复数和算法练习题

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复数练习题(有答案) 百度文库

一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 2．212ii+=-（） A ．1B ．−1C ．i -D ．i3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（） A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i4．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（）A ．6 BC ．5D 5．设2iz i+=，则||z =（）A B C ．2D ．56．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（） A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③7．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（）A ．1BC ．2D ．48．已知复数z 的共轭复数212iz i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1B ．-1C ．iD ．i -9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（）A B ．2C ．10D10．复数2ii -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15D ．3511．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（）． A ．1-B ．3C ．3iD ．i -12．设复数z 满足41iz i=+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A ．3 B ．5C ．6D ．814．复数21ii+的虚部为（） A ．1- B ．1C ．iD ．i -15．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =17．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =18．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-19．若复数z 满足()1z i i +=，则（）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =20．下列关于复数的说法，其中正确的是（） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称21．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >22．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 24．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．下列命题中，正确的是（） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数26．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根27．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限28．下面四个命题，其中错误的命题是（） A ．0比i -大 B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 29．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -30．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】，. 故选：B. 解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】，故选：D解析：D 【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-，故选：D3．C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C 【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C4．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =，故选：C.5．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i++===-，∴z ==故选：B ．6．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】设，则，故，，，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.8．A 【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部. 【详解】，所以，则的虚部为. 故选：A解析：A 【分析】先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部. 【详解】()()()()212251212125i i i iz i i i i ----====-++-，所以zi ，则z 的虚部为1.故选：A9．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.10．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．B 【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B 【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3 故选：B12．D【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D 【分析】先对41iz i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-，所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D13．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故则故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D14．B 【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果. 【详解】，故虚部为1. 故选：B.解析：B 【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.15．C 【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题 16．CD 【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD 【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，取zi ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 17．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.18．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.19．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题20．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．21．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.22．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误；对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 23．AD根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 25．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．26．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 27．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；2211112222122222ω----====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.28．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误；对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.29．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 30．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确；对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.。

第十章(算法与推理证明、复数)过关测试

ICME －7图甲 OA 1A 2A 3A 4A 5 A 6A 7A 8图乙高三数学练习二十二一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 在复平面内，复数11i-所对应的点位于第象限答案：一2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是答案：42n +3. 若复数312a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为答案：－6 解析：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=-.4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = 答案：15165．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME －7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a ＝ ▲ ．6．如图，在直角坐标系中,一质点从原点出发,沿图示箭头方向每秒钟移动一个单位,问第2008秒时质点所在的位置坐标是答案：（-31，7）7. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为颗；第n 件工艺品所用的宝石数为颗 (结果用n 表示).答案：66，1322++n n8. 右图程序运行结果是 _______ 答案：349. 已知z ∈C ，2z i 1z i 1=-++）（）（，则|z |的最小值为答案：2解析：设),(R b a bi a z ∈+=，由已知得 a =b +1 ∵21)21(2||222++=+=b b a z ∴22||=最小值z . 10．按下列程序框图运算：第1件第2件第3件规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x=5，则运算进行次才停止。

复数练习题附答案

复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。

复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。

练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。

练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。

练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。

答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。

答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。

所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。

答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。

首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。

【新课标】高三数学二轮精品专题卷复数及算法框图

高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为（） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是（） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图第4题图第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于（）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是（） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于（） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为（） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则（）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是（） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图第10题图第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为（） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是（） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是和．第17题图第19题图第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于．（文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为．（文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则．【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念．【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-．（文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念．【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点．【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集．【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式．【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式．【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法．【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则．【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性．【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题．【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念．【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。

二轮复习数学(文)通用版：专题检测(一)_集合、复数、算法_word版含解析

专题检测（一）集合、复数、算法一、选择题1．(2018·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：选D z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅， A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i解析：选D 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.6.(2018·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B 初始值：a ＝675，b ＝125，第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50；第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25；第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.8．(2018·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,2)B ．[2,4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]解析：选A 集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}．所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．9．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?解析：选B 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132， i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n ＝12，i ＝1，满足条件n 是3的倍数，n ＝8，i ＝2，不满足条件n ＞123；第二步：n ＝8，不满足条件n 是3的倍数，n ＝31，i ＝3，不满足条件n ＞123；第三步：n ＝31，不满足条件n 是3的倍数，n ＝123，i ＝4，不满足条件n ＞123；第四步：n ＝123，满足条件n 是3的倍数，n ＝119，i ＝5，不满足条件n ＞123；第五步：n ＝119，不满足条件n 是3的倍数，n ＝475，i ＝6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12．(2018·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13．(2018·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的a 的值可以为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1， Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14．(2019届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( ) A ．1 B ．0 C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.15．(2018·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层．某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b解析：选B 观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}，C ＝A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A ．4B ．7C ．15D ．16解析：选C 因为B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝ tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C＝A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24－1＝15，故选C.二、填空题 17．已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2. 答案： 218．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}．则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}19．已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R )(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z1＋i的共轭复数为________．解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52，解得x ＝－3， ∴z 1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.答案：12－72i20．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个．综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)32。

一点一练高考数学第十章推理证明、算法、复数专题演练理(含两年高考一年模拟)-人教版高三全册数学

第十章推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复数两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位，若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式：当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个．当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立，所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1；第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4；第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4；第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4；第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1，第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016；此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”，故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]；在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。

高中复数练习题及讲解及答案

高中复数练习题及讲解及答案### 高中复数练习题及讲解及答案#### 练习题1. 复数的加减法- 计算以下复数的和：\(3 + 4i\) 和 \(1 - 2i\)。

