教育与心理统计学 第五章：相关系数

质与量相关
两列变量中：
一列为等比或等距的测量数据，且总体分布为正 态
另一列为二分变量（性别，结婚状况）
二分变量分真正的二分变量和人为的二分变量
真正的二分变量——离散型二分变量，测量结果只有 两种类型。
人为二分变量——该变量是一个连续型的测量数据， 本身是一个连续的统一体，但是被人为规定的标准划 分为两个类别。
散点的分布形状为椭圆形，可 认为两变量之间具有线性关系。
正相关0<r<1
负相关-1<r<0
当所有的点都分布在一条直线上时， 两变量之间的关系为完全相关。
16
70
B 15
C
68
14
13
66
12 64
11
10
10
12
14
A 16
完全正相关r=1
62
10
12
14
A 16
完全负相关r=-1
散点的分布没有明显集中在某一方向的趋势，形 成圆形区域时，两变量之间的关系为零相关。
二、计算积差相关系数的基本公式
（一）利用标准差和离均差的计算公式：
r xy NSXSY
r xy x2. y2
Sxy r
SXSY
(5-1a) (5-1b) new
协方差(covariance)是两个变量离均差乘积的 平均数。协方差越大，表示X、Y两列变量的 线性关系越强。 用符号COV表示。
第一节 相关、相关系数与散点图
一、什么是相关？ （一）事物之间的相互关系
事物之间的相互关系
因果关系（两种事物） 共变关系（三种事物） 相关关系（两种事物）
相关的含义
——事物之间存在关系，但又 不能直接做因果关系解释时， 称事物间的联系为相关。 ——判断两个因素或变量之间 是否有关系，定量地研究这些 关系，称为相关分析。
主要有四分相关、φ相关、列联表相关等。
一、四分相关（tetrachoric correlatio）
（一）适用资料 1.二列变量均为正态连续变量 2.二列变量均被人为地按某一标准划分成两个不同的
K代表等级评定者的数目
0W 1
(公式5-10a) (公式5-10b)
【例5-6】有10人对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色
进行评价,评价是否一致？获得的数据见表5-11。
W系数是每一评价对象实际得到的等级总和的 变异与被评价对象一致性程度最大时等级总和的 变异的比值。
（二）肯德尔U系数
与肯德尔W系数相同，但是通过对偶比较法 获得等级数据。处理数据的方法不同，计算 结果也不同。
三、相关系数的合并
练习【例题5—2】 查费舍Z—r转换表
适用范围：保证样本同质 一个研究先后多次的调查结果 合成不同研究者的研究结果 合成科研写作时不同地区的取样
第三节 等级相关
一、斯皮尔曼Spearman等级相关 所得到资料是等级顺序，其总体不是正态分布的条件
下，但是线性相关。 （一）适用的资料 1、适用于两列变量，而且是属于等级变量性质具有线
例如：文盲与非文盲
一、点二列相关（point-biseral correlation）
（一）适用资料 两列变量： 一列为等级或等比测量数据，总体分布为正态 一列为真正的二分变量或双峰分布形态，总体分布
形态未知 考察此二列变量的相关程度的统计方法为点二列相关
多用于是非测验题目，即“对或错”。
注意：
当其中的人为划分的二分变量其总体分布不能确定是否为正 态时，要用点二列相关计算
二列相关与点二列相关的主要区别在于变量分布是否均为正 态
（二）计算公式
三、多列相关（multiserials correlation） （ 略）
（一）适用资料 一列为等距或等比的测量数据，总体分布为正态 一列为多分名义变量，总体分布为正态；
性关系的资料,用于解决类别数据和顺序数据的资料
2、不考虑资料是否正态，且不要求n>30。
3、其精确度要差于积差相关
注意：符合Pearson积差相关的数据不要用等级相关
计算
计算公式
1.等级差数法（N 30）
6 D2
rR 1 N (N 2 1)
2.等级序数法
rR
3 N
1
4 N
(
RX RY N 1)
零相关 r=0
第二节 积差相关
一、积差相关及其适用条件
（一）概念
当两个变量都是正态、连续变量，而且二者 之间呈线形关系，表示这两个变量之间的相 关为积差相关
由英国统计学家皮尔逊在20世纪初提出，简 称：Pearson相关系数（软件中常用此名称 ）
积差相关又称为积距相关
（二）适用条件
1.要求成对数据，且每对数 据之间是相互独立的
COV
X
X Y
Y
xy
N
N
x、y——两个变量的离均差
x X X y Y Y
例题：
测得某地15名正常成年人的血铅X和24小 时的尿铅Y，试分析血铅与24小时尿铅之 间是否直线相关。
15名自愿者的血铅和24小时尿铅测量值（μmol/L）
编号 X
Y 编号 X
Y
1 0.11 0.14 9 0.23 0.24
相关的类别：
正相关：两个变量向相同的 方向变化. 即一个变量增加, 另一个变量也增加.
