2024版新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第六节二项分布超几何分布与正

第六节二项分布、超几何分布与正态分布
【课标标准】 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其含义．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为________________．
2．二项分布
(1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．
(2)均值与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
3．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放
回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m ＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．4．正态分布
(1)正态曲线
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当μ＝0，σ＝1时，相应曲线称为标准正态曲线．
(2)正态曲线特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线与x轴之间的区域的面积为____________．
③曲线是单峰的，它关于直线________对称．
④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值).
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．
⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为____________．
(4)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(5)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
[常用结论]
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项展开式的通项，其中a＝p，b ＝1－p.( )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )
(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )
2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．0.33 B．0.66
C．0.5 D．0.45
3．(教材改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．
4．(易错)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
B．
5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________．
关键能力·题型突破
题型一二项分布
例 1[2023·河北沧州模拟]足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等
可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”
来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(ⅰ)若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出的概率；
(ⅱ)求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出的概率．
题后师说
(1)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
巩固训练1
[2023·河南洛阳模拟]已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．如果某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的；如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次成功的概率；
(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望．
题型二超几何分布
例 2[2023·广东广州模拟]近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表(单位：吨)．
(1)
(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同)．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
题后师说
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
巩固训练2
共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某校园旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望．
题型三正态分布
例 3[2023·山东青岛大学附中模拟]某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．
(1)求最低录取分数(结果保留为整数)；
(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．
附：①当X～N(μ，σ2)时，令Y ＝，则Y～N(0，1)．
②当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.
题后师说
利用对称性，μ，σ以及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．
巩固训练3
[2023·江西南昌模拟]国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重(单位：千克)与身高(单位：米)的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：
档次低体重正常超重肥胖
体重指数x (单位：kg/m2)x<17.3
17.3≤x<
23.9
23.9≤
x<27.
2
x≥27.
2
学生得分801008060
某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布
)，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：
16.316.917.117.518.218.519.019.319.519.8
20.220.220.520.821.221.421.521.922.322.5
22.822.923.023.323.323.523.623.824.024.1
24.124.324.524.624.824.925.225.325.525.7
25.926.126.426.727.127.628.228.829.130.0
请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果．
附：参考数据与公式
若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3
1.[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤
2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．
2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
第六节二项分布、超几何分布与正态分布
必备知识·夯实双基
知识梳理
1．n重伯努利试验
2．（1）pk（1－p）n－k X～B（n，p）（2）np np（1－p）
4．（2）②1 ③x＝μ（3）X～N（μ，σ2）（5）μσ2
夯实双基
1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√
2．解析：设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，所以P(X ＝4)＝×0.94×0.1≈0.33.故选A.
答案：A
3．解析：P(X≥85)＝[1－P(75≤X<85)]＝＝0.158 5.
答案：0.158 5
4．解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的
球是白球的情况，此事件发生的概率为.故选B.
答案：B
5．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c ＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝.
答案：
关键能力·题型突破
例1 解析：(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P＝×3×＝，
门将在前三次扑出点球的个数X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的分布列为
X012 3
P
X的数学期望
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
或(易知X～B(3，)，E(X)＝3×＝)．
(2)(ⅰ)记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出”为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢
进3个点球，对应的概率为P(A)＝×()3＝.
(ⅱ)记“点球大战在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出”为事件B，意味着前5轮结束后比分为4∶4，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为
P(B)＝×()6＝.
巩固训练1 解析：(1)记“该小组有两次成功”为事件A，
则第一小组做了四次试验，该小组恰有两次成功的概率为：
P(A)＝＝.
(2)由题意得X的可能取值为0，2，4，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为：
X02 4
P
∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝.
例2 解析：(1)由题表可得厨余垃圾共有60＋20＋20＝100(吨)，其中投入厨余垃圾桶
的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率P＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X012 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.
巩固训练2 解析：(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆．
记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则P(A)＝＝.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以分布列为
X012 3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
例3 解析：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，
由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)＝，
即P(X<360)＝1－＝0.985，即有P(Y<)＝0.985，
则≈2.17，可得σ≈83，可得X～N(180，832)，
设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P(Y ≥)＝，
即有P(Y<)＝1－＝0.85，即有＝1.04，
可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266.
(2)考生甲的成绩286>267，
所以能被录取P(X<286)＝P(Y<)＝P(Y<1.28)≈0.90，
表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，
又由2 000×0.10＝200，
即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．
巩固训练3 解析：增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下：
档次低体重正常超重肥胖
体重指数x (单位：kg/m2)x<17.3
17.3≤x<
23.9
23.9≤
x<27.
2
x≥27.
2
人数32517 5
其中肥胖率为＝0.1，
而调整前，肥胖率为P(X>μ＋σ)＝＝0.158 65>0.1.
调整前，低体重的概率为
P(X<μ－2σ)＝＝0.022 75，
体重正常概率为P(μ－2σ≤X<μ)＝＝0.477 25，
超重概率为P(μ≤X<μ＋σ)＝＝0.341 35，
调整前体重指数平均得分为0.022 75×80＋0.477 25×100＋0.341 35×80＋0.158 65×60＝86.372，
调整后体重指数平均得分为×80＋×100＋×80＋×60＝88，
因此调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．
真题展台——知道高考考什么？
1．解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
答案：0.14
2．解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故错误．故选D.
答案：D。