2. 复数的乘法- 求 \((2 + 3i)(1 - i)\) 的乘积。

3. 复数的除法- 计算 \(\frac{2 + i}{1 + i}\)。

4. 复数的共轭- 找出 \(3 - 4i\) 的共轭复数。

5. 复数的模- 求 \(5 + 12i\) 的模。

6. 复数的幂运算- 计算 \((2 + i)^2\)。

7. 复数的指数形式- 将 \(8\) 表示为 \(2\) 的幂次形式。

8. 复数的极坐标形式- 将 \(-3 - 4i\) 转换为极坐标形式。

9. 复数的三角函数- 求 \(\sin(3 + 4i)\)。

10. 复数的对数- 计算 \(\log(-8 + 0i)\)。

#### 讲解复数是实数和虚数的组合，形如 \(a + bi\)，其中 \(a\) 和 \(b\)是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。

1. 加减法：直接对实部和虚部分别进行加减。

2. 乘法：使用分配律，然后合并同类项。

3. 除法：将分母的实部和虚部合并，然后乘以共轭复数，简化表达式。

4. 共轭复数：改变虚部的符号。

5. 模：计算 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)。

6. 幂运算：使用二项式定理或幂的性质。

7. 指数形式：使用欧拉公式 \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)。

8. 极坐标形式：表示为 \(r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\)，其中 \(r\) 是模，\(\theta\) 是辐角。

9. 三角函数：使用复数的指数形式和欧拉公式。

10. 对数：首先将复数转换为极坐标形式，然后应用对数的性质。

#### 答案1. \(4 + 2i\)2. \(2 + 5i\)3. \(3 - i\)4. \(3 + 4i\)5. \(13\)6. \(3 + 4i\)7. \(2^3\)8. \(5(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))\)9. 无实数解，因为 \(\sin\) 函数在复数域内没有定义。