负相关：两个变量向相反的 方向变化. 即一个变量增加, 另一个变量反而减少.
零相关：两列变量之间没有 关系，即6一列变量变动时， 另一列变量作无规律变动。
所谓双变量，是对于一个变量X的每一个观 测值X1,X2,……,Xn，同时有另一个变量Y的相 应观测值Y1,Y2,……,Yn与之对应。
第五章 相关关系
第一节 相关、相关系数与散点图 第二节 极差相关 第三节 等级相关 第四节 质与量相关 第五节 品质相关
问题？
通过前面的学习，我们知道，给定 任何一列单变量连续数据，都可以用平 均数和标准差反映数据的总体特征。
然而在实际的心理和教育测量中， 往往会遇到两种事物，两种现象关系的 描述，此时我们又如何去统计处理呢？
C
，
y
Cx
n(n2 12
1)
Cy
n(n2 12
1)
N为成对数据的数目，n为各列变量相同等级数
公式5-9
二、肯德尔等级相关
（一）肯德尔W系数 肯 德 尔 和 谐 系 数 (Kendall coefficient of
concordan列以上的等级变量，常用符号 W 表示。
例如，每个人的身高和体重是对应的。
二、相关系数
相关系数（coefficient of correlation）——两列变量 间相关程度的数字表现形式。
样本——r
总体——ρ
相关系数的取值范围：-1.00≤r≤1.00
1、相关系数r的范围介于-1到+1之间，是一个比率，常用小数 形式表示
2、“-”、“+”表示双变量数列之间的相关的方向，正值表 示正相关，负值表示负相关。
最终可以得到K列从1至N的等级变量资料
2.计算公式
（1）无相同等级出现
W＝
s
1 K 2(N 3 N)
12
W 12 Ri2 3(N 1) K 2 N (N 2 1) N 1
其中：s
(Ri
Ri ) 2 N
Ri2
Ri2 N
Ri 代表评价对象获得的K个等级之和
N代表等级评定的对象的数目
如：成绩分为优、良、中、差
在测验中常用于效度检验，亦可作次数分布表求相关 系数的一种方法
（二）计算公式
rs
st
(yL yH ) X i (yL yH )2 pi
其中， pi为每系列的次数比率
y
为每一名义变量下限的
L
正态曲线高度，由
pi查正态表给出
yH 为每一名义变量上限的 正态曲线高度，由 pi查正态表给出
2.样本容量n>=30
3.两列变量都是连续 变量
例如：每个学生的智力分数 与学业成绩之间的关系。任 意两个个体之间的观测值不 能求相关
数据太少会缺乏代表性
两列数据都是测量数据
4.两列变量总体分布为正态 或接近正态，至少是单峰对 称分布
5.两列变量之间的关系是直 线型的，可由相关散点图的 形状粗略判断
【例5-9 】有一是非选择测验，每题选对得2分。共50题
，满分100分。表5-14是20名学生在该测验中得总成绩及第5 题的选答情况。问该题与测验总分的相关程度如何？
二、二列相关（biseral correlation）
（一）适用资料
两列变量： 一列为等距或等比测量数据，总体分布为正态 一列为人为划分的二分变量，总体分布为正态
X i为每一名义变量对偶的 连续变量的平均数
st为连续变量的标准差
1.00 rs 1.00，相关系数的绝对值越 接近1，其相关程度越高
第五节 品质相关
当两列变量都按质划分成几种类型，此时用品质相 关求一致性程度
品质相关用于R×C(行×列)表的两个变量之间的关联程度。 在编制心理测验、项目分析时, 常用的方法。品质相关处理 的数据类型一般都是计数数据。品质相关依二因素的性质及 分类项目的不同,而有不同的名称和计算方法。
2 0.25 0.25 10 0.33 0.30
3 0.23 0.28 11 0.15 0.16
4 0.24 0.25 12 0.04 0.05
