甘肃省兰州市第一中学高二下学期4月月考数学(文)试题Word版

兰州一中2020年高二年级4月月考试卷
数学文科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
2.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确
3.曲线)43sin(2212πθρρ+
=+的中心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为
A.e
B.－e
C.1e
D.－1e
5.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于
A.－e
B.－1
C.1
D.e
6.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于
A.28
B.76
C.123
D.199
7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学
生了解考试情况，四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是
A.甲，丙
B.乙，丁
C.丙，丁
D.乙，丙
8.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞) 9.函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是
A.(－∞，2]
B.(－∞，2)
C.(2，＋∞)
D.(0，＋∞)
10.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为
A.x ＋y －1＝0
B.x －y －1＝0
C.x ＋y ＋1＝0
D.x －y ＋1＝0
11.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为
A.－1
B.－2e －3
C.5e －3
D.1
12.已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x －1（x >0），h （x ） （x <0），
则函数h (x )的最大值为 A.1
B.1－e
C.e －1
D.e+1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.
14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________. 15.6＋7与22＋5的大小关系为________.
16.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：ab ＋bc ＋ac ≤13
18. （本小题12分）
已知函数f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，讨论f (x )的单调性.
19.（本小题12分）
已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.
20.（本小题12分）
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2＋3t
(t 为参数).
(1)写出直线l 与曲线C 的普通方程；
(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C ′于A ，B 两点，求|F A |·|FB |.
21.（本小题12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
ρsin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+4πθ＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
22．（本小题12分）
已知f (x )＝(1－x )e x －1.
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)设g (x )＝f （x ）x ，x >－1且x ≠0，证明：g (x )<1.
兰州一中2020年高二年级4月月考试卷
数学文科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
三、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
答案 B
2.正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，
A.结论正确
B.大前提不正确
C.小前提不正确
D.全不正确 答案 C
3. 曲线)4
3sin(2212πθρρ+=+的中心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
4.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为
A.e
B.－e
C.1e
D.－1e
答案 C
5.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于
A.－e
B.－1
C.1
D.e 答案 B
6.观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于
A.28
B.76
C.123
D.199 答案 C
7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”.
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是
A.甲，丙
B.乙，丁
C.丙，丁
D.乙，丙 解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D.
8.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为
A.(－1，1)
B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1)
D.(－∞，＋∞) 答案 B
9.函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是
A.(－∞，2]
B.(－∞，2)
C.(2，＋∞)
D.(0，＋∞) 答案 B
10.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为
A.x ＋y －1＝0
B.x －y －1＝0
C.x ＋y ＋1＝0
D.x －y ＋1＝0 答案 B
11.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为
A.－1
B.－2e －3
C.5e －3
D.1 答案 A
12.已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x －1（x >0），h （x ） （x <0），
则函数h (x )的最大值为 A.1
B.1－e
C.e －1
D.e+1
答案 B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.
答案6n＋2
14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________. 答1∶8
15.6＋7与22＋5的大小关系为________.
答案6＋7>22＋ 5
16.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________. 答案(－3，0)∪(0，＋∞)
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）
设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤1 3
证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤1 3.
19.（本小题12分）
已知函数f(x)＝x2
2－a ln x，a∈R，讨论f(x)的单调性.
解因为f(x)＝x2
2－a ln x，所以x∈(0，＋∞)，
f′(x)＝x－a
x＝
x2－a
x.
(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.
(2)当a>0时，f′(x)＝（x＋a）（x－a）
x，则有
①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a).
②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).
19.（本小题12分）
已知a ∈R ，若函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围.
解 因为函数f (x )在(－1，1)上单调递增，
所以f ′(x )≥0对x ∈(－1，1)都成立.
因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，
所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1，1)都成立.
因为e x ＞0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0，
则a ≥x 2＋2x x ＋1＝（x ＋1）2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1
对x ∈(－1，1)都成立. 令g (x )＝(x ＋1)－
1x ＋1，则g ′(x )＝1＋1（x ＋1）2
＞0， 所以g (x )＝(x ＋1)－1x ＋1
在(－1，1)上单调递增， 所以g (x )＜g (1)＝(1＋1)－11＋1
＝32， 所以a ≥32，又当a ＝32时，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，
所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 20.（本小题12分）
已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2＋3t
(t 为参数).
(1)写出直线l 与曲线C 的普通方程；
(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C ′于A ，B 两点，求|F A |·|FB |.
解 (1)直线l 的普通方程23x －y ＋2＝0.
曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝4.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y 2，得⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝2y ′， 代入曲线C ，得x ′2＋4y ′2
＝4，即x ′24＋y ′2＝1.
则曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1表示椭圆. 由题设，直线AB 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t 2，y ＝32t
(t 为参数). 将直线AB 的参数方程代入曲线C ′：x 24＋y 2＝1. 得134t 2＋3t －1＝0，则t 1·t 2＝－413，
∴|F A |·|FB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝413.
21.（本小题12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.
解 (1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.
又曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝2 2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4. 因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.
d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标
为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12. 23．（本小题12分）
已知f (x )＝(1－x )e x －1.
(1)求函数f (x )的最大值；
(2)设g (x )＝f （x ）
x ，x >－1且x ≠0，证明：g (x )<1.
(1)解 f ′(x )＝－x e x .
当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 所以f (x )的最大值为f (0)＝0.
(2)证明 由(1)知，当x >0时，f (x )<0，g (x )<0<1. 当－1<x <0时，g (x )<1等价于f (x )>x .
设h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝－x e x －1.
当x ∈(－1，0)时，0<－x <1，0<e x <1，
则0<－x e x <1，从而当x ∈(－1，0)时，h ′(x )<0， h (x )在(－1，0)上单调递减.
当－1<x <0时，h (x )>h (0)＝0，即g (x )<1. 综上，当x >－1且x ≠0时总有g (x )<1.。