算法、框图、复数、推理与证明测试题及详解

算法、框图、复数、推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)已知复数z ＝1＋2i i 5，则它的共轭复数z －等于( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2＋iD ．－2－i[答案] B[解析] z ＝1＋2i i 5＝1＋2ii＝2－i ，故其共轭复数是2＋i .2．(文)(2011·辽宁沈阳二中阶段测试)下面框图表示的程序所输出的结果是( )A ．1320B ．132C ．11880D ．121[答案] A[解析] 运行过程依次为：i ＝12，x ＝1→x ＝12，i ＝11→x ＝132，i ＝10→x ＝1320，i ＝9，此时不满足i ≥10，输出x 的值1320.(理)(2011·江西南昌调研)若下面框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k ＝9B ．k ≤8C ．k <8D ．k >8[答案] D[解析] 运行过程依次为k ＝10，S ＝1→S ＝11，k ＝9→S ＝20，k ＝8→输出S ＝20，此时判断框中的条件不满足，因此应是k >8.3．(文)(2011·黄冈市期末)若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．6[答案] C[解析] ∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋6＋(3－2a )i5是纯虚数，a ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，∴a ＝－6，故选C. (理)(2011·温州八校期末)若i 为虚数单位，已知a ＋bi ＝2＋i1－i(a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定[答案] A[解析] ∵a ＋bi ＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i (a ，b ∈R )，∴⎩⎨⎧a ＝12b ＝32，∵⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝52>2，∴点P ⎝⎛⎭⎫12，32在圆x 2＋y 2＝2外，故选A. 4．(文)(2011·合肥市质检)如图所示，输出的n 为( )A ．10B ．11C ．12D ．13[答案] D[解析] 程序依次运行过程为：n ＝0，S ＝0→n ＝1，S ＝12×1－13＝－111→n ＝2，S ＝12×2－13＝－19，……∴S ＝－111－19－17－15－13－1＋1＋13＋15＋17＋19＋111＋113>0，此时输出n 的值13.(理)(2011·丰台区期末)已知程序框图如图所示，将输出的a 的值依次记为a 1，a 2，…，a n ，其中n ∈N *且n ≤2010.那么数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2·3n －1B ．a n ＝3n －1C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝12(3n 2＋n )[答案] A[解析] 程序运行过程依次为a ＝2，n ＝1，输出a ＝2，即a 1＝2，n ＝2，a ＝3×2＝6，不满足n >2010→输出a ＝6，即a 2＝2×3，n ＝3，a ＝3×6＝18，仍不满足n >2010→输出a ＝18，即a 3＝2×32……因此可知数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1(n ≤2010)．5．(2011·蚌埠二中质检)下列命题错误的是( )A ．对于等比数列{a n }而言，若m ＋n ＝k ＋S ，m 、n 、k 、S ∈N *，则有a m ·a n ＝a k ·a SB ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心 C ．若|a |＝1，|b |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则b 在向量a 上的投影为1 D ．“sin α＝sin β”的充要条件是“α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π (k ∈Z )” [答案] C[解析] 由等比数列通项公式知，a m ·a n ＝a 21qm＋n －2＝a 21qk＋S －2＝a 1q k －1·a 1q S －1＝a k a S ，故A正确；令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8，令k ＝0得x ＝－π8，∴⎝⎛⎭⎫－π8，0是函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个对称中心，故B 正确； b 在a 方向上的投影为|b |·cos 〈a ，b 〉＝2×cos120°＝－1，故C 错；由sin α＝sin β得α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β，∴α＋β＝(2k ＋1)π或α－β＝2k π(k ∈Z )，故D 正确．6．(2011·安徽百校联考)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53 C.256 D ．不存在[答案] A[解析] ∵{a n }为等比数列，a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，∴a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或2，∵a n >0，∴q ＝2，∵a m ·a n ＝4a 1，∴a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，∴q m＋n －2＝16，即2m＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥32，等号在n m ＝4mn，即m ＝2，n ＝4时成立，故选A.7．(2011·山东日照调研)二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a >0B ．a <0C ．a >1D ．a <－1[答案] D[解析] ∵方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，∴⎩⎨⎧ a >0f (0)<0或⎩⎨⎧a <0f (0)>0，∴a <0，因此，当a <－1时，方程有一个正根和一个负根，仅当方程有一个正根和一个负根时，不一定有a <－1，故选D.8．观察等式：sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34，sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝34和sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34，…，由此得出以下推广命题，则推广不正确的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos 2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin 2(α－15°)＋cos 2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34[答案] A[解析] 观察已知等式不难发现，60°－30°＝50°－20°＝45°－15°＝30°，推广后的命题应具备此关系，但A 中α与β无联系，从而推断错误的命题为A.选A.9．(2011·山东潍坊一中期末)一次研究性课堂上，老师给出函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为(－1,1)；乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则f n (x )＝x1＋n |x |对任意n ∈N *恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个[答案] A[解析] 当x >0时，f (x )＝x 1＋x ∈(0,1)，当x ＝0时，f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝x1－x ∈(－1,0)，∴f (x )的值域为(－1,1)，且f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，因此，x 1≠x 2时，一定有f (x 1)≠f (x 2)．∵f (x )＝x 1＋|x |，f 1(x )＝f (x )，∴f 1(x )＝x1＋|x |，又f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋|x |＝x1＋|x |1＋|x |1＋|x |＝x1＋2|x |，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋2|x |＝x 1＋2|x |1＋|x |1＋2|x |＝x1＋3|x |……可知对任意n ∈N *，f n (x )＝x1＋n |x |恒成立，故选A. 10．(2011·陕西宝鸡质检)如果函数f (x )对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式|f (x )|≤M (x )恒成立，那么就称函数f (x )为有界泛函数，下面四个函数：①f (x )＝1; ②f (x )＝x 2； ③f (x )＝(sin x ＋cos x )x; ④f (x )＝xx 2＋x ＋1.其中属于有界泛函数的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④[答案] D[解析] 对任意实数x .∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴存在常数M ≥2，有|sin x ＋cos x |≤M 成立，∴|x (sin x ＋cos x )|≤M |x |，即|f (x )|≤M |x |成立，∴③是有界泛函数；又∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴⎪⎪⎪⎪1x 2＋x ＋1≤43，∴存在常数M ≥43，使|x ||x 2＋x ＋1|≤M (x )，即|f (x )|≤M |x |成立，故④是有界泛函数，因此选D.11．(2011·北京学普教育中心联考版)观察下列算式： 21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22011的末位数字是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8[答案] D[解析] 观察发现，2n 的末位数字以4为周期出现，依次为2,4,8,6,2011被4除的余数为3，故22011的末位数字与23的末位数字相同，故选D.12．(2011·河北冀州中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15A.11260B.1840 C.1504 D.1360 [答案] B[解析] 第10行第1个数为110，第2个数为19－110＝190，第9行第1个数为19，第2个数为18－19＝172，∴第10行第3个数为172－190＝1360，第8行第1个数为18，第2个数为17－18＝156，故第9行第3个数为156－172＝1252，∴第10行第4个数为1252－1360＝1840.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(文)(2011·江西吉安期末)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .(理)(2011·北京学普教育中心)我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．[答案]6a 3[解析] 在正三角形内到三边的距离之和等于正三角形的高；正三角形的边类比空间正四面体的面，正四面体内任一点到其四个面的距离之和等于正四面体的高6a 3. 14．(2011·湖北荆门市调研)如果一个复数的实部、虚部对应一个向量的横坐标、纵坐标，已知z 1＝(1－2i )i 对应向量为a ，z 2＝1－3i 1－i对应向量为b ，那么a 与b 的数量积等于________．[答案] 3[解析] z 1＝2＋i 对应向量a ＝(2,1)，z 2＝1－3i 1－i ＝(1－3i )(1＋i )2＝2－i 对应向量b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝3.15．