二阶常微分方程级数解法

1 ∂ ∂v 1 ∂ v ∂ v (ρ ) + 2 + 2 + k 2v = 0 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ 2 ∂z
2 2
17
设具有分离变数形式的解为
u ( ρ , ϕ , z ) = R ( ρ )Φ (ϕ ) Z ( z )
，最
代入方程后，一步步的分离， 代入方程后，一步步的分离，引入常数 λ ,ν 2 后得
20
9.2 常点邻域上的级数解法
级数解法引入: 级数解法引入: 对分离变数法得到的二阶常维分方程, 对分离变数法得到的二阶常维分方程,考虑在初始 条件下的求解方法. 条件下的求解方法.即:
y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 y ( x 0 ) = C 0 , y ′( x 0 ) = C 1 x 0 是指定点，C 0 , C1 为常数。 是指定点， 为常数。
1 ∂ 2 ∂v 1 ∂ ∂v 1 ∂ 2v (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 + k 2v = 0 r 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
同样， 同样，设试探解 代入整理后得
u (r ,θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ )
15
d 2 dR (r ) + [k 2 r 2 − l (l + 1)]R = 0 dr dr 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1)Y = 0 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
Φ′′ + λΦ = 0
Z ′′ + ν 2 Z = 0 d 2 R 1 dR λ 2 2 + + (k −ν − 2 ) R = 0 2 ρ dρ dρ ρ
第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题: 第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题:
λ = m = 0,1,L) (m
2
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
∆v + k v = 0 与三维波动方程比较， 与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方 不同的只是T的方程，这里， 的方程是一阶的， 程，不同的只是T的方程，这里，T的方程是一阶的， 解为
2
T = Ce
−k 2a 2t
14
4. 亥姆霍兹方程 与拉氏方程比较， 与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 仍采用对拉氏方程的讨论方法。 (1) 球坐标系 亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为
18
令
µ = k −ν
2
2
则R的方程化为
d 2 R 1 dR m2 + + (µ − 2 ) R = 0 2 dρ ρ dρ ρ
再考虑作代换 x = 则有m µ ρ ，则有m阶贝塞尔方程
d 2 R 1 dR m2 + + (1 − 2 ) R = 0 2 dx x dx x
19
关于这一部分的总结， 关于这一部分的总结，见P236 说明：在前面讨论波动方程、输运方程时， 说明：在前面讨论波动方程、输运方程时，使用分离 变数法， 按讨论时的情况， 变数法，常数 k 2 ，按讨论时的情况，是不能这样选 取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。 取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。 后面我们将会看到，由于齐次边界条件中， 后面我们将会看到，由于齐次边界条件中，只能这样 选值。 选值。
Z = C + Dz (m E + F ln ρ = 0) R= m Eρ + Fρ − m ≠ 0) (m
：对R的方程作代换
(ii) µ > 0 方程化为
x = µρ
d R 1 dR m + + (1 − 2 ) R = 0 2 dx x dx x
2 2
注意: 这里的x不是直角坐标系里的 不是直角坐标系里的x。 注意 这里的 不是直角坐标系里的 。
对应的本征函数为 这时， 这时，另一个方程为
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
5
1 d dΘ m (sin θ ) + [l (l + 1) − 2 ]Θ = 0 sin θ dθ dθ sin θ 作变换 x = cosθ 有 ，
2
1 d dΘ dx d dΘ 2 (sin θ )=− (− sin θ ) sin θ dθ dθ dθ dx dx d 2 dΘ = [(1 − x ) ] dx dx
Laplace方程时的情况比较 仅是R的方程不同， 方程时的情况比较， 与Laplace方程时的情况比较，仅是R的方程不同，R 的方程可写为
d R dR r + 2r + [k 2 r 2 − l (l + 1)]R = 0 dr 2 dr
2
2Fra Baidu bibliotek
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阶的球贝塞尔方程。 称为L阶的球贝塞尔方程。作代换
∂u 1 ∂ 1 ∂ 2u ∂ 2u (ρ ) + 2 + 2 =0 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 设具有分离变数形式的解为
u ( ρ , ϕ , z ) = R( ρ )Φ (ϕ ) Z ( z )
代入后， 代入后，得
Φ′′ + λΦ = 0 ′ ρ 2 d 2 R ρ dR 2 Z′ + +ρ =λ 2 R dρ R dρ Z
Z 0是指定点， 是指定点，
2
C 0 , C1为复常数。 为复常数。
说明： 说明：
(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 (1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。 级数解法是一个比较普遍的方法 对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。 (2) 对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选 作展开中心， 为中心的幂级数。 定某个点 Z 0作展开中心，得到的解是以Z为中心的幂级数。 0 另外还必须确定幂级数的收敛圆， 另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有 意义。 意义。
阶勒让德方程。 称为L阶勒让德方程。 注意：此处的x不是直角坐标系中的x 注意：此处的x不是直角坐标系中的x，而是
