一元二次方程-根的判别式2022年北京数学中考二模汇编

一元二次方程-根的判别式2022年北京数学中考二模汇编
1.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1) 当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2) 若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
2.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
3.已知：关于x的方程mx2+(m−3)x−3=0(m≠0)．
(1) 求证：方程总有两个实数根．
(2) 如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
4.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
5.关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
6.已知：关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+m=0．
(1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．
7.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+k+2=0．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根为负数，求k的取值范围．
8.已知关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a=0．
(1) 求证：此方程总有两个实数根；
(2) 如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．
9.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．
10.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的b，c的值，
并求此时方程的根．
11.已知关于x的一元二次方程x2−2x+n=0．
(1) 如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；
(2) 如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
12.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m−4=0有两个实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根．
13.已知关于x的一元二次方程kx2−4x+3=0．
(1) 当k=1时，求此方程的根；
(2) 若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
14.已知：关于x的方程mx2−4x+1=0(m≠0)有实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若方程的根为有理数，求正整数m的值．
15.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+2k=0．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．
16.关于x的一元二次方程x2−2kx+k2+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若k为正整数，求k的值及此时方程的根
17.已知：关于x的一元二次方程x2−2x+m−1=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
m2=0有两个不相等的实数根．
18.关于x的一元二次方程x2+(m+1)x+1
4
(1) 求m的取值范围；
(2) 写出一个符合条件的m的值，并求出此时方程的根．
19.关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m2=0有两个实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
20.已知关于x的一元二次方程x2−2x+2m−1=0．
(1) 当m=−1时，求此方程的根；
(2) 若此方程有两个实数根，求m的取值范围．
21.若关于x的一元二次方程x2−3x+a−2=0有实数根．
(1) 求a的取值范围；
(2) 当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
22.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0．
(1) 当c=b−2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2) 若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b，c的值，并求此时方程的根．
23.已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+3k+6=0．
(1) 求证：此方程总有两个实数根；
(2) 若此方程有一个根大于−2且小于0，k为整数，求k的值．
24.已知关于x的一元二次方程mx2+(m−3)x−3=0（m≠0）．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．
25.关于x的一元二次方程x2+2x−(n−1)=0有两个不相等的实数根．
(1) 求n的取值范围；
(2) 若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
26.关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一根大于3，求m的取值范围．
27.关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−1=0，其中k<0．
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 当k=−1时，求该方程的根．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
29.关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0．
(1) 若方程有两个相等的实数根，请比较a，c的大小，并说明理由．
(2) 若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．
30.关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1) 当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2) 若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
31.已知：关于x的一元二次方程kx2−(4k+1)x+3k+3=0（k是整数）．
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根都是整数，求k的值．
32.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
(1) 当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 在（1）的条件下，求方程的根．
33.已知关于x的一元二次方程x2−(n+3)x+3n=0．
(1) 求证：此方程总有两个实数根；
(2) 若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的
根．
34.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0．
(1) 求证：方程总有实数根；
(2) 请给出一个m的值，使方程的两个根中只有一个根小于4．
