2021年中考数学试题及解析：山东潍坊-解析版

山东省潍坊市2021年中考数学试卷-解析版
一、选择题(共12小题，每小题3分，满分36分)
1、(2021•潍坊)下面计算正确的是()
A、B、C、D、
考点:二次根式的混合运算。

专题:计算题。

分析:根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
解答:解:A.3+不是同类项无法进行运算，故此选项错误；
B.===3，故此选项正确；
C.=，
×==，故此选项错误；
D.=﹣2，∵==2，故此选项错误；
故选:B．
点评:此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
2、(2021•潍坊)我国以2021年11月1日零时为标准时点进行了笫六次全国人口普查，普查得到全国总人口为1370536875人，该数用科学记数法表示为()(保留3个有效数字)
A、13.7亿
B、13.7×108
C、1.37×109
D、1.4×109
考点:科学记数法与有效数字。

分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1370536875有10位，所以可以确定n=10﹣1=9．
有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解答:解:1370536875=1.370536875×109≈1.37×109．
故选:C．
点评:此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
3、(2021•潍坊)如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论:(1)DE=1；(2)△ADE∽△ABC；
(3)△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4．其中正确的有()
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
考点:相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题:几何综合题。

分析:本题需先根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．解答:解:(1)∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，
∴DE===1故本选项正确；
(2)∵△ABC中，DE是它的中位线∴DE∥BC∴△ADE∽△ABC故本选项正确；
(3)∵△ADE∽△ABC，相似比为1:2∴△ADE的面积与△ABC的面积之比为1:4．故本选项正确
故选D．
点评:本题主要考查了相似三角形的判定和性质，在解题时要注意与三角形的中位线的性质相结合是本题的关键．
4、(2021•潍坊)如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形(阴影部分)，其中不是轴对称图形的是()
A、B、C、D、
考点:轴对称图形。

分析:本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
解答:解:A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义它不是轴对称图形
故选D．
点评:本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
5、(2021•潍坊)不等式组的解集在数轴上表示正确的是()
A、B、
C、D、
考点:在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题:存在型。

分析:先分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可．
解答:解:，由①得，x＞﹣3，由②得，x≤1，
故原不等式组的解集为:﹣3＜x≤1，
在数轴上表示为:
故选A．
点评:本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，在解答此类问题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
6、(2021•潍坊)某市2021年5月1日﹣10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61，75，70，56，81，91，92，91，75，81．
那么该组数据的极差和中位数分别是()
A、36，78
B、36，86
C、20，78
D、20，77.3
考点:极差；中位数。

专题:计算题。

分析:求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；中位数是把数据从小到大排列起来，位置处于最中间的数就是中位数．
解答:解:极差:92﹣56=36，
将这组数据从小到大的顺序排列56，61，70，75，75，81，81，91，91，92，
处于中间位置的那个数，75和81，所以中位数是(75+81)÷2=78．
故选:A．
点评:此题主要考查了极差，中位数的求法，准确把握这两种数的概念是做题的关键．
7、(2021•潍坊)关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是()
A、k为任何实数，方程都没有实数根
B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫
C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D、根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
考点:根的判别式。

分析:本题需先求出方程的根的判别式的值，然后得出判别式大于0，从而得出答案．
解答:解:∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中
△=(2k)2﹣4×(k﹣1)=4k2﹣4k+4=(2k﹣1)2+3＞0
∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
故选B．
点评:本题主要考查了根的判别式的概念，在解题时要能对根的判别式进行整理变形是本题的关键．
8、(2021•潍坊)在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确的是()
A、小莹的速度随时间的增大而增大
B、小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C、在起跑后180秒时，两人相遇
D、在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
考点:函数的图象。

专题:数形结合。

分析:A、由于线段OA表示所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象，由此可以确定小莹的速度是没有变化的，
B、小莹比小梅先到，由此可以确定小梅的平均速度比小莹的平均速度是否小；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定小梅是否在小莹的前面．
解答:解:A、∵线段OA表示所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象，∴小莹的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵小莹比小梅先到，∴小梅的平均速度比小莹的平均速度小，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴小梅是在小莹的前面，故选项正确．
故选D．
点评:本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
9、(2021•潍坊)如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为()
A、17π
B、32π
C、49π
D、80π
考点:圆与圆的位置关系。