d Θ dΘ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2 2
x = cosθ
7
(2) 柱坐标系 柱坐标系中的Laplace Laplace方程为 柱坐标系中的Laplace方程为
utt − a ∆u = 0
2
12
分离变数得
v v u(r , t ) = T (t )v(r )
代入方程并分离得
′′ + k 2 a 2T = 0 T ∆v + k v = 0
2
关于T的方程的解为 关于T
T (t ) = C + Dt = 0) (k T = C coskat + D sin kat = Ce
第九章
二阶常微分方程级数解法 本征值问题
1.特殊函数常微分方程 特殊函数常微分方程 2.常点邻域上的级数解法 常点邻域上的级数解法 3.正则奇点邻域上的级数解法 正则奇点邻域上的级数解法 4.施图姆 刘维尔本征值问题 自学 施图姆-刘维尔本征值问题 自学) 施图姆 刘维尔本征值问题(自学
1
§1. 特殊函数常微分方程
Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) Φ′′ + λΦ = 0 d dΘ 2 sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin θ − λ ]Θ = 0 dθ dθ
第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题， 第一个方程加上自然周期条件构成本征值问题，本征 值为 2
λ = m = 0,1, L) (m
x = kr , R(r ) =
得到
π
2x
y ( x)
d2y dy 1 2 2 2 x + x + [ x − (l + ) ] y = 0 2 dx dx 2 这称L+1/2阶的贝塞尔方程 阶的贝塞尔方程。 k=0时 这称L+1/2阶的贝塞尔方程。当k=0时，方程则退化为 欧拉型方程。 欧拉型方程。 (2) 柱坐标系 柱坐标系中的亥姆霍兹方程为
10
d 2R dR 或者写为 x 2 +x + ( x2 − m2 )R = 0 dx 2 dx
这称为m阶贝塞尔方程。 这称为m阶贝塞尔方程。 该方程以后讨论， 该方程以后讨论，Z的解为 Z = Ce
µz
+ De −
µz
(iii) µ < 0 ：通常记 − µ = ν 2 > 0 ，Z的解为
Z = C cosνz + D sin νz
级数解法思想： 的邻域上， 级数解法思想：在某个任选点 x 0 的邻域上，待求解表 为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件， 为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件， 确定待定系数，最后得到解。 确定待定系数，最后得到解。
21
不失一般性， 不失一般性，讨论复变函数的线性二阶常微分方程
d w dw + p( z) + q( z)w = 0 2 dz dz w ( z 0 ) = C 0 , w ′( z 0 ) = C 1
ikat
+ De
−ikat
(k ≠ 0)
关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。 关于v的偏微分方程称为亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹 亥姆霍兹方程 方程以后讨论。 方程以后讨论。 13
3. 输运方程 三维输运方程为
ut − a2∆u = 0
和对三维波动方程的讨论一样， 和对三维波动方程的讨论一样，设 v v u(r , t ) = T (t )v(r ) 有 T ′ + k 2 a 2T = 0
解关于R的方程 解关于 的方程
R(r ) = Cr + Dr
l
− ( l +1)
球函数， Y与半径r无关，故称为球面函数，简称球函数，因此 与半径r无关，故称为球面函数，简称球函数 它的方程称为球函数方程 球函数方程。 它的方程称为球函数方程。
4
将球函数方程进一步分离变数， 将球函数方程进一步分离变数，有
于是， 于是，方程为
6
即
d m 2 dΘ [(1 − x ) ] + [l (l + 1) − ]Θ = 0 2 dx dx 1− x
2
d 2Θ dΘ m2 (1 − x 2 ) 2 − 2 x + [l (l + 1) − ]Θ = 0 2 dx dx 1− x 阶连带勒让德方程，特例为m= m=0 这称为L阶连带勒让德方程，特例为m=0，有
对R有方程作代换
x = νρ
d 2R dR 2 x +x − ( x2 + m2 )R = 0 2 dx dx
11
这称为虚宗量贝塞尔方程，只要把贝塞尔方程的自变 这称为虚宗量贝塞尔方程， 虚宗量贝塞尔方程 ix代换 就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。 代换， 量x用ix代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。 前面，对三维Laplace方程，在球坐标系中， Laplace方程 前面，对三维Laplace方程，在球坐标系中，由 阶勒让德方程，柱坐标系中， 的方程导出L阶勒让德方程，柱坐标系中，由R的方程 在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方 程。 2. 波动方程 前面讨论波动方程等是在一维情况下， 前面讨论波动方程等是在一维情况下，现在讨论三维 情况(空间) 情况(空间)。波动方程为
首先将r与方向变数分离开， 首先将r与方向变数分离开，设
u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ )
),得 假设常数为l(l+1),得
3
d 2 dR (r ) − l (l + 1) R = 0 dr dr 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1)Y = 0 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
8
λ = m 2 = 0,1, L) (m
第二个方程变为
Z ′′ 1 d 2 R 1 dR m 2 + − 2 =− = −µ 2 ρ R dρ ρ R dρ Z
得
Z ′′ − µZ = 0 d R 1 dR m + + (µ − 2 ) R = 0 2 dρ ρ dρ ρ
9
2
2
讨论： 讨论： 的方程是一个欧拉方程， (i) µ = 0 ：R的方程是一个欧拉方程，解为
1.Laplace方程 1.Laplace方程 2.波动方程 2.波动方程 3.输运方程 3.输运方程 4.亥姆霍兹方程 4.亥姆霍兹方程
2
1.Laplace方程 ∆u = 0 方程 (1) 球坐标系中的表示 球坐标系中的Laplace方程为 方程为 球坐标系中的
∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 =0 2 ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