(2011·辽宁沈阳二中检测)直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k (k ∈N *)个格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数，下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝3π(x －1)2＋2；③f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x；④f (x )＝log 0.5x ，其中是一阶格点函数的有________．[答案] ①②[解析] f (x )＝sin x 通过的格点只有(0,0)；f (x )＝3π(x －1)2＋2经过的格点只有(1,2)；f (x )＝log 0.5x 经过的格点有(2n ，－n )，n ＝0,1,2…；f (x )＝⎝⎛⎭⎫14x经过的格点至少有(0,1)，(－1,4)，故填①②.16．(2011·杭州市质检)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．[答案] f (2n )≥n2＋1[解析] f (2)＝32＝12＋1，f (4)＝f (22)>2＝22＋1，f (8)＝f (23)>52＝32＋1，f (16)＝f (24)>3＝42＋1，观察可见自变量取值为2n 时，函数值大于或等于n 2＋1，即f (2n )≥n2＋1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p ：命题f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．[解析] p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3，q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2. 由题意p 和q 有且只有一个是真命题，p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3－2<a <2⇔a ∈∅，p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <3a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3，综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．18．(本小题满分12分)(2011·广东高州市长坡中学期末)复数z ＝⎝⎛⎭⎫12－32i 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋1＝0(a ，b ∈R )的根．(1)求a 和b 的值；(2)若(a ＋bi )u －＋u ＝z (u ∈C )，求u . [解析] (1)由题得z ＝－12－32i ，因为方程ax 2＋bx ＋1＝0(a 、b ∈R )是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为－12＋32i .由韦达定理知：⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－b a⎝⎛⎭⎫－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1. (2)由(1)知(1＋i )u －＋u ＝－12－32i ，设u ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，则(1＋i )(x －yi )＋(x ＋yi )＝－12－32i ，得(2x ＋y )＋xi ＝－12－32i ，∴⎩⎨⎧2x ＋y ＝－12x ＝－32，∴⎩⎨⎧x ＝－32y ＝3－12，∴u ＝－32＋23－12i . 19．(本小题满分12分)(2011·山东省实验中学)已知a >0，命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ，(x ≥2a )2a ，(x <2a )，函数y >1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．[解析] 若p 为真命题，则0<a <1，若q 为真命题，即y min >1，又y min ＝2a ，∴2a >1，∴q 为真命题时a >12，又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，则0<a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.故a 的取值范围为0<a ≤12或a ≥1.20．(本小题满分12分)(2011·北京学普教育中心)已知复数z 1＝sin2x ＋λi ，z 2＝m ＋(m －3cos2x )i ，λ、m 、x ∈R ，且z 1＝z 2.(1)若λ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设λ＝f (x )，已知当x ＝α时，λ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． [解析] (1)∵z 1＝z 2，∴⎩⎨⎧sin2x ＝m λ＝m －3cos2x， ∴λ＝sin2x －3cos2x ，若λ＝0则sin2x －3cos2x ＝0得tan2x ＝3， ∵0<x <π，∴0<2x <2π， ∴2x ＝π3或2x ＝4π3，∴x ＝π6或2π3.(2)∵λ＝f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵当x ＝α时，λ＝12，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12，∴sin ⎝⎛⎫2α－π3＝14， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－14， ∵cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝2×⎝⎛⎭⎫－142－1＝－78. 21．(本小题满分12分)(2011·山东临沂质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.[解析] (1)证明：如图，连结AB 1，设AB 1∩A 1B ＝O ，则O 为AB 1中点，连结OD ， ∵D 为AC 中点，在△ACB 1中，有OD ∥B 1C .又∵OD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，∴B 1C ∥平面A 1BD .(2)证明：∵AB ＝B 1B ，ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴ABB 1A 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1，又∵AC 1⊥平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∵AC 1⊥A 1B ，又∵AC 1⊂平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，又∵B 1C 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1.又∵A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥B 1C 1，∵A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B ＝A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.22．(本小题满分12分)(文)(2011·山东省实验中学)函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a(a 为常数，a >0)． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．[解析] f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)． (1)由已知得f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥1x在[1，＋∞)上恒成立，又∵当x ∈[1，＋∞)时，1x≤1， ∴a ≥1，即a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当a ≥1时，∵f ′(x )>0在(1,2)上恒成立，f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝0，当0<a ≤12时，∵f ′(x )<0在(1,2)上恒成立，这时f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝ln2－12a.当12<a <1时，∵x ∈[1，1a )时，f ′(x )<0；x ∈(1a，2]时，f ′(x )>0， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a ＋1－1a. 综上，f (x )在[1,2]上的最小值为①当0<a ≤12时，f (x )min ＝ln2－12a； ②当12<a <1时，f (x )min ＝－ln a ＋1－1a. ③当a ≥1时，f (x )min ＝0.(理)(2011·丹东四校协作体联考)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *)． (1)证明：a n >2n ＋1对n ∈N *恒成立；(2)令b n ＝a n n(n ∈N *)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由 . [解析] (1)证法1：当n ＝1时，a 1＝2>2×1＋1，不等式成立，假设n ＝k 时，a k >2k ＋1成立，当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k ＋2>2k ＋3＋1a 2k>2(k ＋1)＋1. ∴n ＝k ＋1时，a k ＋1>2(k ＋1)＋1时成立，综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立．证法2：当n ＝1时，a 1＝2>3＝2×1＋1，结论成立；假设n ＝k 时结论成立，即a k >2k ＋1，当n ＝k ＋1时，由函数f (x )＝x ＋1x (x >1)的单增性和归纳假设有a k ＋1＝a k ＋1a k>2k ＋1＋12k ＋1，因此只需证：2k ＋1＋12k ＋1≥2k ＋3，而这等价于(2k ＋1＋12k ＋1)2≥2k ＋3⇔12k ＋1≥0，显然成立，所以当n ＝k ＋1是，结论成立；综上由数学归纳法可知，a n >2n ＋1对一切正整数成立．证法3：由递推公式得a 2n ＝a 2n －1＋2＋1a 2n －1， a 2n －1＝a 2n －2＋2＋1a 2n －2，a 22＝a 21＋2＋1a 21，上述各式相加并化简得a 2n ＝a 21＋2(n －1)＋1a 21＋…＋1a 2n －1>22＋2(n －1)＝2n ＋2>2n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时，a n >2n ＋1显然成立，故a n >2n ＋1(n ∈N *)．(2)解法1：b n ＋1b n ＝a n ＋1na n n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1a 2n n n ＋1<⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n ＋122－14n ＋12<1，又显然b n >0(n ∈N *)，故b n ＋1<b n 成立．解法2：b n ＋1－b n ＝a n ＋1n ＋1－a n n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －a nn＝1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )a 2n ] ≤1a nn (n ＋1)[n －(n ＋1－n )(2n ＋1)](由(1)的结论) ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1＋n )－(2n ＋1)] ＝1n (n ＋1)(n ＋1＋n )a n[n (n ＋1)－(n ＋1)]＝1n (n ＋1＋n )a n(n －n ＋1)<0，所以b n ＋1<b n .解法3：b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1n ＋1－a 2nn＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫a 2n ＋1a 2n ＋2－a 2nn ＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫2＋1a 2n －a 2n n <1n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12n ＋1－2n ＋1n＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1n <0，故b 2n ＋1<b 2n ，因此b n ＋1<b n .。

