入乎其内固深景出乎其外固高致

在l 的什么位置时,使 AC＋BC 最小 ．
如图 ２,作点 A 关于直线l 的对称
线段延长 一 定 的 长 度,使 延 长 的 部 分 等 于 另 一 条 线
图１
点 D ,连接 BD ,当点 C 在 BD 与 直 线
务,忽 视 该 例 题 的 教 学 价 值,无 异 于
“入 宝 山 而 空 返 ” ．
J]．
中学数学,
２００８(
１２)．
[
学 会 数 学 思 考,让 核 心 素 养 扎 根———赏 析
３]桂文通 ．
２０２１ 年武汉市中考数学试卷中的“图 形 与 几 何”试
y 的 值 最 小,此 时 △FAD ∽ △CBD ,根 据
AD AF １
故图象最低点的横
＝
＝ ,求得 AD ＝ ２－１．
BD BC ２
坐标为:２－１．
的情境做了适当的加工,我 们 还 是 发 现 问 题 的 结 构 和
解法在本质上保持了高 度 的 一 致,这 体 现 了 中 考 命 题
对教材的回归和良好的教学导向 ．
距离和最小 ．
以下过程略 ．
( ２２,２２ ) ,N (０,１)两 点 的
第四步:解题回顾 ．
第二步:拟定计划 ．
本问题是“两 个 定 点 A ,
C,两 个 动 点 D ,
E ”与 我
们的源问题“两定一动”模型不一致,需要转化 ．
观察目
标问题是“
a＋b”的 问 题,我 们 可 以 借 助 于 源 问 题 的 解
AC＋BC 的最小值问题,由对 称 方 法 可 求 此 时 的 最 小
值．
作点 A 关于直线l 的对称点 D ,并过点 D 作EF 的
平行线与 BF 的延长线交于点 G ,连接 BD ．
BF ＋ED ＝BF ＋AE ＝２＋１＝３,运 用 勾 股 定 理 求 得
BD ＝５．
所 以,代 数 式
值是 ５ ．
合与互化 ．
经验去解决新的问题或作 出 评 价,体 现 对 所 学 知 识 或
方法的灵活运用 ．
从中考试题的解答来看,学生自觉 模
式识别、运用 模 式,并 且 都 能 够 从 不 同 的 角 度 进 行 思
考,我们看到了学生创造性的火花 ．
在“双减”背景下复习 备 考,我 们 教 师 要 思 考 如 何
教学生照本宣科地学教材 ．
在对教材的使用上,我们 要
视解题的再 思 考,不 就 题 讲 题,要 实 现 通 过 有 限 道 题
能“入乎其中”,挖掘教 材 的 深 度,拓 宽 教 材 的 广 度,适
获取解无穷道题的那种数 学 机 智,达 到 解 一 题 通 万 题
当地对教材内容进行开发和创造 ．
吃透教材重点、找 准
拓展 ２:求 代 数 式
２
２
(
４－x)＋２ ．
来的图形,图形是画 下 来 的 公 式”(希 尔 伯 特 语)．
在代
数问题的解决中,若将其 数 量 关 系 赋 予 一 定 的 几 何 意
义,实现数与形的信息 互 换,将 分 散 的 条 件 集 中 起 来,
往往使问题变得非常直观 ．
(
３)提炼一个最值模型 ．
AD 的 值 ．
一个重要条件“
AD ＝BE”．
(x－ ２２ ) ＋ ( ２２ )
２
y ＝AE ＋CD ＝
＝
(x－ ２２ ) ＋ (０－ ２２ )
２
２
＋
２
图９
＋ x ＋１
２
２
２
２
(
x－０)
＋(
０－１) ．
上式可以看 成:在 平 面 直 角 坐 标 系 中,在 x 轴 上
找点 P (
x,
０),使点 P 到 M
题经 验,将 线 段 AE ,
CD 变 成 首 尾 相 接 的 折 线,需 要
构造一条线段使它等于 AE 或CD [３]．
本题通过几何图形中 的 动 点 最 值 问 题,考 查 了 考
生的几何构 造 思 维 和 解 读 图 象 的 信 息 获 得 与 处 理 能
力,突出对分析和解决综合问题的能力考查 ．
由此可见,我们 要 重
视教材的使用与开发,从 教 材 的 例 题 或 习 题 中 生 成 中
考试题,包括试题的立意、情境、设问和解法等 ．
教材是一 种 资 源,是 师 生 对 话 的 一 个 “话 题 ”,一
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４３
命题研究
如图 ９,过 点 A 作 AG ⊥BC 于 点
G ,则 BG ＝AG ＝