专题:几何图形问题。

分析:由半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，即可求得空白处的圆的半径，即可求得阴影部分的面积．
解答:解:∵半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，
∴OB=9，AB=2，∴OA=7，∴小圆扫过的阴影部分的面积为:81π﹣49π=32π．
故选B．
点评:此题考查了圆与圆的位置关系．注意求得空白处的圆的半径是解此题的关键．
10、(2021•潍坊)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹
()
同学甲乙丙丁
放出风筝线长140m 100m 95m 90m
线与地面夹角30°45°45°60°
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题。

专题:计算题。

分析:根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可．
解答:解:如图，
甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；
乙中，DF=100m，∠C=45°，DE=100×sin45°=50≈70.71m；
丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=≈67.18m；
丁中，JK=90m，∠C=60°，AB=90×sin60°=45≈77.9m．
可见JK最大，故选D．
点评:此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，画出图形，直接根据解直角三角形的知识解答即可，要熟悉特殊角的三角函数值．
11、(2021•潍坊)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD 边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．则下列结论不正确的是()
A、CP平分∠BCD
B、四边形ABED为平行四边形
C、CQ将直角梯形分为面积相等的两部分
D、△ABF为等腰三角形
考点:直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。

专题:证明题；几何综合题。

分析:本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE(SAS)，得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；
解答:证明:易证△BCF≌△DCE(SAS)，
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED；
∴△BPE≌△DPF(AAS)，
∴BP=DP，
∴△BPC≌△DPC(SSS)，
∴∠BCP=∠DCP，即A正确；
又∵AD=BE且AB∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，B正确；
∵BF=ED，AB=ED，
∴AB=BF，即D正确；
综上，选项A、B、D正确；
故选C．
点评:本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．
12、(2021•潍坊)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，那么二次函数ax2+bx+c(a＞0)的图象有可能是()
A、B、
C、D、
考点:抛物线与x轴的交点；二次函数的图象。

专题:数形结合。

分析:根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ＞0)的两个实数根，利用两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，求得两个实数根，作出判断即可．解答:解:∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1•x2=3，
∴x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根，
解得:x1=1，x2=3
∴二次函数ax2+bx+c(a＞0)与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)
故选C．
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及二次函数的图象，解题的关键是根据题目提供的条件求出抛物线与横轴的交点坐标．
二、填空题(共5小题，每小题3分，满分15分)
13、(2021•潍坊)分解因式:a3+a2﹣a﹣1=(a﹣1)(a+1)2．
考点:因式分解-分组分解法。

专题:因式分解。

分析:当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题应采用两两分组，然后提取公因式a+1，注意分解要彻底．
解答:解:a3+a2﹣a﹣1=(a3+a2)﹣(a+1)=a2(a+1)﹣(a+1)=(a+1)(a2﹣1)=(a+1)(a+1)(a﹣1)=(a﹣1)(a+1)2．
故答案为:(a﹣1)(a+1)2．
点评:本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．注意分解要彻底．
14、(2021•潍坊)一个y关于x的函数同时满足两个条件:①图象过(2，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而
减小．这个函数解析式为如:y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．(写出一个即可)
考点:二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质。

专题:开放型。

分析:本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．
解答:解:符合题意的函数解析式可以是y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等，(本题答案不唯一)
故答案为:y=，y=﹣x+3，y=﹣x2+5等．
点评:本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质．关键是从三种函数解析式上考虑，只要符合题意即可．
15、(2021•潍坊)方程组的解是．
考点:解二元一次方程组。

专题:计算题。

分析:由于方程组中两方程y的系数是倍数关系，且数值较小，故可先用加减消元法再用代入消元法求解．
解答:解:，②×2+①得，7x﹣14=0，解得x=2；
把x=2代入②得，2+y﹣5=0，解得y=3．
故原方程组的解为:．
故答案为．
点评:本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，比较简单．
16、(2021•潍坊)已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB
的面积相等，則AE的长为．
考点:一元二次方程的应用。