高中复数练习题难题

高中复数练习题难题复数是高中数学中一个重要的概念，对于很多学生来说，掌握复数的运算和性质是比较困难的。

本文将介绍一些高中复数练习题中常见的难题，并提供相应的解决方法。

1. 题目：计算下列复数的乘积：(3+2i)(4+5i)解析：要计算复数的乘积，可以使用分配律，将复数展开并进行合并。

(3+2i)(4+5i) = 3×4 + 3×5i + 2i×4 + 2i×5i= 12 + 15i + 8i + 10i²= 12 + 23i - 10= 2 + 23i因此，(3+2i)(4+5i)的乘积为2 + 23i。

2. 题目：求复数z=(1+i)/(1-i)的值。

解析：要求复数的值，可以使用分数的除法方法，即将分子分母同时乘以该复数的共轭。

(1+i)/(1-i) = [(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]= (1+2i+i²)/(1²-i²)= (1+2i-1)/(1+1)= 2i/2= i所以，复数z=(1+i)/(1-i)的值为i。

3. 题目：已知复数z满足z²+3z+2=0，求z的值。

解析：要求复数的值，可以使用求根公式。

根据求根公式，对于方程ax²+bx+c=0，其解为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)对于这道题目，我们可以将其转化为标准的二次方程形式，即z²+3z+2=0，a=1，b=3，c=2。

带入求根公式，可得：z=(-3±√(3²-4×1×2))/(2×1)= (-3±√(9-8))/(2)= (-3±√1)/2= (-3±1)/2= -2/2 或 -4/2= -1 或 -2所以，复数z满足z²+3z+2=0的解为z=-1或z=-2。

通过以上的例题，我们可以看出，在解决高中复数练习题难题时，关键在于掌握复数的基本运算法则和性质，灵活运用分配律、除法法则和求根公式等。

复数运算练习题

复数运算练习题高年级数学课上，学生们开始接触到更加复杂的数学运算，其中之一就是复数运算。

复数可以看作是实数与虚数的结合，它的运算规则与实数稍有不同。

为了帮助学生更好地理解和掌握复数运算，本文将提供一些复数运算练习题，帮助学生进行巩固和练习。

1. 复数的加法与减法练习题1: 计算以下复数的和与差，并将结果写成标准形式。

a) (2 + 3i) + (1 - 2i)b) (3 - 4i) - (2 + 6i)c) (-5 + 7i) + (-3 - 8i)练习题2: 比较以下复数，判断它们是否相等。

a) 3 + 5i 与 7 - 2ib) -4 + 2i 与 -4 + 2ic) 6i 与 -6i2. 复数的乘法与除法练习题1: 将以下复数相乘，并将结果写成标准形式。

a) (2 + 3i)(4 - 5i)b) (1 + 2i)(-3 + 4i)c) (-2 - i)(3 - 2i)练习题2: 将以下复数相除，并将结果写成标准形式。

a) (5 + 3i)/(2 - i)b) (8 - 6i)/(4 + 2i)c) (-4 + 6i)/(-2 - i)3. 复数的乘方与开方练习题1: 计算以下复数的平方与立方。

a) (2 + i)^2b) (3 - 2i)^3c) (-4i)^2练习题2: 将以下复数开平方，并将结果写成标准形式。

若有多个解，请写出全部解。

a) √(-1)b) √(-4)c) √(-9)4. 复数的共轭与模练习题1: 求以下复数的共轭。

a) 3 + 5ib) -2 - 4ic) 1 - i练习题2: 求以下复数的模。

a) 4 + 3ib) -5 + 12ic) 3i5. 复数的综合运算练习题1: 计算下列复数的结果，并将结果写成标准形式。

a) [(2 + 3i) + (4 - 5i)] * (6 - 7i)b) (3 + 2i)^2 + (1 - 2i)^3c) |(2 + 3i) - (1 - 4i)|练习题2: 求以下复数的综合运算结果，并将结果写成标准形式。

复数的基本概念与运算题目

复数的基本概念与运算题目1. 选择题：以下哪个选项不是复数的基本运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法2. 填空题：复数a+bi的相反数是______。

