人教版八年级数学上册12.2.2全等三角形的判定2(边角边)

等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
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39
知识梳理:
A
A B
SSA不能 判定全等
B
C
DD
B
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C A
D
40
小结
1.边角边公理：有两边和它们的__夹__角__对应相等的 两个三角形全等（SAS）
4．已知: 如图，∠1＝∠2，BD＝CA. 求证:∠A＝∠D.
【提示】 先证ΔABC≌ ΔADC
5．已知: 如图，B、F、E、D在一条直线上， AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D.
求证:(1)AE＝CF； (2)AE∥CF； (3)∠AFE＝∠CEF.
【提示】 先证ΔABE≌ ΔDCF
6．已知：如图，ABC为直线，EB⊥AC， BD＝BC，AB＝BE.
求证：AF⊥EC.
【提示】求证△ABD≌△EBC， 得∠A＝∠E， 因为∠ADB＝∠EDF， ∠A＋∠ADB＝90°， 所以∠E＋∠EDF＝90°， AF⊥EC.
附加题
已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， AC=DB，AE=DF，EA⊥AD，FD⊥AD，垂足 分别是A，D。
求证：△EAB≌△FDC
在△ACB 和 △ADB中
AC = A D
A
B
∠CAB=∠DAB
A B = A B (公共边）
∴△ACB≌△ADB （SAS） D
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12
在下列推理中填写需要补充的条
件，使结论成立：
A
(1)如图，在△AOB和△DOC中已知 AO=DO，BO=CO，
求证：△AOB≌△DOC
证明：在△AOB和△DOC中B AO=DO(已知)
∠A= ∠A( 公共角) A
E
B
_A_C__=_A_B__(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS）
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证明三角形全等的步骤：
1.写出在哪两个三角形中证明全等。 （注意把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上）.
2.按边、角、边的顺序列出三个条件， 用大括号合在一起.
3.写出结论.每步要有推理的依据.
符合图一的条件，它 可称为“两边夹角”。
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
尺规作图，探究边角边的判定方法
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个 △A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的 △A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 ?
(4) 两角一边
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
A
B
C
图一
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
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在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，
一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公
共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归
结成两句话：已知中找，图形中看.
平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：
角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）
AE = CF 23
证明：
准备条 件
∵AD//BC
∴ ∠A=∠C （两直线平行，内错角相等）
又∵AE=CF
A
∴AE+EF=CF+EF
E
即 AF=CE
指范围
在△AFD和△CEB中，
B
D
F C
写出结论
AD=CB (已知）
∠A=∠C (已证） AF=CE (已证） △AFD≌△CEB（SAS）
摆齐根据
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BA边=B:CA（B=已(SC知AB(S）已) 知) ∠A角B:D∠=∠ABCDB=D∠（C已BD知(已）知)
∴ △BAD边B=DB:D≌(公△？共BCD边B=D）B（DSA(公S）共边）
A
D C
追问：例1的已知条件不改变,
20问21/A5/2D7 =CD吗?BD平分∠ADC吗？
26
例题 推广
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD 。 问AD=CD， DB平分∠ ADC 吗？
18
应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题
问题2 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个 顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完 全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？
利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因 为它完整地保留了两边及其夹角， 一个三角形两条边的长度和夹角的 大小确定了，这个三角形的形状、 大小就确定下来了．
已知：如图，MA＝NB，MC＝ND， ∠M＝∠N．
求证：AB＝CD．
证明：在△AMC和△BND中
MA NB ∠__M_ _∠_N_ _M__C _N__D ∴△AMC≌△BND (SAS）
∴AC=BD 全等三角形的对应边相等
∴AC-BC=BD-BC 等量减等量差相等
∴AB=CD
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相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分
线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等.
线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；
等式202性1/5质/27 .
16
课堂练习
如图，在△ABC中，AB＝AC， AD平分∠BAC， 求证： △7
课堂练习
C
A
B
尺规作图，探究边角边的判定方法
画法：
（1） 画∠DA′E =∠A；
（2）在射线A′D上截取
A′B′=AB，在射线
A
A′E上截取A′C′=AC；
（3）连接B′C′．
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
A′
说明：这两个三角形全等．
C
B E C′
D B′
尺规作图，探究边角边的判定方法
三角形全等判定方法2
∴AC⊥BD(垂直定义）.
探索“SSA”能否识别两三角形全等
问题3 两边一角分别相等包括“两边夹角”和
“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已
探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”
的条件能判定两个三角形全等吗？
如图，在△ABC 和△ABD 中，
A
AB =AB，AC = AD，∠B =∠B，
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
课堂练习
例1已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB.
求证: △ACB ≌ △ADB.
C 证明:
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
C
D
注重书写格式
三步走： ①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
综合提高
A
如右图，已知：AB=AD，CB=CD.
