2020年八年级下册期中数学试卷(含答案解析)

八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）的值是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
2．（3分）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（）
A．2，3，4 B．1，1，C．6，8，11 D．2，2，3
4．（3分）下列式子是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
5．（3分）下列各式计算错误的是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（3分）如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．
A．15 B．20 C．3D．24
8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．
A．3B．6C．D．6
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）10．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，且∠ADB＝2∠C，P是BC 上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C＝30°；
③PE+PF＝AB；④PE2+AF2＝BP2，其中正确的结论是（）
A．①②B．①③④C．①④D．①②③④
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）＝．
12．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝50°，则∠C＝．
13．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是．
14．（3分）直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）2
（2）
18．（8分）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．
19．（8分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接BE交AC于点F，求证：AC平分BE．
21．（8分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）AC的长为；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并写出D点的坐标．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF ＝BF．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
＝5，CD＝4．求CG．（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S
△BFG
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边所在射线ED上运动．
（1）当∠ACE＜90°时，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）当∠ACE＞90°时，问题（1）中的结论，是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；
若不成立，请说明理由．
（3）若EC＝3，点A从点E运动到点D时，点B运动的路径长为．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，点B和原点重合．其中，∠B ＝90°，∠C＝30°，C（，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）的值是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【解答】解：∵表示4的算术平方根，
∴＝2．
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、根据二次根式有意义的条件可得：3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、根据二次根式有意义的条件可得：6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；
C、根据二次根式有意义的条件可得：x﹣3≥0，解得x≥3，故此选项正确；
D、根据二次根式有意义的条件可得：x+3≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．6，8，11 D．2，2，3
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故选项正确；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故选项错误；
D、22+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
4．（3分）下列式子是最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝，此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝|a|，此选项不符合题意；
D、＝2，此选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列各式计算错误的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、4﹣＝3，此选项计算正确；
B、×＝，此选项计算正确；
C、＝（）2﹣（）2＝3﹣2＝1，此选项计算错误；
D、÷＝＝3，此选项计算正确；
故选：C．
6．（3分）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立；
②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，这两个数相等，不成立；故选：B．
7．（3分）如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．
A．15 B．20 C．3D．24
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC＝＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）cm．
A．3B．6C．D．6
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，
∴AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm，
∴AC2＝32+32＝18，
∴AC＝3cm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝6cm．
故选：B．
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
A．（1，4）B．（5，0）C．（7，4）D．（8，3）
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2018÷6＝336…2，
∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，
点P的坐标为（7，4）．
故选：C．
10．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，且∠ADB＝2∠C，P是BC
上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C＝30°；
③PE+PF＝AB；④PE2+AF2＝BP2，其中正确的结论是（）
A．①②B．①③④C．①④D．①②③④
【解答】解：在△BCD中，∠ADB＝∠C+∠DBC，
∵∠ADB＝2∠C，
∴∠C＝∠DBC，
∴DC＝DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C＝30°，故②错误；
连接PD，则S
＝BD•PE+DC•PF＝DC•AB，
△BCD
∴PE+PF＝AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°，
∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF＝BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG＝BE，
∴AF＝BE，
在Rt△PBE中，PE2+BE2＝BP2，
即PE2+AF2＝BP2，故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）＝2．
【解答】解：＝＝×＝2．
12．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝50°，则∠C＝50°．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝50°，
∴∠C＝50°，
故答案为50°
13．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 2 ．
【解答】解：∵8＝22×2，
∴n的最小值是2．
故答案为：2．
14．（3分）直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是13或．【解答】解：①当12为斜边时，则第三边＝＝；
②当12是直角边时，第三边＝＝13．
故答案为：13或．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 6 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，
解得x＝6，则AB＝6．
故答案为：6．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是
﹣1 ．
【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C 的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．
在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，
∴CE＝＝，
∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．
故答案为：﹣1．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）2
（2）
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+12
＝14；
（2）原式＝
＝15．
18．（8分）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．
【解答】解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AB＝13．
19．（8分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．【解答】解：x2＝（2﹣）2＝7﹣4，
则原式＝（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+
＝49﹣48+1+
＝2+．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接BE交AC于点F，求证：AC平分BE．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC＝AC＝BD＝OD，
∴四边形OCED为菱形；
（2）连接BE交AC于点F，
∵四边形OCED为菱形，
∴OD＝CE，OD∥CE，
∴∠OBF＝∠CEF，
∵矩形ABCD，
∴BO＝OD，
∴OB＝CE，
在△BOF与△ECF中
，
∴△BOF≌△ECF，
∴BF＝EF，
即AC平分BE．
21．（8分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）．
（1）AC的长为2；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并写出D点的坐标（0，4），（4，2），（﹣4，﹣4）．．
【解答】（1）解：AC＝，
故答案为：2；
（2）∵BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，AC2＝20，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC；
（3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（﹣4，﹣4），
故答案为：（0，4），（4，2），（﹣4，﹣4）．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF ＝BF．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S
＝5，CD＝4．求CG．
△BFG
【解答】（1）证明：∵F为BE中点，AF＝BF，
∴AF＝BF＝EF，
∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF＝180°，
∴∠BAF+∠FAE＝90°，
又四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，
∵F为BE的中点，FG⊥BE，
∴BG＝GE，
＝5，CD＝4，
∵S
△BFG
∴S
＝10＝BG•EH，
△BGE
∴BG＝GE＝5，
在Rt△EGH中，GH＝＝3，
在Rt△BEH中，BE＝＝BC，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣5．
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边所在射线ED上运动．
（1）当∠ACE＜90°时，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）当∠ACE＞90°时，问题（1）中的结论，是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；
若不成立，请说明理由．
（3）若EC＝3，点A从点E运动到点D时，点B运动的路径长为3．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD＝AE，∠BDC＝∠E，
∵∠E+∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
即∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
∵AB2＝2AC2，
∴AE2+AD2＝2AC2．
（2）结论仍然成立．
如图所示：
理由：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴BD＝AE，∠BDC＝∠E，
∵∠E+∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
即∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
∵AB2＝2AC2，
∴AE2+AD2＝2AC2．
（3）∵△ACE≌△BCD，
∴EA＝BD，
∵DE＝3，
∴点B运动的路径长为3，
故答案为3．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，点B和原点重合．其中，∠B ＝90°，∠C＝30°，C（，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE＝DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【解答】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝CD＝t．
又∵AE＝t，
∴AE＝DF．
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形．
理由如下：
设AB＝x，
∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴AC＝2AB＝2x．
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（5）2，
解得：x＝5，
∴AB＝5，AC＝10．
∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t．
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10﹣2t，
解得：t＝．
即当t＝时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下：分情况讨论：
①当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
∴t＝．
②∠DEF＝90°时，AD＝AE，即10﹣2t＝t，
∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
故当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形．。