２
２
,
在
EG ＝
－x．
２
２
Rt△AGE 和 Rt△CAD 中 分 别 运 用 勾
图６
股定理,得
下面运用 波 利 亚 “怎 样 解 题”的 四 个 步 骤 简 要 分
析这道中考试题 ．
第一步:弄清题意 ．
根据图象 观 察,图 象 过 点 (
AE ．
问题转化 为 在 AB 上 找 一 点 D ,使 点
此
D 到 两 定 点 C,
G 的 距 离 和 最 小．
图８
时,作 点 C 关 于 AB 的 对 称 点 H ,连
接 GH 交 AB 于点 M ,
AM 的长 就 是 图 象 最 低 点 的 横
坐标 ．
以下过程略 ．
方法 ３:运用代数的方法 ．
的最高解题境界 ．
让教材成为你备考复习的拐杖,遨 游
难点,深刻认 识 教 学 内 容 的 内 在 本 质,挖 掘 出 实 质 性
题海的快艇、破解难题的利器 ．
的东西,多思考一下如何揭 示 数 学 思 想 方 法 或 解 题 策
好的数学解题教学就 应 该 追 求 这 种“入 乎 其 内 固
略,提升学生的数学 素 养 ．
命题研究
２０２２ 年 ５ 月下半月
入乎其内固深景 出乎其外固高致
◉ 武汉市教育科学研究院 桂文通
AC＋BC＝ x２ ＋１２ ＋
１ 引言
许多中考 试 题 的 设 计 与 命 制 一 直 重 视 教 材 资 源
的应用与拓展,坚 持 源 于 教 材,高 于 教 材 的 命 题 指 向 ．
本文中以一道经典的课本例题与中考试题的关联为
(
２)转化是一种重要的解题策略 ．
在例题中,运用轴 对 称 变 换 将 直 线l 同 侧 的 两 点
转化为异侧两 点;在 拓 展 ２,根 据 代 数 式 的 结 构 特 征,
如下拓展 ．
作直线l 的 垂 线,垂 足 分 别 为 E ,
F,
C
为 直 线l 上 的 一 个 动 点,若 AE ＝１,
段,一般称 为 “补 短 法 ”．
在问 题 的
解决中需要 考 生 借 助 自 己 的 解 题 经 验,合 理 联 想,构
造合适的几何图形(方法 １ 和 方 法 ２ 还 有 其 他 类 似 的
解法,尤其是方法 ３ 要求 考 生 能 够 通 过 代 数 式 的 特 征
第三步:实施计划 ．
联想到几何图形),自觉转化为考生熟悉的问题 ．
方法 １:构造线段 DF ＝AE ．
４ “入乎其中”与“出乎其外”
如图 ７,过 点 A 作 AF ∥BC,且
AF ＝ AB ,可 证 △FAD ≌ △ABE
(
SAS),从 而 FD ＝ AE ,于 是 y ＝
当 C,
AE ＋CD ＝FD ＋CD ．
D,
F 三
比较中考试题与课本 例 题,尽 管 中 考 试 题 对 问 题
图７
点共线 时,
此题还可以进行
[
１]
图２
拓展 １:如图 ３,过 A ,
B 两点分别
BF ＝２,
CE ＝x,
EF ＝４,用 含 有 x 的
代数式表示 AC＋BC 的值 ．
a,
b 转化为首尾相 接 的 折 线,这 里 主 要 是 运 用 轴 对 称
变换 构 造 了 相 等 的 线 段,将 AC 转 化 为 DC,从 而 将
２０２２ 年 ５ 月下半月
个引子,而不是课程 的 全 部 ．
教 材 是 可 以 超 越、可 以 选
学,让学生通 过 范 例 学 习,习 题 演 练 等 活 动 来 掌 握 数
择、可以变更的 ．
教 师 的 任 务 是 用 教 材 教 学 生,而 不 是
学知识与方法 ．
明确 解 题 目 的,不 要 解 一 题 忘 一 题,重
[
２]
x２ ＋１２ ＋
２
２
(
x－４)
＋２ 的 最 小
(
１)提供解决一类线段求和的方法 ．
教材 上 首 先 将 实 际 问 题 数 学 化,
对于 求 线 段 a＋b 的 问 题,一 般 是 将 其 中 的 一 条
如图 １,把 河 边 l 近 似 地 看 成 一 条 直
线,
C 为 直 线l 上 的 一 个 动 点,当 点 C
本例是通过几何变换将线段
AC＋BC 转 化 为 DC ＋BC,再 根 据 线 段 公 理 “两 点 之
间线段最短”,“化折为直”确定点 C 的位置 ．
l 的交点时,
AC＋BC 最小 ．
如果此时仅仅就题讲题完 成 了 任
联想到几何 图 形,通 过 几 何 元 素 反 映 代 数 特 征,体 现
