叠加原理在物理解题中的应用

叠加原理在物理解题中的应用
摘要：叠加原理是自然界的普遍规律，在物理学中有着广泛的应用。

物理学中很多物理量都有可加性。

从中学阶段到大学阶段的各个物理学科中叠加原理都贯穿在其中，叠加原理在物理学解题中有着极其重要的地位，特别是在物理学引入矢量后，叠加法在其中的作用更是展现的淋漓尽致。

根据叠加原理课将复杂的物理问题简化，从而得出所要的结果。

掌握了物理叠加原理的解题方法，可以为我们在今后的物理解题过程中得到很大的帮助，将会为普通物理的解题得到很大的简化，掌握物理叠加法解题是我们学习普通物理所必须的。

关键词:叠加原理；运动；力；电磁学
引言：
叠加原理遍及物理学的整个阶段，也是解决普通物理的一大有效方法。

很多学者也对叠加原理在各个物理学科领域进行了研究，分别就叠加原理在力、运动等某个单一方面进行了详细的研讨，对于这几个方面主要是由理论上来解释说明。

在电磁学力反面，主要是深入讨论了运用叠加法来解决一个物理量得解决方法。

他们在电磁学中电场、电势、磁场等专题的研究最为详细，但是他们只是在对普通物理中叠加原理在求解一个问题进行了研究。

通过本文，我旨在对普通物理各个学科进行归纳总结，说明叠加原理在整个普通物理中的应用，同时通过例题分析求解来说明怎样应用叠加法来解题。

叠加法就是根据可加性，把复杂的问题化为几种简单的特殊典型情况，然后根据叠加原理进行叠加，求出复杂问题的结果［1］。

整个物理学都试试研究物质运动的，而物质运动的本身是遵守叠加原理的。

应用叠加原理分析物理问题是最普遍、最基本、最常见的一种方法，它广泛地应用于：运动的叠加、力的叠加、场的叠加和电势的叠加等等［2］。

但运用叠加原理处理某物理量在空间一点或以一区域叠加时，不可简单理解为把各个物理量的数值相加就可以了，因为叠加后的总效果是参与叠加的各个量的合贡献。

物理量叠加中，有的是矢量叠加；有的是代数两叠加；有的是常量的叠加；有的是变量的叠加；有的是有限个两叠加；有的是无穷多个量叠加，我们要根据不同的物理量得运算法则进行。

下面我们就从以下几方面来说明叠加原理在物理解题中的重要应用。

一、运动的叠加
1、运动的叠加原理
运动时我们最先接触到的物理专题，因而也是我们最先接触到叠加原理的应用。

一个物体同时参与两个或是更多的运动，这些都是运动的独立性，即其中任何一个方面上的运动都不因其它方向运动而改变，这称为运动的独立性原则。

而这些独立同时进行的运动的叠加起来与它们的合运动有完全相同的效果，这个结论称为运动叠加原理。

事实证明：任何一个方向的运动，都不会因为任一其它方向的运动是否存在而受到影响；并且，一个运动可看成是由几个同时进行的各自独立的运动的叠加而成，这就是运动的叠加原理。

运动的叠加原理指出一个复杂的运动可以看作是几个简单的分运动所组成，其中任何一个方向的运动都不会因为任何另外一个方向的运动的存在而受影响。

而这几个简单的分运动就是我们所熟悉的基本的一维运动，根据叠加法再把各个方向的简单运动而得到所要求解的问题的结果。

2、运动的叠加原理在求解运动问题的应用
运动的叠加原理在物理学中被广泛应用，例如我们在中学时最常接触的运动中抛体运动就是一种最常见的叠加运动，它可以看做是水平方向与竖直方向上的两个彼此独立分运动叠加而成，这将大大简化我们的解题难度，我们可以从下面的例子中得出。

例题：在高出地面h 处斜向上抛出一物体，如果初速度为V 0,投射角为θ，水平射
程为x ，如图所示，试证:
V 0=)
tan (2sec 22θθx h gx + 解析：根据题意此运动为二维方向上的曲线运动，直接
求解时无法求的，但根据运动叠加原理，可以把这个复杂的
曲线运动分为竖着方向的匀变速直线运动和水平方向的匀
速直线运动，而这就是我们所熟悉的基本运动，就可以求出
所要的结果。

