兹 奖 简 介一年一度令世人瞩目的诺贝尔奖中，只设有物理.化学.生物或医学.文学.和平事业五个类别（1968年又增设了经济学奖），竟然没有数学这个科学之“王”的份额，使得数学这个重要学科失去了在世界上评价其重大成就和表彰其卓越人物的机会。
正是在这种背景下，世界上先后树起了两个国际性的数学大奖：一个是国际数学家联合会主持评定的.在四年召开一次的国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖；另一个是由沃尔夫基金会设立的一年一度的沃尔夫数学奖。
这两个数学大奖的权威性和国际性，以及所享有的荣誉都不亚于诺贝尔奖，因此被世人誉为“数学中的诺贝尔奖”。
菲尔兹奖是以已故加拿大数学家.教育家J.C. 菲尔兹的姓氏命名的。
菲尔兹1863年生于加拿大渥太华。
曾任美国阿勒格尼大学和加拿大多伦多大学教授。
作为数学家，菲尔兹在代数函数方面有一定建树，他的主要成就在于他对数学事业的远见卓识.组织才能和勤恳工作，促进了本世纪数学家之间的国际交流，对于促进北美洲数学的发展抱有独特见解，并满腔热情地作出了很大贡献。
为使北美洲数学迅速发展并赶中考要求重难点课前预习二次根式的运算上欧洲，他第一个在加拿大推进研究生教育。
他为设立国际数学奖积极奔走于欧美各国谋求广泛支菲尔兹强烈地主张数学发展应是国际性的，他全力筹备并主持了1924年在多伦多召开的国际数学家大会(任1924年数学家大会秘书长)。
当他得知大会经费有结余时，就萌发了设立一个国际数学奖的念头。
菲尔兹在去世前立下遗嘱，把自己的遗产加到上述剩余经费中，由多伦多大学转交给第九次国际数学家大会。
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二次根式的混合运算培优讲义
一、【知识点拨】
一．解最简二次根式的基本解题技巧。
1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。
2．二次根式的化简及加减法
1．最简二次根式：
（1）被开方数因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式和因数。
2．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
3．二次根式的加减法：先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
合并方法与合并同类项类似。
4．有理化因式与分母有理化：
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，结果不含二次根式，就说这两个因式互为有理化因式。
①单项：a a a ⨯= （单项二次根式的有理化因式是它本身）；
②两项：()()a b a b a b +-=- （平方差公式）。
；
二．在二次根式混合运算中，实数运算律、运算性质及运算顺序规定都适用 二【例题讲解】
例1．设31
31+-的整数部分是a ，小数部分是b ，试求22a b +的值。
例2．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简
()()+--+++22
c b a c b a ()()22b a c a c b --+--= 。
教师寄语：
浪花，从不伴随躲在避风港的小表演，而始终追赶着拚搏向前的巨轮。
例3若x 、y 为实数，且y ＞322+-+-x x ，求
11--y y x 的值。
例4计算：(22－3)2011( 22＋3)2012.
例5若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.
三． 【课堂练习】
⑴(3＋22)× 6 ⑵(
827－53)· 6
（3）(3－22)(33－2) （4）(22－3)(3＋2)
（5）(25－32)(25＋32) （6）(3－2)2
（7）(32－45)2 （8）(3－22)(22－3)
（9）(a－b)2（10）(1－23)(1＋23)－(1＋3)2
四【课堂反馈】
1. 计算12(2－3)＝.
2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝；⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝.
3. 计算：
⑴12(75＋31
3－48) ⑵(
1
327－24－3
2
3)·12错误!未指定书签。
⑶(23－5)(2＋3) ⑷(5－3＋2)(5＋3－2)
⑸(312－21
3＋48)÷2 3
4. 已知a＝3＋2，b＝3－2，求下列各式的值.
⑴a2－b2⑵1
a－
1
b⑶a
2－ab＋b2
5. 若x ＝3＋1，求代数式x 2
－2x －3的值.
五【能力拓展训练】
1计算：
⑴.
⑵(231⎛++ ⎝
⑶(()2771+--⑷. ((((22221111++-
2已知：11a a +
=+221a a +的值。
3已知：,x y 为实数，且13y x -+，化简：3y -
六【课外作业】
1=
2、化简22|7
=
3、当a > b > 0=
4的倒数是 -------------。
5、把(x y - (x – y) 移入根号内得--------------。
6若x < – 4，则|2的值为 ( )
A 、4 + x
B 、– x
C 、x – 4
D 、– x – 4
7、已知0 < x < 3|5|x -的结果是 ( )
A 、3x – 4
B 、x – 4
C 、3x + 6
D 、– x – 6
8、下列运算中，正确的是 ( )
A 、5+=
B 、a =-
C =
D 、4=
9、已知
a =
，2b =+a 、b 的关系是 ( ) A 、相等 B 、互为相反数 C 、互为倒数 D 、互为负倒数
10计算(÷
11、计算8x
-
12、(12)1)。