材料力学第4章 弯曲应力

例题4.5 作图示梁的内力图
3kN 4.5kN m
2kN m
D
A
C
B
FA 10kN
1m 2m
2m
E FB 2kN 1m
7
3
x 1.56
2
3
kN
2
2
kNm
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.6
4kN m
6kN
2kN m
4.5
1m
1m
1.5
4
2m
kN
5.5 kNm
7 8.5
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.7 叠加法作弯矩图
F
q
＋
F
F
q
A
B
l
F+qL
A
B
l
1/2qL2+FL
A
B
l
F
qL
1/2qL2
FL
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.8 叠加法作弯矩图
F
m 1 Fl 4
A
CA
F
B
B
l2 l2
l2 l2
1 Fl
4
A C
-
+
+
1 Fl 8
弯矩图：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位
置变化的图线，规定正值的弯矩画在梁的受拉侧， 即x轴的下侧。
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
q
A
FA
l
x
ql 2
B
FS

ql 2
qx
FB
M ql x qx2
22
ql
ql 2
2
8
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.3 图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试
q
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA +
x
b
FB
-
FB
+
FAa
FBb
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
突变规律(从左向右画)：集中力作用处，FS图突
变，方向、大小与力同，M图斜率突变，突变成的尖 角与集中力F的箭头是同向；集中力偶作用处，M图 发生突变，顺下逆上，大小与M同，FS图不发生变化。
叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移等）
弯矩图：画在杆受拉的一侧，不注明正负号。 剪力图和弯矩图：可画在刚架轴线的任一侧，
不过通常正值画在刚架的外侧，须注明正负号。
横梁
当杆件变形时，两杆连接处保持刚
性，即角度（一般为直角）保持不变。
立柱
§3 平面刚架和曲杆的内力图
例题4.10 求做图示刚架的内力图
qL
B
C
2
L
q
L
A
qL
qL/2 qL 2
4m
25kN
M x1 20x1
2.5
0 x1 1
20
20
20
kN
31.25
FS x2 25 10x2
25
0 x2 4
M
kNm
x2


25x2
0


10
x2
x22 42
归纳如下规律：
在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应 分段列出。
在梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右 两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。 而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此 相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变， 其左右两侧横截面上弯矩的代数差，即等于集 中力偶值。
力分量，记为Fs
弯矩：梁横截面上、作用线垂直于截面的内
力偶矩，记为M
F
a
A
FA
l
M
FA
x
Fs
B
FB FS FA M FAx
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
符号规定：使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为
正，反之为负；
使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之 为负。
Fs＞0
Fs＜0
M＞0
与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用 时所引起的参数等于每项荷载单独作用下所引起的 该参数的叠加。
弯矩图的叠加：在线弹性、小变形的条件下，梁
横截面上的弯矩与荷载成线性关系。因此，由几项 荷载共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用 下梁弯矩图的叠加。
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
非对称弯曲：若构件不具有纵对称面，或虽
有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲
变形Байду номын сангаас
F
q
Me 纵 向
对称面
B
A
x
y FAy
FBy
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
梁的计算简图：由于研究对象是等截面的直梁，
且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系，因此
梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。
墙
楼板
梁
固定端
等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的
面积.
FS2 FS1
q x2
x1
x dx
若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的
M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面
积.
M 2 M1
F x2
x1 S
x dx

§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
1 Fl 4
m 1 Fl 4 C
l
1 Fl
-4
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.9 叠加法作弯矩图
6kN 2kN m
6kN
AC
B
D
2kN m
2m 2m 2m
4
-
+
+
4
6
2m 2m 2m
4
-
§3 平面刚架和曲杆的内力图
平面刚架：由在同一平面内、不同取向的两根或
两根以上的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成 的结构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横 截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。
A
先以整个梁做弯矩平衡方程
1. M D 0
FA(l-x) - ql(l/2-x) = 0
FA