解：如图所示，取竖直向上为正方向
x 方向：t v x *cos 0θ= （1）
y 方向：202/1*sin gt t v y -=-θ （2）
根据题意，要求初速度，则将两式中t 消去，故：
由(1)式得
θ
cos 0v x t = 代入（2）式 200)cos (21cos sin θθθ
o v x g v x v y -=- 整理得：
θ
θ22
0cos )tan (2x h gx v += ∴)
tan (2sec 220θθx h gx v += 证毕！
3、 运动叠加原理解题方法总结
从上面的例子中，可能有人会问这是我们高中时段所学习的一种运动：抛体运动
表面上看，本体确实是一道抛体运动的题，但实际上就是我们的运动叠加原理的体现。

从题
目中我们可以看到此运动是一个二维的复合式运动，正是运用叠加原理将它进行分解，分为
水平方向与竖直方向的一维运动，从而简化我们的解题过程。

从例题中我们可以得到，要运用叠加原理解决运动问题是将一个复杂的复合式运动根据
复合运动的特点将其分解为两个或多个简单的一维运动，而得到的一维运动都是我们所熟悉
的基础运动。

再根据题目的要求应用叠加法求出题目中所要求解的结果，在运用叠加原理解
运动问题是，我们一般都要借助坐标系，也就是说由运动特点选择合适的坐标系来求解。

在运用叠加原理求解时还要注意运动的矢量性，任意时刻的合运动的位移、速度、加速
度分别等于同时刻分运动的位移、速度、加速度的矢量和。

也就是说在解题时要选定正方向，
再结合数学知识巧妙地得出结果。

二、力的叠加
1、力的叠加原理
说到力的叠加，我们很自然就会联想到高中时所学过的力的合成与分解。

没错，高中学到的力的合成与分解就跟力的叠加原理有着密切的关系，它就是叠加法在力学中的体现，也就是说力的合成与分解就是力的叠加原理。

力的合成指的是：一个物体受到几个力的共同作用的时候，我们常常可以求出这样一个力，这个力产生的效果跟原来几个力共同作用产生的效果相同，这个力就叫做这几个力的合力。

力的分解指的是：一个力F可以用几个力来代替，这几个力就叫做分力。

不管是力的合成，还是力的分解，它都体现这力的叠加原理。

力的分解与合成是可以相互转化的，根据力的叠加原理，我们可以将一个合力分解成几个方向上的力，这个力就是几个分力的叠加。

也可以将很多个力在一个方向上叠加，形成几个单一的力，这要根据题目而定。

在传统的力学分析中，求解一个力的分力或是几个力的合力都遵从平行四边形定则，适用于例的数目较少的共点力的叠加，我们可以利用作图法直接得出，然后通过计算的到题目所要的结果。

力的叠加在求解物理问题是有很重要的应用，是一种不可或缺的方法，对于力的数目较大时，若是形状规则，密度分布均匀的可运用微分原理，进行积分计算得出。

而在我们在大学期间所学的刚体力学中，对于简化的结果为一个主失和一个主钜，而不是一个单力。

通过下面的例来了解经典力学中我们最常用也是最为广泛的力学叠加。

2、力的叠加原理解题
例题：质量为m的物体沿斜面向下滑动。

当斜面的倾角为α时，物体正好匀速下滑。

问：当斜面的倾角增大到β时，物体从高为h处由静止滑到底部需要多少时间。

解析：质量为m的物体在斜面上由于受到力的作用而运动，而所受到的力有多个，且与运动方向不在同一直线上，因此，我们要先将力进行叠加，即受力分析，从而在根据运动情况结合运动定律进行求解。