专题:几何图形问题。

分析:本题需先设出AE的长，从而得出BE的长，再根据题意列出方程，求出x的值即可得出AE的长．解答:解:设AE的长为x，则BE的长为a﹣x
根据题意得:x2=(a﹣x)•a解得:x=
故答案为:．
点评:本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件和图形列出方程是本题的关键．17、(2021•潍坊)已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，
分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为cm．
考点:勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质。

专题:几何图形问题。

分析:连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4﹣x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．
解答:解:连接EB，
∵BD垂直平分EF，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=(4﹣x)cm，
在Rt△AEB中，
AE2+AB2=BE2，
即:x2+32=(4﹣x)2，
解得:x=
故答案为:cm．
点评:本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．
三、解答题(共7小题，满分69分)
18、(2021•潍坊)已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
(1)如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值．
(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．
考点:正方形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形。

专题:几何图形问题。

分析:(1)因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
(2)因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
解答:解:(1)∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．
(2)∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．
∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．
点评:本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等．
19、(2021•潍坊)今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB 到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
(1)求B点的海拔；
(2)求斜坡AB的坡度．
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

专题:应用题。

分析:(1)过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足，构造直角三角形ABE 和直角三角形CBD，然后解直角三角形．
(2)求出BE的长，根据坡度的概念解答．
解答:解:如图，过C作CF⊥AM，F为垂足，过B点作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足．
在C点测得B点的俯角为30°，
∴∠CBD=30°，又BC=400米，
∴CD=400×sin30°=400×=200(米)．
∴B点的海拔为721﹣200=521(米)．
(2)∵BE=DF=CF﹣CD=521﹣121=400米，
∴AB=1040米，AE===960米，
∴AB的坡度i AB===，故斜坡AB的坡度为1:2.4．
点评:此题将坡度的定义与解直角三角形相结合，考查了同学们应用数学知识解决简单实际问题的能力，是一道中档题．
20、(2021•潍坊)甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球．甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球．从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍．
(1)求乙盒中蓝球的个数；
(2)从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率．
考点:列表法与树状图法；分式方程的应用；概率公式。

专题:计算题。

分析:(1)由甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球，即可求得从甲盒中任意摸取一球，摸得篮球的概率，又由乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球，可设乙盒中有x个篮球，则可求得从乙盒中任意摸取一球，摸得篮球的概率，根据从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍，列方程即可求得答案；
(2)采用列表法或树状图法，求得所有可能的结果与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答:解:(1)设乙盒中有x个篮球，则从乙盒中任意摸取一球，摸得篮球的概率为:P1=，
从甲盒中任意摸取一球，摸得篮球的概率P2=；
依题意得:=，
解得:x=3，
∴乙盒中蓝球的个数是3个；
(2)列表得:
∴可能的结果有2种，其中均为篮球的有3种，
∴从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，这两球均为蓝球的概率为=．
点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．21、(2021•潍坊)2021年秋冬北方严重干早，凤凰社区人畜饮用水紧张．毎天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂毎天最多可调出80吨，乙厂毎天最
:
到凤凰社区供水点的路程(千米) 运费(元/吨•千米)
甲厂20 12
乙厂14 15
(2)设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元．试写出W关于与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使毎天的总运费最省？
考点:一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用。

专题:优选方案问题。

分析:(1)设设从甲厂调运了x吨饮用水，从甲厂调运了y吨饮用水，然后根据题意毎天需从社区外调运饮用水120吨与某天调运水的总运费为26700元列方程组即可求得答案；
(2)首先根据题意求得一次函数W=20×12x+14×15(120﹣x)，又由甲厂毎天最多可调出80吨，乙厂毎天最多可调出90吨，确定x的取值范围，则由一次函数的增减性即可求得答案．
解答:解:(1)设从甲厂调运了x吨饮用水，从甲厂调运了y吨饮用水，
由题意得:，
解得:，
∵50≤80，70≤90，
∴符合条件，
∴从甲、乙两水厂各调运了50吨、0吨吨饮用水；
(2)从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙调运水120﹣x吨，
∵x≤80，且120﹣x≤90，
∴30≤x≤80，
总运费W=20×12x+14×15(120﹣x)=30x+25200，
∵W随X的增大而增大，
∴当x=30时，W最小=26100元，
∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省．
点评:此题考查了二元一次方程组与一次函数的实际应用．此题难度适中，解题的关键是理解题意，抓住等量关系．
22、(2021•潍坊)2021年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬．8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落．其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价袼y元/千克与月份x呈二次函数关系．已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
(1)分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；
(2)2021年的12个月中．这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？
(3)若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？
考点:二次函数的应用；一次函数的应用。