35.已知关于x的一元二次方程kx2−6x+1=0有两个不相等的实数根．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根．
36.已知关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2−3=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 当方程有一个根为1时，求k的值．
38.关于x的一元二次方程x2+(m−1)x−(2m+3)=0．
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 写出一个m的值，并求此时方程的根．
39.已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．
(1) 求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
40.已知关于x的方程mx2+(3−m)x−3=0（m为实数，m≠0）．
(1) 求证：此方程总有两个实数根；
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
41.关于x的一元二次方程mx2+(3m−2)x−6=0．
(1) 当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
42.关于x的一元二次方程x2−2mx+(m−1)2=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
43.已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−3k=0．
(1) 求证：此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程有一个根为0，求k的值．
44.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2m−1=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
45.关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m=0．
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 写出一个m的值，并求此时方程的根．
46.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 若k为正整数，求该方程的整数根．
=1．求证：b2−4ac≥0．
47.小明遇到这样一个问题：已知b−c
a
经过思考，小明的证明过程如下：
=1，∴b−c=a．∴a−b+c=0．接下来，小明想：若把x=−1带入一元二次方程∵b−c
a
ax2+bx+c=0(a≠0)，恰好得到a−b+c=0．这说明一元二次方程ax2+bx+c=0有根，且一个根是x=−1．所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2−4ac≥0．根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：
=−2．求证：b2≥4ac．请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．已知：4a+c
b
48.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
49.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1) 求k的取值范围；
(2) 若k为大于1的整数，求方程的根．
50.已知关于x的一元二次方程x2+3x+1−m=0有两个不相等的实数根．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若m为负整数，求此时方程的根．
51.已知：a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根．
(1) 求n的取值范围；
(2) 若等腰三角形三边长分别为a，b，2，求n的值．
答案
1. 【答案】
(1) Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0，
故方程有两个不相等的实数根．
(2) Δ=b 2−4a =0，
可令 b =2，a =1，
此时方程为 x 2+2x +1=0，
∴(x +1)2=0，
∴x 1=x 2=−1．
2. 【答案】
(1) 根据题意得 m −2≠0 且 Δ=4m 2−4(m −2)(m +3)>0，
解得 m <6 且 m ≠2．
(2) m 满足条件的最大整数为 5，
则原方程化为 3x 2+10x +8=0，
∴(3x +4)(x +2)=0，
∴x 1=−43，x 2=−2．
3. 【答案】
(1) ∵m ≠0，
∴ 方程 mx 2+(m −3)x −3=0(m ≠0) 是关于 x 的一元二次方程，
∴Δ=(m −3)2−4m ×(−3)=(m +3)2．
∵ 不论无论 m 为何值，(m +3)2≥0，即 Δ≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
(2) ∵mx 2+(m −3)x −3=0，即 (x +1)(mx −3)=0，
∴x 1=3m ，x 2=−1． ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m =1 或 3 .
4. 【答案】
(1) 由题意，得 {m −2≠0,(2m )2−4(m −2)(m +3)>0.
∴ m <6 且 m ≠2．
(2) 由题意，得 m =5．
当 m =5 时，一元二次方程为 3x 2+10x +8=0．
解得 x 1=−2，x 2=−43．
5. 【答案】
(1) ∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(m−2)=4−4m+8=12−4m．
∵12−4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
(2) ∵m≤3且m≠2，
∴m=1或3．
∴当m=1时，原方程为−x2−2x+1=0，x1=−1−√2，x2=−1+√2；
当m=3时，原方程为x2−2x+1=0，x1=x2=1．
6. 【答案】
(1) ∵Δ=b2−4ac=(2m+1)2−4×1⋅(m2+m)，
∴Δ=4m2+4m+1−4m2−4m=1，
∴Δ=1>0．
∴一元二次方程总有两个不相等的实数．
(2) 令m=0，得一元二次方程：x2+x=0．
解得一元二次方程的解为：x1=0，x2=−1．
7. 【答案】
(1) 依题意，得
Δ=[−(k+3)]2−4(k+2)
=k2+6k+9−4k−8
=(k+1)2.
∵(k+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
．
(2) 由求根公式，得x=(k+3)±(k+1)
2
∴x1=1，x2=k+2．
∵方程有一个根为负数，
∴k+2<0．
∴k<−2．
∴k的取值范围是k<−2．
8. 【答案】
(1) 由题意，得Δ=(a+1)2−4a=a2+2a+1−4a=a2−2a+1=(a−1)2，
∵当a为任意实数时，(a−1)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2) 若要使方程有两个不相等的实数根，则(a−1)2>0，得a>1或a<1，取a=2，则方
程为x2+3x+2=0，解得x1=−1，x2=−2．
9. 【答案】
(1) Δ=(k−1)2−4(k−2) =k2−6k+9
=(k−3)2.
∵Δ≥0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2) 当k=2，
∴x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．
10. 【答案】答案不唯一，如：b=2，c=1.
此时，方程为x2+2x+1=0．
解得x1=x2=−1．
11. 【答案】
(1) ∵原方程有两个相等实数根，
∴Δ=0，即(−2)2−4n=0．
∴n=1．
(2) ∵原方程有一个实数根为0，
∴02−2×0+n=0，即n=0．
∴原方程可化为x2−2x=0．
∴另一个根为2．
12. 【答案】
(1) a=1，b=2，c=m−4，
∴Δ=b2−4ac
=22−4(m−4)
=20−4m.