解:如图所示，进行受力分析。

由题意得，当斜面倾角为α时，物体刚好匀速下滑，则F合=0
当倾角为α时，有：
Gα即
-f
sin=
α(1)
mgμ
sin==
-mN
竖直方向上物体没有运动，即F 合=0
0cos =-N mg α 得
αcos mg N = 代入(1)式得
0cos sin =-αμαmg mg
αμtan =
当倾角为β时
ma mg mg =-βμβcos sin
将αμtan =代入上式，得
ma mg mg =-βαβcos tan sin
)cos tan (sin βαβ-=g a
斜面长为L
221sin at h L ==
β 解得
)
sin(sin cos 2αββα-=g h t 所以，物体从高位h 出静止滑到底部需要时间为)sin(sin cos 2αββα-=
g h t 。

4、 力的叠加解题方法总结
在上面的例子中，表面上是一道关于求解运动的题目，但实际求解过程中问题的重心
是要先对力进行分析求解，也就是在运用力的叠加法先将力在我们选取的坐标系中进行分解
与合成，将各个方向上的力在选择的坐标系中低价出来，在结合牛顿运动定律就能将复杂的
运动问题简化得出结果。

营业就是说力的叠加法再解题中起着不可替代的作用。

纵观整个物理学，特别是高中阶段力的叠加原理都是以例题所示的方式进行运用的，
它一般都结合运动问题来进行求解，在这类问题中都需要先将物体所受的力选择恰当的坐标
系进行叠加或分解，再结合所要用到的其它物理知识就能比较简便的得出题目所要的结果。

在这类问题的解题中我们可看到力的叠加原理占据着重要的位置，是普通物理的一大专题的
解题方法，是要熟练掌握的。

还有一个力学最光泛的领域就是刚体力学，在岗体力学中我们也要先得出刚体受力分
析，在画出力矩图在更具叠加法结合运动情况进行运算的出所要求解的结果。

三、电磁学中叠加原理的应用
大学普通物理学中，电磁学是一个非常重要的板块，而叠加原理也是在其中应用最为
广泛的一个部分。

在电磁学中叠加原理在一系列专题当中都占有重要位置，也得到了广泛的
应用。

例如：电场大的叠加、电势的叠加、磁场的叠加等等。

在这类问题的解答过程中，都
是在应用叠加原理的基础上求解的。

场强的叠加原理：当电场由n 个点电荷激发时，以i f 代表第i 个点电荷对试探电荷q
施加的静电力，i E 代表第i 个点电荷在q 所在的场强，则：
i i i E q
F q F q F E ∑=∑=∑== 即n 个点电荷所激发的电场在某点的总场强等于每个点电荷单独时所激发的电场在该点的
场强的矢量和。

电势的叠加原理：在静电场中把空间点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点
电荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。

即
i i n i A r q i
U ∑==104πε 式中i r 为A 点到各点电荷的距离，i q 为各点电荷的电量。

在电磁学其它专题当中，叠加原理类似，在这里我就不在一一列举出来，在电磁学的
这类问题当中，都是要结合叠加原理，特别是在均匀带电细杆、圆盘、平面中，在求解过程
中将得到大大简化，从而得出题目中所要求解的结果。

下面我们就通过几个例子来说明叠加
原理在这类问题中的应用。

2、叠加原理在解题中的应用
例1：若电量q 均匀分布在长为L 的细棒上:（1）在棒的延长线上，离棒中心为r 处的
场强；（2）棒的垂直平分线上，离棒中心为r 处的场强。

解析：本题要求解均匀带电细棒延长线上及垂直平分线上距离为r 的电场强度，显然在
本题中细棒不能看作势点电荷，就不能直接应
用电场强度公式求解，因此场强的叠加原理就
发挥作用了，我们可以根据电场的叠加原理，
将细棒视为无数个元点电荷在距离r 处进行叠 加，这样就能将问题简化来求解。

