2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2023届山东省青岛市青岛第二中学高三上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知复数z 满足i 2z z -=，则=z （ ） A
B
C ．2
D ．5
【答案】B
【分析】根据共轭复数将复数z 表示出来，再通过复数平面与复数的模的关系即可求出答案. 【详解】由题意，复数z 满足22(1i)=1i 1i (1i)(1i)
z +==+--+
，则1i z =+故选:B ．
2．设非空集合233}{,{log 2|}|A x m x m B x x =-<<+=<若A B B ⋃=，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．1m C ．01m <≤ D ．03m <≤
【答案】C
【分析】由题可知A B ⊆，进而可得333034m m
m m -<+⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
，即得.
【详解】由题可知2{|log 2}{|04}B x x x x =<=<<，A B ⊆， 则333034m m m m -<+⎧⎪
-≥⎨⎪+≤⎩
， 解得01m <≤，
所以实数m 的取值范围是01m <≤. 故选：C.
3．已知公差为1的等差数列{}n a 中，2a 、4a 、5a 成等比数列，若该数列的前n 项和0n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
【答案】B
【分析】根据已知条件求出1a 的值，再由0n S =可求得正整数n 的值.
【详解】由已知2
425a a a =，则()()()2
111314a a a +=++，解得15a =-，
故()21111022
n n n n n
S na --=+
==，因为N n *∈，解得11n =. 故选：B.
4．已知正数a ，b ，c 满足lg ,lg ,lg a b c 成等差数列，则下列两条直线1:10l ax y +-=.2
2:0
l b x cy c +-=的位置关系是（ ） A ．垂直 B ．重合 C ．平行 D ．相交
【答案】B
【分析】由直线与直线的位置关系判断， 【详解】由题意得lg lg 2lg a c b +=，得2ac b =， 故2:0l acx cy c +-=，即10ax y +-=，两直线重合， 故选：B
5．下列说法正确的是（ ）
A ．将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变
B ．设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强
C ．在一个2×2列联表中，由计算得K ²的值，则K ²的值越小，判断两个变量有关的把握越大
D ．若()()2
~1;20.2=X N P x σ>， ，则()010.3P X <<=
【答案】D
【分析】对A 根据方差与平均数定义即可判断，对B 利用线性相关定义则可判断，对C 根据2K 的含义即可判断，对D 对于正态分布的特点，即可求出区间概率.
【详解】对于A,方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差不变,但平均数变化，故A 错误，
对于B,具有线性相关关系的两个变量x ,y 的相关系数为r ,则r 越接近于1,x 和y 之间的线性相关程度越强,故B 错误,
对于C,在一个22⨯列联表中,由计算得2K 的值,则2K 的值越大,判断两个变量有关的把握越大,故C 错误, 对于D ，
()
2~1,X N σ,
(01)(12)P X P X ∴<<=<<(1)(2)0.50.20.3P X P X =>->=-= 故D 正确. 故选：D.
6．“角a 与β的终边关于直线y x =对称”是“()cos 0αβ+=”的（ ） A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据终边关于y x =对称，得两角的关系，再由()cos 0αβ+=，得两角满足的关系，根据充分必要条件的定义即可求解.
【详解】角α与β的终边关于直线y x =对称,则π
+=+2π,Z 2
k k αβ∈,
()cos cos c ππ+2π022os k αβ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴+=.
反之，当()cos 0αβ+=时，则π
+=+π,Z 2
k k αβ∈，从而角a 与β的终边不一定关于直线y x =对称.
故“角α与β的终边关于直线y x =对称”是“()cos 0αβ+=”的充分不必要条件. 故选：C
7．已知ππ4α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，()cos 10
αβ+=-，则βα-=（ ）
A ．3
π4 B ．π4 C ．5π4 D ．π2
【答案】A
【分析】求出βα-的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出
()sin βα-的值，即可得解.
【详解】因为ππ4
α≤≤，则π222πα≤≤，因为4sin 25α=，则π
22πα≤≤，可得ππ42α≤≤，
因为3ππ2β≤≤
，则π5π24βα≤-≤，
5π
2π4
αβ≤+≤，
所以，3cos 25α==-，()sin αβ+==
所以，()()()()sin sin 2sin cos 2cos sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
341051052⎛⎛⎫=----⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
， 所以，3π
4
βα-=. 故选：A.