∵一元二次方程x2+2x+m−4=0有两个实数根，∴20−4m≥0，m≤5．
(2) 当m=1时，x2+2x−3=0．
解得x1=1，x2=−3．（答案不唯一）
13. 【答案】
(1) 当k=1时，此方程为x2−4x+3=0，
(x−1)(x−3)=0，x1=1，x2=3．
(2) 由题意得k≠0，Δ=16−12k>0．
∴k<4
．
3
且k≠0．
∴k<4
3
14. 【答案】
(1) 原方程为一元二次方程．
Δ=b2−4ac=(−4)2−4×m×1=16−4m．∵原方程有实数根，
∴16−4m≥0．
∴m≤4．
∴m的取值范围是m≤4且m≠0．
(2) ∵m为正整数，
∴m可取1，2，3，4．
当m=1时，Δ=16−4m=12；
当m=2时，Δ=16−4m=8；
当m=3时，Δ=16−4m=4；
当m=4时，Δ=16−4m=0．
∵方程为有理根，
∴m=3或m=4．
15. 【答案】
(1) 依题意，得
Δ=[−(2k+1)]2−4×1×2k
=(2k−1)2.
∵(2k−1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
，
(2) 由求根公式，得x=(2k+1)±√(2k−1)2
2
∴x1=2k，x2=1．
∵该方程有一个根大于2，
∴2k>2．
∴k>1．
∴k的取值范围是k>1．
16. 【答案】
(1) Δ=(−2k)2−4(k2+k−2)=−4k+8，
∵有两个不相等的实数根，
∴−4k+8>0，
∴k<2．
(2) ∵k<2且k为正整数，
∴k=1，
∴x2−2x=0，
解得x1=0，x2=2．
17. 【答案】
(1) Δ=(−2)2−4(m−1) =8−4m,
∵方程有两个不相等的实数根，
∴8−4m>0，m<2．
(2) ∵m为非负整数，
∴m=0或m=1，
当m=0时，x2−2x−1=0，
∵Δ=8，此时方程的根不是整数，
∴m=0舍去，
当m=1时，x2−2x=0，方程的两个根均为整数，
∴m=1．
18. 【答案】
(1) 由题意得，Δ=(m+1)2−4×1
4
m2>0．
解得m>−1
2
．
(2) 答案不唯一，如：m=0．
此时，方程为x2+x=0．
解得x1=0，x2=−1．
19. 【答案】
(1) 依题意，得Δ=[−(2m+1)]2−4×1×m2=4m+1≥0，
解得m≥−1
4
．
(2) 答案不唯一，如：m=0，
此时方程为x2−x=0，
解得x1=0，x2=1．
20. 【答案】
(1) 当m=−1时，原方程可化为x2−2x−3=0．
得(x−3)(x+1)=0．
即x1=3，x2=−1．
(2) 由题意，原方程有两个实数根，
得Δ=(−2)2−4(2m−1)≥0．
得8−8m≥0．
即m≤1．
21. 【答案】
(1) ∵关于x的一元二次方程x2−3x+a−2=0有实数根，
．
∴Δ≥0，即(−3)2−4(a−2)≥0，解得a≤17
4
，
(2) 由（1）可知a≤17
4
∴a的最大整数值为4．
此时方程为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2．
22. 【答案】
(1) ∵c=b−2，
∴Δ=b2−4c=b2−4(b−2)=(b−2)2+4，
∵(b−2)2>0，
∴Δ=(b−2)2+4>0．
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2) ∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4c=0．
若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1．
23. 【答案】
(1) 依题意得Δ=[−(k+5)]2−4(3k+6)=k2−2k+1=(k−1)2，
∵(k−1)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
(2) 解方程得x=(k+5)±√(k−1)2
2
．
∴方程的两个根为x1=k+2，x2=3．
由题意可知，−2<k+2<0，即−4<k<−2．
∵k为整数，
∴k=−3．
24. 【答案】
(1) b2−4ac=(m−3)2−4m⋅(−3)=m2+6m+9=(m+3)2，
∵(m+3)2≥0，
∴ 方程总有两个实数根．
(2) ∵x=−b±√b2−4ac
2a =3−m±(m+3)
2m
，
∴x1=3−m+m+3
2m =3
m
，x2=3−m−m−3
2m
=−1．
∵方程的两个根均为整数，且m为正整数，
∴m为1或3．
25. 【答案】
(1) 一元二次方程x2+2x−(n−1)=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4×[−(n−1)]>0，