了数形互 化 的 思 想 的 运 用,正 好 体 现 了 “算 术 是 写 下
设 x ＝AD ,
y ＝AE ＋CD ,
y
关于 x 的函数图象如图 ６,图 象 过 点 (
０,
２),则 图 象 最
低点的横坐标是 ．
图５
如图 ８,过 点 A 作 ∠DAG ＝４５
°,
且 AG ＝ AB ,连 接 DG ,则 可 证
△ADG ≌ △BEA (
SAS),从 而 DG ＝
于 是 y ＝AE ＋CD ＝DG ＋CD ,
例,谈谈只 有 老 师 讲 题 做 到 “入 乎 其 中”,才 能 有 学 生
解题“出乎其外”．
如果“入乎其中”是教 师 引 领 学 生 进 入 深 山,攀 爬
摸滚地四处欣赏美景,那么“出 乎 其 外”是 让 学 生 走 出
深山,站在远处,感 受 大 自 然 的 神 奇 和 世 界 的 美 好 ．
在
０,
２),即 当x＝AD ＝０
时,点 D 与 A 重 合,点 E 与 B 重 合,此 时 y ＝AE ＋
CD ＝ AB ＋ AC ＝２,又 因 为 AB ＝ AC,所 以 AB ＝
本题的目 标 是 求 “图 象 最 低 点 的 横 坐 标”其 实
AC＝１．
就是求当 AE ＋CD 值 最 小 时,
题干中还有
牧马人到河边的什么
根据 代 数 式 的 结 构 特 征,容 易 想
到两个 根 式 分 别 表 示 两 条 线 段 的 长,
于是可 以 构 造 图 ４．
作 线 段 EF ＝４,再
分别过点 E,
F 作 EF 的垂线,且 AE＝
图４
１,
BF＝２,在 EF 上取一点 C,设 EC＝
x,则 FC ＝４－x,于 是 代 数 式 的 最 小 值 问 题 转 化 为 求
规避“题 海 战 术”,开 展 深 度 教 学,让 数 学 解 题 效 益 更
高．
最好的 一 种 方 式 就 是 创 新 用 好 教 材,做 好 例 题 教
参考文献:
[
数学解题学 引 论[M]．
西 安:陕 西 师 范 大 学
１]罗增孺 ．
出版社,
２０１６．
[
一道课本例题的讨论与开发[
２]桂文通,张 继 红 ．
从问 题 本 身 来 看,“两 个 定 点 A ,
B ,一 个 动 点 C
４２
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命题研究
２０２２ 年 ５ 月下半月
方法 ２:构造线段 DG ＝AE ．
在直线l 上 运 动,求 AC ＋BC 的 最 小 值”可 以 归 结 于
“两个动点、一个定 点”,简 称 “两 动 一 定”模 型 ．
从问题
解决来看,运用轴对称变换的方法进行转பைடு நூலகம் ．
３ 中考试题———２０２１ 年武汉填空压轴题
如图 ５,在 △ABC 中,
边
AB ＝AC,∠BAC ＝９０
°．
AB 上的点 D 从顶点 A 出发,向顶点 B 运动,同时,边
BC 上的点 E 从顶点 B 出 发,向 顶 点 C 运 动,
D,
E两
点运动 速 度 的 大 小 相 等 ．
在 例 题 教 学 中,总 结 解 题 经
深景,出乎其外固 高 致 ”的 教 学 效 果,教 师 智 慧、学 生
验,如何处理“
a＋b”型 的 问 题;提 炼 解 题 方 法———轴
轻松、解题高效!
对称;并将形 的 问 题 拓 展 到 数 的 研 究,体 现 数 形 的 融
“出乎其外”,自觉地运用自己学习中积 累 的
图３
在 Rt△AEC 和 Rt△BFC 中 分 别 运 用 勾 股 定
２
２
(
x－４)
＋２ 的
例题教学的启示如下:
地方饮马,可使所走的路径最短?
理,得
最小值 ．
x２ ＋１２ ＋
在 Rt△BGD 中,
DG ＝EF ＝４,
BG ＝BF ＋FG ＝
２ 课本例题———“将军饮马”问题
根据题意,可知 CF ＝４－x．
数学解题教 学 中,入,即 深 入 其 中,深 钻 教 材、获 取 知
识、掌握方法;出,即 评 价 运 用,领 悟 本 质、厚 积 薄 发、
迁移应用 ．
义务教育教材(人教版)八 年 级 上 册 第 ８５ 页 有 一
个这样的问题:如图 １,牧 马 人 从 A 地 出 发,到 一 条 笔
直的河边l 饮 马,然 后 到 B 地 ．