2q1 x
2x
q
CD
B
x
l 2m a 0.6m
2. ∑Mc=0
FA (l-a)-q(l-a)(l-a)/2+Mc=0
M
C
FA
l

a

q
l
a 2
2

0
2q1 x 1.4 q 1.42 0
q
固定铰支座
可动铰支座 l
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
静定梁：如果梁具有1个固定端，或具有1个固定
铰支座和1个可动铰支座，则其支座反力可由静力 平衡方程求解。
悬臂梁
简支梁
外伸梁
跨：梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。
常见的静定梁大多是单跨的。
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
合的外力作用下，直杆的主要变形为长度改变。
扭转：在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的
外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生 相对转动。
弯曲：在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在
内的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横 截面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对 转动，其轴线将弯成曲线。
FS dx
Fs dFs qxdx2
2
0
M

dFs q dx
dM 0
q(x)
dx
dM dx

FS
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用
dFs q dx
dM dx
FS
d2M q dx2
dFs 0 FS C 剪力图是水平直线.
第四章 弯曲应力
本章目录
1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 3 平面刚架和曲杆的内力图 4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件 5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件 6 梁的合理设计
杆件变形的基本形式
轴向拉伸或压缩：在一对作用线和直杆轴线重
力学模型： F1
Me
F2
y
杆轴
X
z
FA
FB 纵对称面
形心 对称轴
构件几何特征：具有纵对称面的等截面直杆
受力特征：横向外力（或外力合力）或外力偶均
作用在杆的纵向对称面内
变形特征：杆件轴线变形后为外力作用面内的平
面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的
某一横向轴作相对转动
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
2
Fx 0
FS y qy ql 0
FS y ql qy 0 y l
Fy 0 FN y ql / 2 0
FN y ql / 2 0 y l
M y 0 M y qy y / 2 qly 0
ql 2
全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或 各段梁的边界截面，或极值点的截面处。
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用
y
mn
mn
M (x) dM (x)
x
M (x) Fs x
FS (x) dFS (x)
mn
m
n
x
dx
Fs M

qxdx
作剪力图和弯矩图.
F
FS x F
X
A l
F
B M x Fx
FL
kN
kNm
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.4 图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
20kN 40kN m
10kN m
X1 A 1m 35kN
15
X2
B
FS x1 20kN
0 x1 1
qL/2
qL
FN (kN) qL2
轴力
2
Fs (kN) 剪力
qL2 2
M (kNm)
§3 平面刚架和曲杆的内力图
例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度 l求做图示刚架的内力图
B
解：1、确定约束力
2、写出各段的内力方程
y
ql 2B FN2(y)
ql
M(y)
FS(y) q
y
ql
ql2 竖杆AB：A点向上为y
M＜0
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.1 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
MA FA
A
MA
FA
A
l MC
2Fl
lC
FCs
C
MC
FCs 2Fl
C
l
F
B FCs F MC Fl
l
D
F
D B MD
FDs F FDs F MD 0
DB

§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
截开后取左边为示力对象：
M y qly qy2 / 2 0 y l
2
§3 平面刚架和曲杆的内力图
例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长 度l求做图示刚架的内力图
B
y
x
ql 2 2
ql
ql 2
M(x)
B
2
FN(x)
x
ql 2
解：横杆CB：C点向左为x
Fx 0
FN x 0 0 x l
剪切：在一对相距很近的大小相等、指向相反的
横向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外 力作用方向发生相对错动。
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
弯曲的概念：
杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴 线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.
凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁。
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
2x
2
x 0.462m
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
剪力方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面
位置变化的函数，表示为Fs=Fs(x)
弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面
位置变化的函数，表示为M=M(x)
剪力图：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位
置变化的图线，规定正值的剪力画在x轴的上侧。
结构对称，载荷反对称，则FS图对称，M图反
对称
qa
qa
2
2
q A
a2
B
qa
2
a2
qa2
qa
q
qa
8
2
a
a
2
qa2 8
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
结构对称，载荷对称，则FS图反对称，M图
对称
F2 F2
F
F
A
B
F2
F2
F
F2
a
aa
F2
a
Fa 2
Fa 2
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
例题4.2 一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为 零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的 一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的 弯矩为零。
q
A
CD
B
x
l 2m a 0.6m
超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设
置较多的支座，致使支座反力数目多于独立的平 衡方程数目，仅用静力平衡方程无法求解。
连续梁
固定梁
半固定梁
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me 均匀分布荷载
集中力偶
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
剪力：梁横截面上、作用线平行于截面的内
dx
dM C 弯矩图是斜直线.
dx
dM 0 M C 弯矩图是水平直线.
dx
dFs q dx
剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线.
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
dF FS2
FS 1
S
x2 q x dx
x1
若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1
向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。
截开后取右边为示力对象：
向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。
对称弯曲： 构件的
F1
F2
几何形状、材料性能
和外力作用均对称于 杆件的纵对称面，故
杆轴
X
变形后的轴线必定是
FA
FB
一条在该纵对称面内
的平面曲线。
纵向对称面
对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力
所在平面相重合,也称为平面弯曲。