8．已知椭圆22
22:10)x y C a b a b
+=>>（， 过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A ，B 两点，P 是椭圆上
不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当 ()239
3ln ln 32
a m n
b mn mn ⎛⎫-+
++ ⎪⎝⎭ 取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）
A ．15
B ．45
C
D
【答案】C
【分析】设00(,)P x y ，利用斜率公式求得,m n ，结合00(,)P x y 在椭圆上，化简可得22b
mn a
=-，令
1a
t b
=>，利用导数求得使函数取最小值的t ，根据离心率定义即得. 【详解】由题可知()0()0A a B a -，，，，设00(,)P x y ，则(
)222
20
2
b a x y a -=，
而0000,y y m n x a x a ==+-，则2
2
02
220y b mn x a a
==--， 又
2393(ln ||ln ||)32
a m n
b mn mn ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭22222
339ln 3a b b b b a a a ⎛
⎫ ⎪=-++ ⎪ ⎪--
⎪
⎝
⎭
322339ln 3a a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令
1a t b =>，则322
()339ln 3
f t t t t t =-+-， 所以()
232(3)232639()t t t t t f t t t
-+-+-==
'， 由()0f t '<，可得13t <<，函数单调递减，由()0f t '>，可得3t >，函数单调递增， 故min ()(3)f t f =，即
3a
b
=时， ()2393ln ln 32a m n b mn mn ⎛⎫-+
++ ⎪⎝⎭ 取最小值，
此时3e =. 故选：C.
二、多选题
9．已知0a b >>，且1a b += ，则下列结论正确的是（ ） A ．()ln 0a b -< B
2>
C ．a b b a >
D ．11
4a b
+>
【答案】AD
【分析】由题可得01b a <<<，根据对数的性质判断A ，利用基本不等式判断B ，根据指数函数、幂函数的单调性判断C ，由基本不等式“1”的代换判断D. 【详解】因为0a b >>，且1a b += ，
所以01b a <<<，即01a b <-<，则ln()0-<a b ，A 正确；
由
1a b +=≥，又01b a <<<B 错误；
由01b a <<<知：a b b b b a <<，C 错误；
1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，又01b a <<<， ∴11
4a b
+>，D 正确. 故选：AD. 10．已知向量 (
)
()()2,1cos ,sin 0a b θθθπ=
=≤≤，， 则下列命题正确的是（ ）
A ．若a b ⊥，则tan θ
B ．存在θ，使得=a b a b ++
C ．与向量a 共线的单位向量是⎝⎭
D ．向量a b -【答案】BD
【分析】根据平面向量的坐标运算性质，逐项进行检验即可求解. 【详解】对于选项A ：因为a b ⊥，所以2cos sin 0a b θθ⋅=+=，
所以得到：tan θ=A 错误；
对于选项B :当cos θθ=
=
3a b =，此时a 与b 同向共线， 所以=a b a b ++成立，故选项B 正确；
对于选项C ：与向量a 共线的单位向量为6(,3a a ±
=±，有两个，故选项C 错误；
对于选项D ：()
()2
22=+2=42
2cos +sin =4a b a b a b θθθϕ--⋅--+，
其中sin 0,2πϕϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，
所以3+0,
2
πθϕ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以当θπ=时，()sin θϕ+ 取最小值，2max =4a b -+
所以向量a b -故选项D 正确. 故选：BD.
11．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，则（ ） A ．当点P 在底面ABCD 内运动时，三棱锥11P C D M - 的体积为定值2
3
B ．当AP DM ⊥时，线段AP 长度的最大值为4
C ．当直线AP 与平面ABC
D 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π
D ．直线DM 被正方体1111ABCD A B C D - 的外接球所截得的线段的长度为65
5
【答案】ACD
【分析】对A 找到高不变，底面为定值，则体积不变，求出相关高与底面积即可，对B 找到P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）与F 重合时AF 最大,即可计算，对C 找到点P 的三次轨迹，第三次轨迹为四分之一圆，计算即可，对D 建立空间直角坐标系，利用点到直线距离公式即可计算.
