河南省郑州市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题PDF版含答案

高三 理科数学答案 第1页 (共6页) 2020－2021学年上期中考
21届 高三 理科数学参考答案
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一．选择题： 本大题共12小题，每小题5分．
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二．填空题： 本大题共4小题，每小题5分．
13
．252 14．43- 15．①④ 16. ()1,2
三．解答题： 本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分
) 解：（1
cos sin )sin sin B C A C B -=．……………2分 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
得sin sin sin B C C B =．
由0πC <<，得sin 0C ≠
． 所以sin B
B =．
又cos 0B ≠， 所以tan B = ……………………………………………4分 又0πB <<，得2π3
B =．……………………………………………………6分 （2）由余弦定理及b =22222cos
3a c ac π=+-，……………8分 即212()a c ac =+-．
将4a c +=代入，解得4ac =．……………………10分 所以1sin 2ABC S ac B =
△142=⨯=……………………………………12分
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18．(本小题满分12分)
解：（1）证明：由底面ABCD 为矩形，得AB ⊥AD ，
∵平面MAD ⊥平面ABCD ，平面MAD ∩平面ABCD =AD ，
AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面MAD ，
∵AB//CD ，CD ⊂平面MCD ，AB ⊄平面MCD ，
∴AB//平面MCD ，
∵平面MAB ∩平面MCD =MN ，∴MN//AB ，
∴MN ⊥平面MAD ，
∵MD ⊂平面MAD ，∴MN ⊥MD ．…………6分
（2）解：如图，设AD 的中点为O ，过O 作OH//AB ，交BC 于H ，由题意知OA ，OH ，OM 两两垂直，
以O 为原点，分别以OA ，OH ，OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，
则()2,2,0B ，()2,0,0D -
，(M
，(N ，
设平面MBD 的法向量(),,n x y z =，则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4x −2y =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −2y +2√3z =0
， 取x =3
，得(3,n =-，
设平面NBD 的法向量(),,m a b c =，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a −2b =0m ⃗⃗⃗ ⋅DN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +b +2√3c =0， 取a =1，得()1,2,0m =-
，15cos ,=43m n
m n m n ⋅∴=
由图可知二面角M −BD −N 的平面角为锐角，
所以 二面角M −BD −N 的余弦值为
4
．
………………12分 19．(本小题满分12分) 解：（1）椭圆的半焦距为c.根据题意，得222221314c a
a
b a b c
⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得224,1a b ==． 所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． ……………………4分
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（2）由l 不垂直于坐标轴知，直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为(),0y k x n k =-≠． 联立()2
214x y y k x n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得()
22222148440k x k nx k n +-+-=． 设()11,P x y ,()22,Q x y ，易知12x x m ≠≠． 由根与系数的关系，得221224414k n x x k -=+，2122814k n x x k
+=+． 由PBA QBA ∠=∠，得0PB QB k k +=，所以12120y y x m x m
+=--．……………8分 所以()()()()12211212=0220y x m y x m x x m n x x mn -+-⇔-+++=， 所以()222224482201414k n k n m n mn k k
-⨯-++=++整理可得44,mn m n ==即 ． 因为02n <<，所以()2,m ∈+∞． ………………12分 20．(本小题满分12分)
解：（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布B(3,12)，故P(k)=C 3k (12)k (12)3−k (k =0,1,2,3)．则k
分
(Ⅱ)①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，
因为()12004P ξ==, ()33004
P ξ== ， 所以()1320030027544E ξ=⨯
+⨯=． 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=． ……7分
高三 理科数学答案 第4页 (共6页) ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，
设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+= ． 所以()()13002P Y P A ===,()()()160014
P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=
⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244
E Y =⨯+⨯+⨯= ………11分 所以E(X)>E(Y)． ………12分 21．(本小题满分12分)
解：解：（1）f(x)的定义域为()0+∞，，()22x a f x e x
'=-． 显然当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，f′(x)无零点． ………2分 当a >0时，取()()22x a t x f x e x '==-，则()2240x a t x e x
'=->，即f′(x)单调递增， 又f′(a)>0，2202a a
a e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数f′(x)存在唯一零点．………4分 故当a >0时，f′(x)存在唯一零点，当a ≤0时，f′(x)无零点． ………5分
（2）证明：由（1）知，当a ≤0时，
f(x)单调递增，所以f(x)min =f(e)=e 2e −a =e 2e ，所以a =0．
因为()2
1ln m x g x x --'=，函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为y −3=0， 所以()1=01m g x -'=
，所以m =1． 又()1ln11+n=31g +=所以n =2，所以()1ln +2x g x x
+=． ………8分 根据题意，要证f(x)≥g(x)，即证
21ln 2x x e x +≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥．
令()()22ln x h x x e x =--，则()()()221212121.x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝
⎭ 令()()210x F x e x x =->，则()22120x F x e x
'=+>，所以F(x)在(0,+∞)上单调递增．
又1404F ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以F(x)有唯一的零点011,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．10分 当()00,x x ∈时，
()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()()02000min 2ln x h x h x x e
x ==--． 又因为()00F x =，所以020
1x e x =， 所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故()()f x g x ≥． ……………………………12分 22．(本小题满分10分)
解：（1）直线l
的参数方程为2,()1,2
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数-， 消去参数t ，得l 的直角坐标方程为：10x y +-=．……………………2分
曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，即22sin cos ρθρθ=，
将sin ,cos y x ρθρθ==代入，得曲线C 的直角坐标方程：2y x =，………5分
（2）把直线l
的参数方程2,2()1,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数-，代入C 的方程 2y x =， 得
220t --=，………………………………………………7分
设12t t 、分别为A B 、对应的参数，则122t t ⋅=-，…………………………9分 所以 12||||||||2PA PB t t ⋅=⋅=．…………………………………………10分 23．(本小题满分10分)
解：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，
()22212
ab bc ca a b c ∴++=-++．……………………………………2分 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，
()22212
0ab bc ca a b c ∴++=-++<．……………………………………5分 （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<， 1,a b c a bc
=--=，…………………………………………………………7分 ()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc
++++∴=⋅==≥=．………………9分
当且仅当b c =时，取等号，
a ∴≥3max{,,}4a
b
c ．…………………………………………10分。