即4+4n−4>0，
∴n>0．
(2) ∵n为取值范围内的最小整数，
∴n=1，
∴x2+2x=0，
∴x(x+2)=0，
∴x1=0，x2=−2．
26. 【答案】
(1) ∵Δ=m2−4(m−1)=m2−4m+4=(m−2)2≥0，
∴方程有两个实数根．
(2) x2−mx+m−1=0，
∴(x−1)(x−m+1)=0，
∴x1=1，x2=m−1，
∵若方程有一根大于3．
∴m−1>3，
∴m>4．
27. 【答案】
(1) 依题意可知，Δ=(2k−1)2−4(k2−1)=5−4k，
∵k<0，
∴Δ>0．
∴方程有两个不相等的实数根．
(2) 当k=−1时，方程为x2+3x=0，解得x1=−3，x2=0．
28. 【答案】
(1) ∵Δ=(m+3)2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
(2) ∵x=(m+3)±√(m+1)2
，
2
∴x1=m+2，x2=1．
∵方程两个根的绝对值相等，
∴m+2=±1．
∴m=−3或−1．
29. 【答案】
(1) 依题意可知，a≠0，Δ=0．
∴4a(a−c)=0．
∴a=c．
(2) ∵方程有一个根是0，
∴c=0．
∴ax2+2ax=0，
即ax(x+2)=0．
∴方程的一个根为x=−2．
30. 【答案】
(1) Δ=(a+2)2−4a=a2+4>0，
故方程有两个不相等的实数根．
(2) Δ=b2−4a=0，
可令b=2，a=1，
此时方程为x2+2x+1=0，
∴(x+1)2=0，
∴x1=x2=−1．
31. 【答案】
(1) Δ=(4k+1)2−4k(3k+3)=(2k−1)2，
∵kx2−(4k+1)x+3k+3=0是一元二次方程，
∴k≠0，
∵k是整数，
即2k−1≠0．
∴k≠1
2
∴Δ=(2k−1)2>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
．
(2) 解方程得x=(4k+1)±√(2k−1)2
2k
∴x=3或x=1+1
k
∵k是整数，方程的根都是整数，
∴k=1或−1．
32. 【答案】
(1) 因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ>0．
所以4−4m>0，即m<1．
又m为非负整数，
所以m=0．
(2) 当m=0时，原方程为x2+2x=0，解得：x1=0，x2=−2．
33. 【答案】
(1) ∵Δ=(n+3)2−12n=(n−3)2，
∵(n−3)2≥0，
∴方程有两个实数根．
(2) 答案不唯一．例如：
∵方程有两个不相等的实根，
∴n≠3，
n=0时，方程化为x2−3x=0，
因式分解为：x(x−3)=0，
∴x1=0，x2=3．
34. 【答案】
(1) 依题意，得Δ=[−(m+3)]2−4×1×3m=(m−3)2．
因为(m−3)2≥0，
所以方程总有实数根．
(2) 因为原方程有两个实数根3，m，
所以取m=4，可使原方程的两个根中只有一个根小于4．
注：只要m≥4均满足题意．
35. 【答案】
(1) 依题意，得 {k ≠0,Δ=(−6)2−4k >0,
解得 k <9 且 k ≠0．
(2) ∵k 是小于 9 的最大整数，
∴k =8．
此时的方程为 8x 2−6x +1=0．
解得 x 1=12，x 2=14．
36. 【答案】
(1) Δ=[2(m −1)]2−4(m 2−3)=−8m +16．
因为方程有两个不相等的实数根，
所以 Δ>0，即 −8m +16>0，
解得 m <2．
(2) 因为 m <2，且 m 为非负整数，
所以 m =0 或 m =1．
①当 m =0 时，原方程为 x 2−2x −3=0，
解得 x 1=3，x 2=−1，不符合题意．
②当 m =1 时，原方程为 x 2−2=0，
解得 x 1=√2，x 2=−√2，符合题意．
综上所述，m =1．
37. 【答案】
(1) ∵b 2−4ac =[−(2k +1)]2−4×1×(k 2+k )=1>0, ∴ 有两个不等实根．
(2) 当 x =1 时，1−(2k +1)×1+k 2+k =0，
k 2−k =0，
k 1=0 或 k 2=1．
38. 【答案】
(1) Δ=(m −1)2+4×(2m +3)=m 2+6m +13=(m +3)2+4．
∵(m +3)2+4>0，
∴ 方程总有两个不相等的实数根．
(2) 当 m =−3 时，方程的两个实数根为 x 1=1，x 2=3．（答案不唯一）
39. 【答案】
(1) Δ=(m +3)2−4(m +2)=(m +1)2，
∵(m +1)2≥0，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实根．
，