专题:销售问题。

分析:(1)根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
(2)根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可；
(3)分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可．
解答:解:(1)当1≤x≤7时，设y=kx+m
将点(1，8)、(7，26)分别代入y=kx+m得:
解之得:
∴函数的解析式为:y=3x+5
当7≤x≤12时，设y=ax2+bx+c
将点(7，26)、(9，14)、(12，11)代入y=ax2+bx+c
得解之得:
∴函数的解析式为y=x2﹣22x+131
(2)当1≤x≤7时，y=3x+5为增函数，
当x=1时，y有最小值8．
当7≤x≤12时，y=x2﹣22x+131=(x﹣11)2+10，
当x=11时，y有最小值为10．
所以，该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克．
(3)∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，
∴x=4时的月平均价格17是前7个月的平均值．
将x=8和x=10代入y=x2﹣22x+131
得y=19和y=11，
∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11，
∴年平均价格为≈15.3元/千克，
当x=3时，y=14＜15.3，
∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格．
点评:本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
23、(2021•潍坊)如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．
(1)求证:△ABC∽△OFB；
(2)当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；
(3)求证:当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点．
考点:切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。

专题:证明题；几何综合题。

分析:(1)根据OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，进而得出∠BCA=∠FBO=90°，从而证明结论；
(2)根据△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，从而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
(3)首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点．
解答:证明:(1)∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，即:AC⊥BC，
又OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠BAC=∠FOB，
∵BN是半圆的切线，
∴∠BCA=∠FBO=90°，
∴△ACB∽△OBF．
解:(2)由△ACB∽△OBF得，∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°，
∴△ABD∽△BFO，
当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO，
∴AD=1，
又DPQ是半圆O的切线，
∴OP=1，且OP⊥DP，
∴DQ∥AB，
∴BQ=AD=1，
(3)由(2)知，△ABD∽△BFO，
∴=，
∴BF=，
∵DPQ是半圆O的切线，
∴AD=DP，QB=BQ，
过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在直角三角形DQK中，
DQ2=QK2+DK2，
∴(AD+BQ)2=(AD﹣BQ)2+22．
∴BQ=，
∴BF=2BQ，
∴Q为BF的中点．
点评:此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定等知识，熟练利用相似三角形的判定是解决问题的关键．
24、(2021•潍坊)如图，y关于x的二次函数y=﹣(x+m)(x﹣3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、B 两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为(﹣3，0)，连接ED．(m＞
0)
(1)写出A、B、D三点的坐标；
(2)当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
(3)当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．
考点:二次函数综合题。

专题:压轴题；分类讨论。

分析:(1)根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；
(2)待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；
(3)分当0＜m＜3时，当m＞3时两种情况讨论求得关于m的函数．
解答:解:(1)A(﹣m，0)，B(3m，0)，D(0，m)．
(2)设直线ED的解析式为y=kx+b，将E(﹣3，0)，D(0，m)代入得:
解得，k=，b=m．
∴直线ED的解析式为y=mx+m．
将y=﹣(x+m)(x﹣3m)化为顶点式:y=﹣(x+m)2+m．
∴顶点M的坐标为(m，m)．代入y=mx+m得:m2=m
∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，M点在直线DE上．
连接CD，C为AB中点，C点坐标为C(m，0)．
∵OD=，OC=1，∴CD=2，D点在圆上
又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，
EC2=16，CD2=4，∴CD2+DE2=EC2．
∴∠FDC=90°
∴直线ED与⊙C相切．
(3)当0＜m＜3时，S△AED=AE．•OD=m(3﹣m)
S=﹣m2+m．
当m＞3时，S△AED=AE．•OD=m(m﹣3)．
即S=m2_m．
点评:本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果．。