【详解】对A 选项，根据正方体上下底面平行得P 到平面11C D M 的距离始终为2，因为M 为11A D 的中点，故11D M =，故1112112C D M
S
=⨯⨯=，故1112
2133
P C D M V -=⨯⨯=，故A 正确；
对于B ，分别取11,DD CC 中点E ,F ,连接EA ,EF ,FB
首先EF 与CD 平行且相等,CD 与AB 平行且相等,因此EF 与AB 平行且相等,则EFBA 是平行四边形，
在同一平面内,正方形11ADD A ,易得 11,,ADE DD M EAD MDD ≅∠=∠
90EAD MDA MDD MDA ︒∴∠+∠=∠+∠=， 所以90AND ︒∠=(N 为AE ,DM 的交点),
所以MD AE ⊥,又AB ⊥平面11,ADD A MD ⊂平面11ADD A , 所以,,,AB MD AE AB A AB AE ⊥⋂=⊂平面ABFE , 所以MD ⊥平面ABFE ,而MD AP ⊥,则P ∈平面
所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）与F 重合时AF 最大,为2222213++=, 故B 错误，
对于C ，直线AP 与平面ABCD 所成角为45︒,若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，1145,45B AB D AD ︒︒∠=∠=最大,不成立;
在平面11ADD A 内,点P 的轨迹是122AD =, 在平面11ABB A 内,点P 的轨迹是122AB =, 在平面1111D C B A 时,作PM ⊥平面ABCD ,如图,
作PM ⊥平面,45ABCD PAM ︒∠=，PM AM ∴=， 1,,PM AB AM AB A P AB =∴=∴=
∴点P 的轨迹是以1A 为圆心,以2为半径的四分之一
∴点P 的轨迹长度为1
224ππ⨯⨯=,
∴点P 的轨迹总长度为42π+故C 正确;
对于D 选项，首先作出如图所示图像，shouxian 外接球半径222
2223r ++==
直线DM 与球面的一个交点为D ，另一交点设为H ，
以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，首先求出圆心O 到直线DM 的距离，因为棱长为2，且M 为11A D 中点，故()0,1,2M ,()0,2,0D ,()1,1,1O ,故()1,0,1MO =-,
()0,1,2MD =-,5
MO MD d MD
⋅=
=
O 到直线DM 的距离2
2
2
26255h MO d ⎛⎫
-=-= ⎪
⎝⎭
，故线段()
2
665
235DH ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：空间中点到直线的距离公式：
设某空间直线的方向向量为(,,)s m n p =过点()000,,A x y z ;空间上的一点(,,)P x y z 令
()000,,v x x y y z z =---，即表示由点A 指向点P 的向量.
观察||||cos s v s v θ⋅=⋅⋅
而||cos v θ⋅与要求的距离d 构成以AP 即||v 为斜边的直角三角形.故 2
2
2
2
||(||cos )||||s v d v v v s θ⎛⎫
⋅=-⋅=- ⎪⎝⎭
.
12．已知函数()2e 0
ln 0x
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩
，， 若函数()y f x b =-有四个不同的零点：1234
x x x x ，，，，且1234x x x <<<,则以下结论正确的是（ ）
A ．22
342x x +>
B ．20b e
<<
C ．122x x +=-
D ．()1234 2.x x x x +<-
【答案】ABD
【分析】设()2e x
g x x =-，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断B 的正误；分
析可知34
1
x x =
，结合基本不等式可判断A 的正误；构造函数()()()2h x g x g x =---，利用导数分析函数()h x 在()1,-+∞上的单调性，可判断CD 的正误.
【详解】设()2e x
g x x =-，其中x ∈R ，则()()21e x
g x x '=-+，
当1x <-时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增， 当1x >-时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，
所以，函数()g x 的极大值为()2
1e
g -=，且当0x <时，()0g x >，
作出函数()y f x =与y b =的大致图象，
由图可知，当2
0b e
<<
时，直线y b =与函数()f x 的图象有四个交点，B 对； 因为()()34f x f x =，则34ln ln x x =，由图可知3401x x <<<， 则433
1
ln ln ln
x x x =-=，即341x x =，
所以，22
2
234442244
1122x x x x x x +=
+>⋅，A 对； 令()()()2h x g x g x =---，其中1x <-，由图可知1210x x <-<<，
()()()()()2221e 21e 21e e x x x x h x x x x ----'=-+++=-+-+，
当1x <-时，10,2x x x +<-->，2e e 0x x ---+<，则()0h x '<，此时函数()h x 单调递减， 所以，()()()()111210h x g x g x h =--->-=，即()()()1122g x g x g x --<=， 因为121x -->-，21x >-，且函数()g x 在()1,-+∞上单调递减，
所以，122x x -->，则122x x +<-，故()1231242x x x x x x ++<-=，C 错D 对. 故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.