3. 选择题：复数-2+3i与复数1-4i相加的结果是______。

4. 填空题：复数-2+3i的模是______。

5. 选择题：复数2-3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

6. 填空题：复数-2+3i与复数-1+2i相乘后，实部是______，虚部是______。

7. 选择题：复数-2+3i除以复数-1+2i的结果是______。

8. 填空题：复数-2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

9. 选择题：以下哪个选项是复数2+3i的共轭复数？A. -2+3iB. 2-3iC. -2-3iD. 2+3i10. 填空题：复数2+3i的模是______。

11. 选择题：复数-2+3i与复数-1+2i相减的结果是______。

12. 填空题：复数-2+3i的模是______。

13. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相除的结果是______。

14. 填空题：复数2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

15. 选择题：复数-2+3i的模是______。

16. 填空题：复数-2+3i的共轭复数是______。

17. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

18. 填空题：复数2+3i与复数-1+2i相乘后，实部是______，虚部是______。

19. 选择题：复数-2+3i除以复数-1+2i的结果是______。

20. 填空题：复数2+3i除以复数-1+2i后，实部是______，虚部是______。

21. 选择题：复数-2+3i的模是______。

22. 填空题：复数-2+3i的共轭复数是______。

23. 选择题：复数2+3i与复数-1+2i相乘的结果是______。

高考数学复习向量复数行列式矩阵算法综合

向量复数行列式矩阵算法一：填空题2. 计算：= 48910æèçöø÷ . 3、已知复数24z i =+，21(1)z w z +=-，则w = 5/17 ． 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1)31(=+⋅i z ，则=||z _______．21 9．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则⋅的最小值为__________．99．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM EC ⋅ 的最大值为___________．2312. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且，则的值为 1/3 .3.执行如图所示的程序框图．若输出y ==θ π3- (2014年1月青浦)已知点(1,1)(12)(21)(34)A B C D --、，、，、，，则向量AB u u u r 在CD u u u r 方向上的122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r xy x y+N MGC B A已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是实数，则12z z +=____ （杨浦区2013文理）11. 已知复数i -=2ω（i 为虚数单位），复数25-+=ωωz ，则一个以z 为根的实系数一元二次方程是________.（杨浦区2013文）112．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于．（杨浦区2013文）13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01）（杨浦区2013理）12．若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．（杨浦区2013理）13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是．答案：11. 01062=+-x x 12.文 6 ；13.文0.30；12. 理15 ；13.理95， 4、关于未知数x 的实系数方程x 2-bx+c=0的一个根是1+3i （期中i 是虚数单位），写出一个一元二次方程为 .答案：；（杨浦区2013文理）3．若行列式124012x -=，则x = . 答案：3.2； 4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=u u u r u u u r -3/2 ．7．执行如图所示的程序框图，输出的S = 102 ．二：选择题（虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）15、已知(0,2)a =r ，(1,1)b =r ，则下列结论中正确的是（）A.A ()a b b -⊥r r r .B ()()a b a b -⊥+r r r r .C //a b r r .D a b =r r17、已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P , Q 满足=AP AB λu u u r u u u r ,=(1)AQ AC λ-u u u r u u u r ,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-u u u r u u u r ,则=λ( ) A A ．12 B ．12± C ．110± D ．322-± 15．设向量)1,1(-=x a ρ，)1,3(+=x b ρ，则“a ρ∥b ρ”是“2=x ”的……（）B A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件17:如图所示，点,,A B C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点,若OC mOA nOB uuu r uu r uu u r =+，则（ B ）(A)01m n <+<； (B)1m n +>；(C)1m n +<-； (D)10m n -<+<；15、设a,b ∈R,i 是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+ib 为纯虚数”的（） A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件答案：C18. 若i A (n i ,,3,2,1Λ=)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA OA OA n ====Λ； ②||i OA 的最小值一定是||OB ；③点A 、i A 在一条直线上；④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（） )(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.第18题。

复数运算综合练习

复数运算综合练习复数运算是数学中一项重要的内容，也是许多学生容易犯错的地方。

为了帮助大家更好地掌握复数运算的方法和技巧，本文将通过综合练习的形式，对复数加减、乘除以及幂运算等方面进行深入讲解和练习。

一、复数加减法复数加减法是最基本、最常见的复数运算。

对于两个复数的相加减，只需将实部与虚部分别相加减即可。

例题1：计算下列复数的和：(3+4i)+(2-5i)解析：根据加法的运算法则，实部与实部、虚部与虚部相加，得到结果(3+2)+(4-5)i=5-i。

例题2：计算下列复数的差：(5-3i)-(2+7i)解析：根据减法的运算法则，将被减数转化为相反数再相加，得到结果(5-2)-(3+7)i=3-10i。

通过大量的练习，可以熟练掌握复数的加减法运算，提高解题的准确性和速度。

二、复数乘除法复数的乘除法是复数运算中的难点之一。

下面我们分别介绍乘法和除法的运算法则。

1.复数的乘法复数的乘法运算通过对实部和虚部的运算得到结果。

具体步骤如下：(1) 对两个复数的实部进行乘法运算。

(2) 对两个复数的虚部进行乘法运算。

(3) 使用虚数单位i的乘法运算规则：i^2=-1，化简结果。

例题3：计算下列复数的积：(2+3i)*(4-5i)解析：根据乘法的运算法则，先对实部进行乘法运算(2*4)-(3*5)=8-15，再对虚部进行乘法运算(2*(-5))+(3*4)=-10+12i，最后化简结果(-7+12i)。

2.复数的除法复数的除法运算可以通过求解分子和分母的乘积后，用虚数单位i的乘法运算规则进行化简。

具体步骤如下：(1) 将除数和被除数分别表示为a+bi的形式，其中a和b分别表示实部和虚部。

(2) 将分母乘以共轭复数，化简分子。

(3) 将分子和分母的实部进行除法运算。

(4) 将分子和分母的虚部进行除法运算。

例题4：计算下列复数的商：(4+3i)/(2-6i)解析：根据除法的运算法则，首先将分母乘以共轭复数：(2-6i)*(2+6i)，得到结果(2*2)+(2*(-6i))+(6i*2)+(6i*(-6i))= 4+36i-12i-36i^2=40+24i，然后将分子和分母的实部进行除法运算：4/10=0.4，最后将分子和分母的虚部进行除法运算：24/10=2.4i。