解：（1）如图所示，在距棒中心0点为x
处取一长为x d 的元电荷q d ，则
20)(41x r d d q
E -=πε 设细棒的质量线密度为L
q =λ，则 x q d d λ=
20)(4x r d d x
E -=πελ
根据电场强度的叠加原理得细棒上所有元电荷在p 点多的场强为
2220)(41x r d d E x L
L E -==⎰⎰-λπε
⎰--=2220)(41
L L x x r d L q πε 22
0])(41[L L x r L q ---=πε 2
20444L r L L q -=πε 22041L r q L -=
πε (2)若p 点在棒的中垂线上，则同理q d 在p 点的场强为
αcos E E d d x =
αsin E E d d y =
根据电场强度沿轴线方向分量的对称性矢量叠加即为0，则
0=X E d
⎰
⎰===L q E y r d d E E y απεsin 42/0 =απελsin 42/0⎰L x
r d
由几何关系得：αcot r x =，ααd r d x 2csc -=
23220
)(4r x d r
E x L +=⎰πελ 2322220
)cot (csc 4r r d r r +-=⎰-αααπελαα )
cot 1(csc 423220αααπελαα+-=⎰-r d r ααπελα
α33220csc csc 4r r -=⎰-
α
απελααcsc 40r d ⎰--= ⎰--=αα
ααπελd r sin 40 2
20)2(14L r q
+=πε
题目得解
例2、在半径为R 的无限长金属圆柱体内部挖去一半径为r 的无限长圆柱体。

两圆柱的轴线平行，相距为d 。

如图所示，今有电流沿空心柱体的轴线方向流动，电流I 均匀分布在空心柱体的截面上。

分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小。

分析：若这种载流导线为全实心导体时，就可
直接根据安培环路定理直接求解。

但在本题中为空
心载流体，因此我们将无限长空心柱体电流等效为
两个电流相反的具有轴对称性的电流叠加，同样可
根据安培环路定理分别求解两部分，再由磁场叠加
原理求解。

解：导体横截面内的电流密度为
)
(22r R I -=
πδ 大圆柱体电流在自身轴线O 处激发的磁感应
强度为零。

则小圆柱在O 点的磁感应强度有安培环路定理得，以/O 为圆心，以d 为半径作环路L,则
∑⎰=I l d B L 00*μ
2002r dB δπμπ=
2220)
(r r R I ππμ-= )(22
22
00r R d Ir B -=πμ 所以根据磁感应强度的叠加原理，O 点的磁感应强度为：
00B B +=
)(2222
0r R d Ir -=πμ
同理，小圆柱体在自身轴线上激发的磁感应强度为零，大圆柱体在O '出即发生的磁感应强度为：
200*d I l d B O δπμμ='=∑⎰'
)(2220r R Id
B O -='πμ
此即为O '的磁感应强度。

3、利用叠加原理求解电磁学问题的总结。

由以上第一个例题中我们看可以得出，叠加原理在电磁学中应用于求解静电场问题中的电荷均匀分布的带电圆盘、细杆、带电平面及带电球面等问题中的电场强度、电势、磁场强度。

由于这部分问题的复杂性，直接应用静电场的高斯定律合安培环路定理在数学上的困难，叠加原理在求解中发挥了极其重要的作用。

在利用叠加原理解这类问题的过程中，m 、q 、I 连续分布是我们往往要先将它们进行微分，的出微元dm 、dq 、dI ，借助坐标系先得出微元在指定点的微量，然后再根据叠加原理，应用数学积分法得出所要求解的结果。

在这类问题的解题过程中最重要的就是叠加原理的指导思想下，同过数学方法的配合是解题得关键。

再由第二个例子中可以看出，在电流（电荷）分布既有某种对称性的时候，直接应用安培环路定理及高斯定理解题得题目中我们同样可以应用叠加原理来解题。

这类问题的求解一般都是结合补偿法来应用，当求解的问题中出现挖去部分是，就先将挖去部分不上，将其视为与原来部分相反，然后再利用叠加法来进行求解。

由此我们就可以看出叠加原理在求解电磁学问题中更有广泛的应用。

四、波的叠加原理。

1、波的叠加原理
在普通物理光学中，叠加原理也是一个比较常见的物理规律。

波的叠加是光学中常见 的现象，几个波源产生的波，同时在一个介质中传播，如果这几列波在空间某点处相遇，那么 每一列波都将保持自己原有的特性（频率、波长、振动方向）传播，就像在各自的路程中，并没有遇到其他波一样，这称为传播的独立性。

【5】根据波的传播的独立性，几列波在相遇的区域，任一点处质点的振动为各列波单独在该点处的振动的合振动，即在任一时刻该点处质点的振动位移是各个波在该点所引起的位移的矢量和，这一现象被称为波的叠加原理。