三、填空题
13．在32n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则所有项的系数和等于______
【答案】1
【分析】由二项式系数和可求得n 的值，然后在二项式中令1x =，可求得所有项的系数和.
【详解】32n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项式系数和为2256n =，可得8n =，
所以，8
32x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的所有项的系数和为()8121-=.
故答案为：1.
14．已知圆C :222430x y x y ++-+=，直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则满足上述条件的直线l 共有__________________条. 【答案】4
【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案. 【详解】由已知圆C ：()()2
2
122x y ++-=，圆心1,2，半径2
作出圆的图像如下：
根据图像观察可得：存在4条直线与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等 其中12,l l 是过坐标原点的直线，34,l l 是斜率为-1的直线 故答案为：4. 15．已知()2a
f x x x
=+
.若曲线()y f x =存在两条过()2,0点的切线，则a 的取值范围是___________. 【答案】{|8a a <-或0}a >
【分析】求导函数()f x '设切点坐标为000,2a x x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，写出切线方程并代入点()2,0得
20020x ax a +-=，由于有两条切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求解．
【详解】由题得()212a
f x x '=-
，设切点坐标为00
02a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，， 则切线方程为()00200122a a y x x x x x ⎛⎫
--
=-- ⎪⎝⎭
， 又切线过点()2,0，可得()002001222a a x x x x ⎛⎫--
=-- ⎪⎝⎭
， 整理得2
0020x ax a +-=，
因为曲线()y f x =存在两条切线，故方程有两个不等实根且00x ≠ 若00x =，则0a =，为两个重根，不成立
即满足()2
80a a ∆=-->，解得0a >或8a <-．
故a 的取值范围是{|8a a <-或0}a > 故答案为：{|8a a <-或0}a >
16．在三棱锥S ABC - 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，SA AB =，点M 为SAB △的垂心，且CM ⊥平面SAB ，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为_________. 【答案】6π
【分析】利用线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面SCD ，得CD AB ⊥，则可得SAB △是等边三角形，设外接球心为O ，则O 在CM 上，半径为r ，在SCM 中列方程求出半径，进而即得.
【详解】如图，连接SM 并延长，交AB 于点D BM ，与SA 交于点E ，则SD AB BE SA ⊥⊥，，
因为CM ⊥平面SAB AB ⊂，平面SAB ， 所以CM AB ⊥，
因为 CM SD M CM SD ⋂=⊂，，平面SCD ， 所以AB ⊥平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以CD AB ⊥，
因为ABC 是正三角形，故D 为AB 中点，
又SA AB =，所以SAB △是等边三角形，2SA SB AB ===，
易得13SD CD DM SD ====SM BM CM ===
所以2SC =，
设外接球心为O ，则O 在CM 上，半径为r ，
在SCM 中有()
22
2
222
CM OC SM OS r r ⎫-+=⇒+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得r =
故外接球表面积为2
4π6π⨯=⎝⎭
.
故答案为：6π.
四、解答题
17．在ABC ，中，记角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos a c
C C b
+= (1)求角B ；
(2)已知点D 在AC 边上，且2,6,AD DC AB BD ===ABC 的面积. 【答案】(1)π
3
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C =+，再利用()sin sin A B C =+化简，从而求出角B ；
（2）在ABC 中由余弦定理建立等式，再利用cos cos 0∠+∠=ADB BDC 得到另一等式，进而求出
ABC 的三边，由此求出其面积．
【详解】（1）因为cos a c
C C b
+=
，
由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C =+， 因为π=--A B C ，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
sin cos sin sin B C B C C =+，
因为0πC <<，则sin 0C >，所以3sin cos 1B B =+，即3sin cos 1B B -=，故π2sin 16B ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
又0πB <<，所以ππ66
B -=，故π
3B =.