高考数学-热点专题专练-专题六-算法、统计、概率、复数测试题-理精品

专题六算法、统计、概率、复数测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z的共轭复数为，若|＝4，则z·＝( )A．4 B．2C．16 D．±2解析设z＝a＋，则z·＝(a＋)(a－)＝a2＋b2.又|＝4，得＝4，所以z·＝16.故选C.答案C2．(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析K正常工作，概率P(A)＝0.9A1A2正常工作，概率P(B)＝1－P(1)P(2)＝1－0.2×0.2＝0.96∴系统正常工作概率P＝0.9×0.96＝0.864.答案B3．(2011·课标)有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )解析古典概型，总的状况共3×3＝9种，满意题意的有3种，故所求概率为P＝＝.答案A4．对变量x，y有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．明显选C.答案C5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )A．15 B．20C．25 D．30解析在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.答案D6．(2011·辽宁丹东模拟)甲、乙两名同学在五次测试中的成果用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成果分别是x甲、x乙，则下列结论正确的是( )A．x甲>x乙；乙比甲成果稳定B．x甲>x乙；甲比乙成果稳定C．x甲<x乙；甲比乙成果稳定D．x甲<x乙；乙比甲成果稳定解析由题意得，x甲＝×(68＋69＋70＋71＋72)＝×350＝70，x乙＝×(63＋68＋69＋69＋71)＝×340＝68，所以x甲>x乙．又＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝×10＝2，＝×(52＋02＋12＋12＋32)＝×36＝7.2，所以甲比乙成果稳定．故选B.答案B7．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率是( )解析由图示可得，图中阴影部分的面积S＝(－x)＝错误!错误!＝错误!－错误!＝，由此可得点P恰好取自阴影部分的概率P＝＝.答案C8．如图所示的流程图，最终输出的n的值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析当n＝2时，22>22不成立；当n＝3时，23>32不成立；当n＝4时，24>42不成立；当n＝5时，25>52成立．所以n＝5.故选C.答案C9．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4，将3个这样的四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为( )解析将正四面体投掷于桌面上时，与桌面接触的面上的数字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于.若与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除，则三个数字中至少应有一个为3，其对立事务为“与桌面接触的三个面上的数字都不是3”，其概率是3＝，故所求概率为1－＝.答案C10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号依次平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( ) A．5 B．6C．7 D．8解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.答案B11．(2011·杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )解析发球次数X的分布列如下表，所以期望解得p>(舍去)或p<，又p>0，故选C . 答案 C12．(2012·济宁一中高三模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝，其中A 的各位数中，a 1＝1，(k 可取2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝( )解析 ξ＝1，P 1＝40＝， ξ＝2时，P 2＝3·＝， ξ＝3时，P 3＝·2·2＝， ξ＝4时，P 4＝·3＝， ξ＝5时，P 5＝4＝，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2012·广东湛江十中模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y)的概率为．解析如图所示，给出的可行域即为正方形与其内部．而所求事务所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为.答案14．(2012·山东潍坊模拟)给出下列命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(4)若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是．解析由复数的概念与性质知，(1)错误；(2)错误；(3)错误，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正确，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案(4)15．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份诞生的概率为．(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)解析P＝1－≈0.985.答案0.98516．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y等于．解析由图中程序框图可知，所求的y是一个“累加的运算”，即第一步是3；其次步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案63三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习主动性和对待班级工作的看法进行了调查，统计数据如下表所示：是多少？抽到不太主动参与班级工作且学习主动性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习主动性与对待班级工作的看法是否有关系？并说明理由．(参考下表)主动参与班级工作且学习主动性一般的学生有19人，概率为.(2)K2＝＝≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握说学生的学习主动性与对待班级工作的看法有关系．18．(本小题满分12分)在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页．在风帆竞赛中，成果以低分为优胜．竞赛共11场，并以最佳的9场成果计算最终的名次．前7场竞赛结束后，排名前5位的选手积分如表一所示：表一此时让你预料谁将获得最终的成功，你会怎么看？解由表一，我们可以分别计算5位选手前7场竞赛积分的平均数和标准差，分别作为衡量各选手竞赛的成果与稳定状况，如表二所示．表二就是说，在前7场竞赛过程中，她的成果最为优异，而且表现也最为稳定．尽管此时还有4场竞赛没有进行，但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场竞赛中发挥的水平大致相同(实际状况也的确如此)，因此可以把前7场竞赛的成果看做是总体的一个样本，并由此估计每位运动员最终的竞赛的成果．从已经结束的7场竞赛的积分来看，李丽珊的成果最为优异，而且表现最为稳定，因此在后面的4场竞赛中，我们有足够的理由信任她会接着保持优异而稳定的成果，获得最终的冠军．19．(本小题满分12分)(2012·苏州五中模拟)设不等式组错误!表示的区域为A，不等式组错误!表示的区域为B，在区域A中随意取一点P(x，y)．(1)求点P落在区域B中的概率；(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．解(1)设区域A中随意一点P(x，y)∈B为事务M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝＝.(2)设点P(x，y)落在区域B中为事务N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝＝.20．(本小题满分12分)某中学部分学生参与全国中学数学竞赛，取得了优异成果，指导老师统计了全部参赛同学的成果(成果都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频率分布直方图”(如图)，请回答：(1)该中学参与本次数学竞赛的有多少人？(2)假如90分以上(含90分)获奖，则获奖率是多少？(3)这次竞赛成果的中位数落在哪段内？(4)上图还供应了其他信息，请再写出两条．解(1)由直方图(如图)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴×100%＝43.75%.(3)参赛同学共有32人，按成果排序后，第16个、第17个是最中间两个，而第16个和第17个都落在80～90之间．∴这次竞赛成果的中位数落在80～90之间．(4)①落在80～90段内的人数最多，有8人；②参赛同学的成果均不低于60分．21．(本小题满分12分)(2012·天津)现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为1或2的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于2的人去参与乙嬉戏．(1)求这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率；(2)求这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参与甲、乙嬉戏的人数，记ξ＝－，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.解依题意，这4个人中，每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参与甲嬉戏\”为事务(i＝0,1,2,3,4)，则P()＝4－i.(1)设4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率为P(A2)P(A2)＝22＝.(2)设“这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为事务B，则B＝A3∪A4，由于A3和A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝3＋4＝.所以，这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为.(3)ξ的全部可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0和A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是随机变量ξ22．(本小题满分14分)(2012·福建)受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保障期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事务A.则P(A)＝＝.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．。

