三角形和四边形的认识与证明

三角形和四边形的认识与证明
第五单元平面图形及其位置关系
三角形和四边形的认识与证明
Ⅰ.考点透视
一.平面图形及其位置关系
1.直线.射线与线段的区别与联系
2.角(角的两种定义.角的分类.角的度量以及余角.补角的概念和性质)
3.相交线与平行线
(1)相交线(对顶角的概念及其性质.垂线的概念及其性质)
(2)平行线(平行线的性质与判定)
例1.如图,在正方形网格中,∠α.∠β.∠γ的大小关系是( )
A.α_gt;β_gt;γ
B.α=β_gt;γ
C.α_lt;β=γ
D.α=β=γ
二.三角形的认识与证明
1.三角形(三角形的有关概念.三角形的分类.三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)
2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)
3.角平分线与线段的垂直平分线(定义.性质与判定)
例2.下列说法:①等边三角形有三条对称轴;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角形;③等腰三角形的一边长为4,另一边长9,则它的周长为17或22;④一个三角形中至少有两个锐角.其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
三.四边形的认识与证明
1.平行四边形(平行四边形的定义.性质与判定)
2.特殊的平行四边形
(1)矩形(定义.性质与判定)
(2)菱形(定义.性质与判定)
(3)正方形(定义.性质与判定)
3.梯形(等腰梯形的定义.性质与判定)
4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)
例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质( )
A.四边都相等
B.对角线互相垂直且平分
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
(2)下列命题中假命题的是( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B.两条对角线相等的四边形是矩形.
C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
D.两条对角线相等的菱形是正方形
(3)检查一个门框是矩形的方法是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.测量有三个角是直角
C.测量两条对角线是否互相平分
D.测量两条对角线是否互相垂直
(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )
A.矩形
B.菱形
C.梯形
D.正方形
(5)菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于(
)
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
(6)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E.F是AC的三等分点,则△BEF的面积是( )
A.8
B.12
C.16
D.24
Ⅱ.中考演练
一.选择题(每小题4分,共40分)
1.如图,已知直线AB.CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )
A.30°
B.35°
C.20°
D.40°
(第1题图) (第3题图)
(第5题图)
2.以长为13cm.10cm.5cm.7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )
A.1
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠A,且AN⊥BN于点N,AB=10,AC=16,则MN等于( )
A.2
B.2.5
C.3
D.3.5
4.以下不能构成三角形三边长的数组是(
)
A.(1,,2)
B.(,,)
C.(3,4,5)
D.(32,42,52)
5.如图,在RtΔABC中,AF是斜边上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为( )
A. B. C. D.
6.顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连结所得四边形四边的中点得到的图形是 (
)
A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形
7.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是
A.
B.
C.
D.
8.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′的位置,若
∠EFB=65°,则∠AED′等于( )
A．50° B．55°C．60° D．65°
(第8题图)
(第9题图)
(第11题图)
9.如图,矩形ABCD中,AB=CD=_,AD=BC=y,把它折叠起来,使顶点A与C重合,则折痕PQ的长度为( )
A. B. C. D.
10.如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要( )
A.三个正三角形,两个正方形
B.两个正三角形,三个正方形
C.两个正三角形,两个正方形
D.三个正三角形,三个正方形
二.填空题(每小题4分,共40分)
11.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若
AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是
.
12.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长,面积是 .
13.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60_ordm;,则矩形的两邻边分别长
和 .
14.已知:□ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,添加适当的条件
(1)使它成为菱形.条件:
.
(2)使它成为矩形.条件:
.
(3)使它成为正方形.条件: .
15.四边形ABCD的两条对角线AC.BD互相垂直,ABCD是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形ABCD的周长为,面积等于.
三.(每小题8分,共16分)
16.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设
AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
17.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,DE⊥BC于E,AE＝BE,BF⊥AE于F,线段BF与图中的哪一条线段相等.先写出你的猜想,再加以证明.
猜想:BF＝.
证明:
四.(每小题9分,共18分)
18.如图△ABC中,∠B=2∠A, AB=2BC.
求证:∠C=90°.
19.已知:△ABC中AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.
(2)当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?
五.(每小题10分,共20分)
20.在矩形ABCD中,AB=16,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,求AF的长.
21.如图,AB.CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F.G.H分别是DE.BE.AC的中点.
求证:(1)AF⊥DE;
(2)FH=GH.
六.(本题满分12分)
22.我们知道,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形(如图1所示),一个梯形可以剪开拼成一个矩形(如图2所示),一个矩形可以剪开拼成一个三角形(如图3所示).
图1
图2
图3
那么任意一个四边形呢?你也可以将它剪开而拼成各种各样的图形. (1)请你仿上用图示的方法把它剪开而拼成平行四边形.矩形.三角形;
(2)想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?
七.(本题满分12分)
23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为〝勾三.股四.弦五〞.
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分)
(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股.弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(4分,除已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,将酌情另加1_3分)
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;,8,15,17;……,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m_gt;4)的代数式来表示他们的股和弦.(4分)
八.(本题满分12分)
24.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察.乐于探索,我们还会发现更多的结论.
(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.
已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图①).
求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.
(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。