（2）由题意设CD x =，2AD x =，BC y =，由（1）得π
3
B =，
在ABC 中由余弦定理可得，()2
22
222631
cos 2262
y x AB BC AC B AB BC y +-+-===⋅⋅⨯⨯①，
因为πADB BDC ∠+∠=，所以cos cos 0∠+∠=ADB BDC ，
即(
)()()
2
2
2
2
2
2
2726
27
02272227
x x y x
x +-+-+
=⨯⨯⨯⨯②，
联立①②，解得26x y =⎧⎨=⎩
（负值舍去），
则36AC x ==，6BC =，ABC 是等边三角形， 所以113sin 6693222
ABC
S
AB BC B =
⋅=⨯⨯⨯=，即ABC 的面积是93． .
18．在①3n n n b a =⋅；②22121
n n n n a b a a ++=，N n *∈，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答
问题.
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2
22n n n a a S +=+ ，数列{}n b 满足 .
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)1n a n =+
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）令1n =，可求得1a 的值，令2n ≥，由222n n n a a S +=+可得2
11122n n n a a S ---+=+，两式
作差可推导出数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式；
（2）选①，可得出()1
13n n b n +=+⋅，利用错位相减法可求得n T ；
选②，求得()
()
2
2
1
1
12n b n n =
-
++，利用裂项相消法可求得n T .
【详解】（1）解：当1n =时，211112222a a S a +=+=+，即2
1120a a --=，解得12a =或11a =-（舍）.
当2n ≥时，由222n n n a a S +=+可得2
11122n n n a a S ---+=+，
上述两个等式作差可得22
112n n n n n a a a a a ---+-=，即()()1110n n n n a a a a --+--=，
N n *∀∈，0n a >，则11n n a a --=，
所以，数列{}n a 为等差数列，且该数列的首项为2，公差为1， 因此，211n a n n =+-=+.
（2）解：若选①，则()113n n b n +=+⋅，则()234
123334313n n T n +=⋅+⋅+⋅+
++⋅，
所以，()34
1232333313n n n T n n ++=⋅+⋅+
+⋅++⋅，
上述两个等式作差可得()()234
1222333313n n n T n ++-=⋅+++
+-+⋅
()()()312
2
31392131813
13
2
n n n n n -++--+⋅=+
-+⋅=
-， 因此，()221394
n n
n T ++⋅-=
； 若选②，()()()()222222
1212311
1212n n n n a n b a a n n n n +++=
==-++++，
所以，()
()
()2
2
2
22221111
1
1
11
23344122n T n n n =-+-+
+
-
=
-+++. 19．某足球俱乐部在对球员的使用上总是进行数据分析,在2022年度赛季中,为了考查甲球员对球队的贡献度,现作如下数据统计:
(1)求r ,s 的值,据此能否有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;.
(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:0.3、0.5、0.1、0.1,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:0.4、0.2、0.6、0.2.则: ①当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;
②当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率; ③如果你是教练员,应用概率统计有关知识,该如何合理安排乙球员的参赛位置? 附表及公式:
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. 【答案】(1)22,12r s ==,有把握 (2)①0.3,②0.4,③守门
【分析】(1)根据22⨯列联表中一些数据，将表格填写完整,计算出2K 即可; (2) ①根据独立事件的概率公式,列出式子计算结果即可; ②根据条件概率的计算公式列出式子计算结果即可;
③分别求出球队输了比赛的条件下,乙担任各个位置的概率,比较大小,判断合适位置即可。

【详解】（1）解:由题知,30822,20812r s =-==-=, 将表格填完整如下所示:
()2
2
5022128850
5.5630203020
9
K ⨯-⨯∴=
=
≈⨯⨯⨯, 3.841 5.56 6.635<<,
所以有95%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关; （2）①由题知,记“乙球员参加比赛,比赛输球”为事件A ,
()0.30.40.50.20.10.60.10.20.3P A ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=, 故乙球员参加比赛,比赛输球的概率为0.3; ②由题知,记“乙球员担当前锋”为事件B , 则()0.30.40.12P AB =⨯=, ()()()
0.12
0.40.3
P AB P B A P A =
=
=, 故球队输了比赛的条件下,乙球员担当前锋的概率为0.4; ③记“乙球员乙球员担当中锋”为事件C , 记“乙球员乙球员担当后卫”为事件D , 记“乙球员乙球员担当守门”为事件E , 有()0.4P B A =,()()()
0.50.2
0.330.3
P AC P C A P A ⨯=
=
≈, ()()()0.10.6
0.20.3
P AD P D A P A ⨯=
=
=, ()()()
0.10.2
0.0670.3
P AE P E A P A ⨯=
=
≈, ()()()()P B A P C A P D A P E A >>>,
所以应该安排乙球员担当守门,赢面大些.