求证：AC⊥BD.
B
证AB分明= ：析AD：在(已欲知A）证B，CCAB和C=C⊥DA（BD已DC中知，），只， 需证
O
D
AC∠= AACO(公B共= 边∠）AOD，这就要证明
∴ ∴∠AABABBCOO=≌∠≌DAADOC(（全AS等DS三SO）角，，形它的对已应经角相具等备） 在了A两BO个和条A件DO：中，AB=AD，OA=AO,
∴ AB =DE
1
C
（全等三角形的对应边相等）．
2
E
D
例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，
AE=CF
A
D
求证：△AFD≌△CEB
E
分析：证三角形全等的三个条件
边 AD = CB （已知）
B
F C
角 ∠A=∠
边C
两直线平行，
AD // BC
内错角相等
AF = CE ？
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八年级 上册
12.2.2 三角形全等的判定 （第2课时）
学习目标
• 1.了解“SAS”公理的形成过程。 • 2.掌握“SAS”公理的几何意义，会用定理
进行推理证明。 • 3.注意：掌握“SSA”不能保证两个三角形
全等的反例图形的几何意义。
• 自学指导
• 自学课本：第37-39页，包括课后练习
知识回顾: 三角形全等判定方法1
但△ABC 和△ABD 不全等．
B
CD
探索“SSA”能否识别两三角形全等
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE =5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全 等？
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三 角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此， △ABC 和△DEF 不一定全等．
A
B D
C
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变式： 已知:AD=CD， BD 平分∠ ADC 。 问∠A=∠ C 吗？
A
B D
C
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2.已知：如图， AO=BO ，DO=CO
求证：AD∥CB
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
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29
90°
E
∟
A B C ∟D
F
附加题
已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=A∠2，
求证：△ABD≌△ACE
1
证明：∵ ∠1=∠2，
C B
∴ ∠1+ ∠EAB = ∠2+ ∠EAB
2 ED
即 ∠DAB = ∠EAC
在△ABD和△ACE中，
AB = AC
∠DAB = ∠EAC
AD = AE ∴ △ABD ≌ △ACE（SAS）
B
你知道为什么吗？
A
按图写出“已知”“求证”，并加以
证已明知：AD与BE交于点C，CA=CD，
CB=CE.求证：AB=DE
C
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D
E
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例题讲解，学会运用
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
∠1 =∠2 （对顶角相等），
BC =EC（已知） ，
A
B
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）．
例题讲解，学会运用
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无 法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能 想出办法来吗？
A
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B
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例题讲解，学会运用
在平地上取一个可直接到达A和B的点C，
连结AC并延长至D使CD=CA
延长BC并延长至E使CE=CB 连结ED，
那么量出DE的长，就是A、B的距离.
C
AB所= 以AD只(已需知）证，∠∠BBAAO =O∠=D∠AOD(已A证O），，为AO= AO (公共边）
∴ ∴了∠证AABO明OB =≌这∠A一AODD点O(全（，等SA还三S）角需，形证的对明应角相A等B）C
∴ 又≌∵∠∠AOAOBAB=D+∠C∠A.OAOD=D
=180°(邻补角定义） 90°.
知识梳理: 三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
F
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知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
D O
C
∠__A_O_B__=∠__D_O__C__( 对顶角相等 )
BO=CO(已知)
202∴1/5/2△7 AOB≌△DOC（ SAS）
13
(2).如图，在△AEC和△ADB中，已知 AE=AD,AC=AB。求证：△AEC≌△ADB
C
证明：在△AEC和△ADB中
D
_A_E__=_A_D__(已知)
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1、如图，两车从路段AB的一端A出 发，分别向东，向西行进相同的距 离，到达C、D两地，此时C、D到B
的距离相等吗？为什么？
B
D
A
C
学以致用 1.已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
△ ABD 和△ CBD 全等吗？ 分证明析：: 在△△ AABBDD 和≌△△CCBBDD中 B
课堂练习
1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE， ∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ADE.
【点评】这里∠1和∠2不是所证三角形中的角， ∠BAC和∠DAE才是三角形的内角.所以须证 ∠BAC＝∠DAE，才能满足①、②、③三个条件.
12
2、已知：如图，AE是△ABC的中
A
线，D是 BC延长线上一点，且CD
＝AB，∠BCA＝∠BAC.
求证：AD＝2AE.
BE
C
D
【分析】通过添加辅助线，构造全等三角形是
一种常用的思考方法.若已知条件中有中线，
常2延021长/5/中27线成两倍关系，构成全等三角形.
F
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证明题：
3．已知:如图，AD∥BC，AD＝CB. 求证:AB＝CD.
【提示】连结AC， 由 △ABC≌△CDA， 故 AB＝CD.