(2) 由求根公式，得x1,2=(m+3)±(m+1)
2
∴x1=1，x2=m+2，
∵方程有一个根的平方等于4，
∴(m+2)2=4．解得m=−4，或m=0．
40. 【答案】
(1) 因为m≠0，
所以方程mx2+(3−m)x−3=0为一元二次方程．
依题意，得Δ=(3−m)2+12m=(m+3)2．
因为无论m取何实数，总有(m+3)2≥0，
所以此方程总有两个实数根．
．
(2) 由求根公式，得x=−(3−m)±(m+3)
2m
(m≠0)．
所以x1=1，x2=−3
m
因为此方程的两个实数根都为正整数，
所以整数m的值为−1或−3．
41. 【答案】
(1) ∵Δ=b2−4ac=(3m−2)2+24m=(3m+2)2≥0，
∴当m≠0且m≠−2
时，方程有两个不相等实数根．
3
，x2=−3，
(2) 解方程，得：x1=2
m
∵m为整数，且方程的两个根均为负整数，
∴m=−1或m=−2．
∴m=−1或m=−2时，此方程的两个根都为负整数．42. 【答案】
(1) 由题意得，Δ=(−2m)2−4(m−1)2=8m−4>0，
．
解得m>1
2
(2) 当m=1时，方程为x2−2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【答案不唯一】
43. 【答案】
(1) ∵a=1，b=2k−3，c=k2−3k，
∴
Δ=b2−4ac
=(2k−3)2−4(k2−3k)
=4k2−12k+9−4k2+12k
=9>0,
∴此方程总有两个不相等的实数根．
(2) ∵方程有一个根为0，
∴k2−3k=0，
解得k1=3，k2=0．
44. 【答案】
(1) 依题意，得Δ=16−4(2m−1)>0．
∴m<5
2
．
(2) ∵m为正整数，
∴m=1或2．
当m=1时，方程为x2−4x+1=0的根x=2±√3不是整数；
当m=2时，方程为x2−4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数．综上所述，m=2．
45. 【答案】
(1) ∵Δ=(2m+1)2−4m =4m2+1.
∵4m2+1>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2) 答案不唯一，
例如：m=0时，方程化为x2−x=0，因式分解为：x(x−1)=0，
∴x1=0，x2=1．
46. 【答案】
(1) Δ=b2−4ac
=4−4(k−2)
=12−4k.
∵原方程两个不相等的实数根，∴Δ=12−4k>0．
∴k<3．
(2) ∵k为正整数，
∴k=1或2．
∵方程的根都是整数，
∴12−4k是完全平方数．
∴k=2．
∴原方程变为：x2+2x=0．
解得x1=0，x2=−2．
=−2，
47. 【答案】∵4a+c
b
∴4a+c=−2b．
∴4a+2b+c=0．
∴x=2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
∴b2−4ac≥0，
∴b2≥4ac．
48. 【答案】
(1) 关于x的一元二次方程(m−2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，
∴m−2≠0，m≠2．
又Δ=(2m)2−4(m−2)(m+3)=−4(m−6)，
∴Δ>0即−4(m−6)>0，解得m<6．
∴m的取值范围是m<6且m≠2．
(2) 在m<6且m≠2的范围内，最大整数m为5．
此时，方程化为3x2+10x+8=0，
．
解得x1=−2，x2=−4
3
49. 【答案】
(1) 由题意，得Δ=22−4(k−2)>0，解得k<3．
(2) ∵k为大于1的整数，
∴k=2．
∴原方程为x2+2x=0．
解得x1=0，x2=−2．
50. 【答案】
(1) ∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=9−4(1−m)=4m+5>0，
即m>−5
.
4
(2) ∵m为负整数，
∴m=−1.
∴方程为x2+3x+2=0，即(x+1)(x+2)=0.
解得x1=−1，x2=−2.
51. 【答案】
(1) 由题意，得
Δ=b2−4ac
=(−6)2−4(n−1)
=40−4n.
∵a、b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根，∴40−4n≥0．
∴n≤10．
(2) 当腰长是a，b，即a=b时，Δ=40−4n=0，
∴n=10．
当腰长时2时，设a=2时，
把a=2，代入一元二次方程x2−6x+n−1=0，得n=9．
即一元二次方程为x2−6x+8=0，求得另一根为4
当b=4时，三角形三边为2，2，4.不成立
∴n=9应舍去.
∴n的值为10．。