20．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E 、F 、G 分别是边长为4的正方形的三边AB CD AD 、、的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG 裁掉，再将剩下的五边形ABCFG 沿着线段EF 折起，连接AB CG 、就得到了一个“刍甍” (如图2)。

(1)若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：//AO 平面GCF ；
(2)若二面角A EF B --的大小为2
π3
，求平面OAB 与平面ABE 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析； (2)1717
.
【分析】（1）取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ，可得四边形AOHG 是平行四边形，然后线面平行的判定定理即得；
（2）由题可得AEB ∠即为二面角A EF E --的平面角，以E 为坐标原点，,EB EF 分别为x 轴和y 轴正向建立空间直角坐标系E xyz -，求解平面ABE 和平面OAB 的一个法向量，利用空间向量夹角公式即得．
【详解】（1）取线段CF 中点H ，连接OH 、GH ， 由图1可知，四边形EBCF 是矩形，且2CB EB =， ∴O 是线段BF 与CE 的中点， ∴//OH BC 且1
2
OH BC =
， 在图1中//AG BC 且1
2
AG BC =
，//EF BC 且EF BC =． 所以在图2中，//AG BC 且1
2
AG BC =， ∴AG OH //且AG OH =，
∴四边形AOHG 是平行四边形，则AO HG //， 由于AO ⊄平面GCF ，HG ⊂平面GCF ， ∴//AO 平面GCF ．
（2）由图1，EF AE ⊥，EF BE ⊥，折起后在图2中仍有EF AE ⊥，EF BE ⊥， ∴AEB ∠即为二面角A EF B --的平面角． ∴2π3
AEB ∠=，
以E 为坐标原点，EB ，EF 分别为x 轴和y 轴正向建立空间直角坐标系E xyz -如图，
设224CB EB EA ===，则()2,0,0B 、()1,2,0O 、(A -，
∴()1,2,0OB =-，(BA =-， 易知平面ABE 的一个法向量()0,1,0m =， 设平面OAB 的一个法向量(),,n x y z =，
由0
n OB n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030x y x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则1y =，z =
于是平面OAB 的一个法向量(2,1,2n =， ∴1cos ,17
n m n m n m ⋅=
=，
∴平面ABE 与平面OAB ． 21．已知函数()²
()e x
g x x ax a =⋅++ (1)当1a =时，求()g x 的极值；
(2)若 ()()
e x g x
f x =， 且 ()2
2e ln 0f x x
+≥ 恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)极大值为23e
，极小值为1
e ；
(2)4
2,42e ⎡⎤-+⎣⎦．
【分析】（1）求定义域，求导，根据导函数的正负求出函数的极值情况；
（2）不等式变形为22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦，构造2()(ln )ln ,(0,)⎡⎤=++∈+∞⎣⎦h x x x a x a x ，求导
后得到()()()ln 2ln h x x x a +'=+，对a 分类讨论，求出每种情况下的实数a 的取值范围，即得.