5 0.26 0.28 13 0.20 0.20
6 0.09 0.10 14 0.34 0.32
7 0.25 0.27 15 0.22 0.24
8 0.06 0.09
3.有相同等级时计算等级相关的方法
当等级变量中有相同等级时， R2 会随着等级数目的增多
而有规律的减少，而不管是哪个等级序数；此时应加 入校正数C
计算公式：
n(n 2 1) C
12
rRC
x2 y2 D2
2
x2 y2
其中： x 2 N 3 N 12
C
，
x
y 2 N 3 N 12
∑X=3.00 ∑Y=3.17 ∑ X2=0.7168 ∑Y2=0.7681 ∑XY=0.7388 n=15
=0.9787
意义： 上例中的相关系数r等于0.9787，说明了15例样
本中血铅与尿铅之间存在相关关系。 但是，这15例只是总体中的一个样本，由此得
到的相关系数会存在抽样误差。
因为，总体相关系数（）为零时，由于抽样误差， 从总体抽出的15例，其r可能不等于零。
1.适用资料：采用对偶比较的方法，将N件事
物两两配对，可配成
对，对每一对
中两事物进行比较，择优选择，优者记1，
非优者记0
2.计算公式：
U＝ （8 rij 2 K rij） 1
N (N 1) K(K 1)
例题：5—8
（公式5-12）
第四节 质与量相关 概念
在计算相关两列变量中，一列为等比或 等距的测量数据,另一列是按性质划分 的类别,欲求这样两列变量的直线相关, 称之为质量相关,包括点二列相关、二 列相关及多系列相关。
（二）计算公式
rpb
X
p st
Xq
pq
（公式5-13）
其中：X p是二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数
X q 是二分称名变量的另一个值对应的连续变量的平均数
p与q是二分称名变量两个值各自所占的比率，p＋q＝1
st 是连续变量的标准差 1.00 rpb 1.00，相关越高，绝对值越接近于1.00
|r|的意义 极低相关 低度相关 中度相关 高度相关 极高相关
三、散点图 在相关研究中，常用散点图来表示两个变量
之间的关系。
在平面直角坐标系中，以X 、Y两列变量（如X变量） 为横坐标，以另一列变量为纵坐标，把每对数据Xi、 Yi当作同一平面上的N个点（Xi，Yi），一一描绘在 XOY坐标系中，产生的图形即为散点图。
3、“+1”表示完全正相关，“-1”表示完全负相关，“0”表 示零相关，即没有任何相关 4、相关系数取值大小表示相关的强弱程度绝对值0≤∣r∣≤1，绝 对值接近1一般为相关程度密切，接近0值端一般为关系不够密 切。 （考虑样本大小）
|r|的取值与相关程度
|r|的取值范围 0.00-0.19 0.20-0.39 0.40-0.69 0.70-0.89 0.90-1.00
计算肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定 法，即让K个被试（或称为评价者）对N件事物或N种作品 进行等级评定，每个评价者都能对N件事物（或作品）的好 坏、优劣、喜好、大小、高低等排出一个等级顺序。
适用资料
通过等级评定法获得数据资料的两种情形： （1）K个评定者（或被试）对N件事物或 作品的等级评定 （2）一个评定者（或被试）对N件事物或 作品先后进行K次等级评定
(N
1)
（5-7a） （5-7b）
当等级变量中没有相同等级时，可以直接应 用上述两个公式进行计算
步骤：
（1）赋予等级。分别将两个变量的成绩从优 到劣赋予等级，最优者赋予1，最劣者赋予n ，或采用相反的方式排序，但两变量排序方 式要一致
（2）计算D值与D平方的值或RxRy值 （3）代入公式运算