【6】波的叠加是以波的独立性为基础的。

波的叠加原理在波的干涉与衍射中有广泛的应用，也是波的叠加原理最简单最重要的情形。

波的干涉现象是：两例频率相同、振动方向相同、相位相同或相差恒定的简谐波的叠加，在空间某点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。

下面就以波的干涉为例来说明波的叠加最基础的情况。

设两列波从空间两定点发出，振源的振动为：
)cos(111ϕω+=t A E
)cos(222ϕω+=t A E
当两列波同时到达空间一点P 时，两列波的振动为
])(cos[11
111ϕω+-=v r t A E ])(cos[22222ϕω+-
=v r t A E 1r 、2r 为两光源到P 点的距离，1v 、2v 两列波在1r 、2r 的传播速度。

根据波的叠加原理，在P 点的叠加结果为：
)cos(21ϕω+=+=t A E E E
)](cos[21
12212212221v r v r A A A A A -+-++=ωϕϕ )cos()cos()sin()sin(tan 2222111122221111v r A v r A v r A v r A ωϕωϕωϕω
ϕϕ-+--+-= 两列波在P 点相遇后，任意时刻的相位差
)()(
211112ϕϕωϕ-+-=∆v r v r )()(2211122ϕϕλ
π
-+-=r n r n 21ϕϕ=为常数，在真空中n=1则光程差
12r r -=δ
则有：
当j πϕ2=∆ ，即
)2,1,0(;2212 ±±±==-j j
r r λ
两波叠加后，强度为最大值。

当πϕ)12(+=∆j ，即 )2,1,0(;2
)12(12 ±±±=+=-j j r r λ
两波叠加后，强度为最小值。

如此，在两列波源同相位是，在叠加区域内，在光程差等于半波长的偶数倍时，光强为最大值，干涉相长，在光程差等于半波长的奇数倍是，光强为最小值，干涉相消。

如此交替形成了干涉条纹。

由波的叠加原理推出了波的干涉结果在普通物理光学解题中广泛运用。

2、波的干涉结论在解题中的应用
例：把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第五及亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，是求插入玻璃片得厚度。

已知光波长为600nm.
解析：根据题意，要求解插入玻璃片得厚度，就紧紧抓住干涉波的光程差，插入玻璃片厚，原来第5级亮纹变为中央亮纹，就是由光在玻璃中的光程客服了原来没有插入玻璃片时第5级亮纹的光程差，而使得插入玻璃片厚光程差变为零。

直接利用干涉叠加后亮纹的叠加结果就可求解。

解:由题意，第5级亮纹应满足的干涉条件为
22512λδj r r =-=
λ5j =
当插入玻璃片后，设玻璃片的厚度为t,则
λ5j t nt =-
15-=
n j t λ 1
5.1600*5-=t cm t 410*6-=
3、方法总结
从前面的例子中可看出，在相干波源形成的两列波叠加区域内任一点振幅大小可以根据干涉叠加在该区域的光程差来进行判断。

在解题时紧紧抓住题意，若题目中为干涉相长，则光程差就是半波长的偶数倍。

若光强为干涉相消是，即光程差为半波长的奇数倍。

不属于这几个的，则光强介于最大值与最小值之间，但在普通物理光学解题中我们所涉及的题目都是这两种常见的情况。

只要根据两种情况，抓住光程差这个条件，再利用后面结合几何条件得出的一些结果就可求解所要求的问题。

五、结论
从上面几个板块中我们可以得出在普通物理的几大板块中都涉及到叠加原理的应用，但 也不是所有的物理量都可以进行叠加。

叠加原理是以独立性原理为基础的，值有满足独立性原理的物理量才能使用叠加原理。

物理量可分为标量与矢量，有与标量没有方向，只有大小，所以标量不存在各个方向的独立性，标量不满足所谓的叠加原理，标量可以直接相加减。

在满足矢量问题中，引入叠加原理，在物理中是一个很大的突破，特别是在普通物理的解题中对解题有较大的帮助，是普通物理解题的一个很有效的方法。