【详解】（1）当1a =时，()2
()e 1x g x x x =++，定义域为(,)-∞+∞， 则()2
()e 32x g x x x '=++
令()0g x '=，得2x =-，或=1x -． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：
因此，当2x =-时，()g x 有极大值，并且极大值为23
e
；当=1x -时，()g x 有极小值，并且极小值为1e
； （2）因为2
2e (ln )0f x x
+≥等价于22(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦， 令2
()(ln )ln ,(0,)⎡⎤=++∈+∞⎣⎦h x x x a x a x ，则
()()22ln ()(ln )ln ln 2ln x a h x x a x a x x x a x x ⎛⎫=+++++⎝
'=+ ⎪⎭，
（ⅰ）若[]0,4a ∈，对于函数2(ln )ln y x a x a =++，有240a a ∆=-≤， 所以2(ln )ln 0++≥x a x a 恒成立，
故当[0,4]a ∈时，不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦恒成立；
（ⅱ）若(4,)∈+∞a ，
当(
0,e a x -⎤∈⎦时，2(ln )ln ln (ln )0++=++>x a x a x x a a ，所以2(ln )ln 0⎡⎤++>⎣⎦x x a x a ， 故不等式22(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦恒成立； 现探究当()e ,a
x -∈+∞时的情况：
当()2
e ,e a x --∈时，()0h x '<，当()2e ,x -∈+∞时，()0h x '>，
所以()h x 在()2
e ,e a --上单调递减，在()2e ,-+∞上单调递增，
所以2e x -=是()h x 的极小值点，
要使不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦
成立，只需()222e e (42)2e h a a --=-+≥-， 解得：442e a ≤+，
故当4442e <≤+a 时，不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦恒成立；
（ⅲ）若(,0)a ∈-∞，
当(
20,e x -⎤∈⎦时，22
(ln )ln (ln )(ln 1)0++=++>x a x a x a x ，所以2(ln )ln 0⎡⎤++>⎣⎦x x a x a ， 故不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦恒成立；
现探究当()2
e ,x -∈+∞时的情况：
当()2e ,e --∈a
x 时，()0h x '<，当()e ,a x -∈+∞时，()0h x '>，
所以()h x 在()2e ,e --a
上单调递减，在()e ,a -+∞上单调递增，
所以e a x -=是()h x 的极小值点，
要使不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦成立，只需()()222e e 2e --=-+≥-a a h a a a ，
即2e 2e a a -≥-． 设()(0)e
=
<x x
m x x ，则2e 2e a a -≥-化为()(2)≥-m a m ， 因为1()0e -'=
>x
x
m x ，所以()m x 在(,0)-∞上为增函数， 于是，由()(2)≥-m a m 及a<0，得20a -≤<，
故当20a -≤<时，不等式22
(ln )ln 2e x x a x a ⎡⎤++≥-⎣⎦恒成立；
综上，实数a 的取值范围为4
2,42e ⎡⎤-+⎣⎦．
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.
22．已知等轴双曲线 22
221()00a x y a b
b >-=>， 的右焦点为(40)F ，，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，
直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于M ，N 两点，点M ，P 在第一象限，O 是原点.
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)设OMP ONP OPQ ，，的面积分别为123S S S ，，，求3
12
S S S ⋅的取值范围. 【答案】(1)()1+∞， (2)12⎫
⎪⎪⎝⎭
，
第 21 页 共 21 页 【分析】（1）已知等轴和焦点坐标，可求出双曲线方程，设出直线方程，联立双曲线方程由韦达定理即可解得直线l 斜率的取值范围.
（2）由直线与渐近线方程联立可求出M ，N 两点的坐标，再求出P 到两条渐近线的距离12,d d ，整体代入求出122
321t S S =-⋅，分割OPQ △
利用韦达定理结合三角形面积公式，可求得S OPQ =，进而得到312S S S ⋅关于t 的函数关系式，即可得到答案. 【详解】（1）已知双曲线等轴，可设双曲线方程为22221x y a a
-=，因为右焦点为(40)F ，，故4c =，由222c a a =+得2
8a =，所以双曲线方程的方程为22
188x y -=，设直线l 的方程为4x ty =+，联立双曲线方程得， ()
22222212
121081880Δ01400t x y t y ty t x ty y y x x ⎧⎪-≠⎪⎧-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎩⎪⋅<⎪⋅>⎪⎩，解得01t << 即直线l 斜率1k t
=的取值范围为()1+∞，. （2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离12,d d
满足，
2211
1242x y d d -⋅===，而41441M M x y x t x ty y t ⎧=⎪=⎧⎪-⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪-⎩
，OM =
ON =
121222111113222221OM d ON d d d S t S =⋅⋅⋅=⋅=-⋅，由()2222818804
x y t y ty x ty ⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，
312P Q OF y y S =⋅-=，所
以312S S S =⋅，01t <
<，312142S S S ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⋅⎝⎭，。