复数运算专题

复数运算专题例1.i 为虚数单位,则i+1i 等于( ). A. 0B. 2iC. 1+iD. -1+i 例2.已知i 是虚数单位,则(1+i)31−i=( ). A. 2iB. -2iC. 2D. -2例3.设复数z=2+i,则5z+z 2=( ). A. -5+3i B. -5-3i C. 5+3i D. 5-3i 例4.复数1+i(i 为虚数单位)的模等于( ). A. √2 B. 1 C. √22D. 12例5.设复数z 1=3+2i,z 2=1-i,则|z 1+2z 2|=( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5例6.已知i 为虚数单位,实数x,y 满足(x+2i)i=y-i,则|x-yi|=( ). A. 1 B. √2 C. √3 D. √5例7.i 为虚数单位,则复数i(1-i)的虚部为( ). A. i B. -i C. 1 D. -1 例8.设z=1-i(i 是虚数单位),则复数2z +i 2的虚部是( ). A. -i B. -1 C. i D. 1例9.已知i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z=i,则z 的虚部是( ). A . 12B . -12i C. 12i D. -12例10.设复数z 为纯虚数,且z 2=-9,则复数(1+z)2的实部为( ). A. -6 B. ±6 C. -8 D. ±8 例11.若复数z 满足iz=1+2i,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点的坐标为( ).A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(2,1) 例12.若z 1=2+i,z 2=3+ai(a ∈R), z 1+z 2的和所对应的点在实轴上,则a 为( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. -1例13.若复数a+i 1+2i(a ∈R)为纯虚数,其中i 为虚数单位,则a= ( ). A. -3 B. -2 C. 2 D. 3例14.设a ∈R,若(a-i)2i(i 为虚数单位)为正实数,则a=( ). A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 例15.已知a,b ∈R,i 为虚数单位,(2a+i)+(1+3i)=-7+bi,则a-b=( ). A. -8 B. 0 C. -7 D. 1 例16.若复数z=1−i 1+i,则z ̅=( ). A. 1 B. -1 C. i D. -i例17.已知复数z=−2+ii2008(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z ̅的虚部为( ). A. i B. -i C. 1 D. -1例18.已知复数z 的共轭复数为z ̅,若z ̅(1-i)=2i(i 为虚数单位),则z=( ). A. i B. i-1 C. -i-1 D. -i 例19.已知复数z 满足∣z ∣=√2,z+z ̅=2,(z ̅为z 的共轭复数).下列选项(选项中的i 为虚数单位)中z=( ).A. 1+iB. 1-iC. 1+i 或1-iD. -1+i 或-1-i例20.已知z=x+yi(x,y∈R),且 2x+y+ilog 2x-8=(1-log 2y)i,则z=( ). A. 2+i B. 1+2i C. 2+i 或1+2i D. 无解例21.已知关于x 的方程x 2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则实数k 的值为 . 例22.已知√32+12i 是实系数一元二次方程ax 2+bx+1=0的一个根,则a= ,b= . 例23.若1+i 是实系数方程x 2+bx+c=0的一个根,则方程的另一个根为( ). A. 1-i B. -1+i C. -1-i D. i例24.已知复数z 1=cos θ-i,z 2=sin θ+i,则∣z 1·z 2∣的最大值为( ). A. 32B. √2C. √62D. 3例25.设f(n)=(1+i 1−i)n+(1−i 1+i)n(n ∈N),则集合{x ∣x=f(n)}中元素的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 无穷多个例26.使不等式m 2-(m 2-3m)i ＜(m 2-4m+3)i+10成立的实数m( ). A. 1 B. 0 C. 3 D. 复数无法比较大小例27.定义运算: |abcd |=ad-bc,若复数z=x+yi(x,y ∈R)满足|z 111|=2,则x= ;y= . 例28.实数m 为何值时,复数z=m 2(1m+5+i)+(8m+15)i+m−6m+5.(1)为实数(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)对应点在第二象限.练习1.复数2−i 3−i =( ). A. 710-110i B. 710+110i C. 110+710i D. 110-710i 2.复数√3i)21+√3i的值是( ). A. -2 B. 16 C. -14D. 14-√34i3.设z=1+i(i 是虚数单位),则2z +z 2=( ). A. -1-i B. 1+iC. 1-iD. -1+i4.(18惠3)已知复数z=(1+i )21−i,则|z|=( ). A. 1 B. √2 C. √3 D. √55.设i 为虚数单位,则复数|1−√3i |1+i= ( ). A. -1+i B. -2+2i C. 1-i D. 2-2i6.已知复数z 满足(1+i)z=3+i,其中i 为虚数单位,则|z|等于( ). A. 10 B. √10 C. 5 D. √57.已知i 是虚数单位,则复数1-2i 的虚部为( ). A. 2 B. 1 C. -1 D. -28.复数21+i 的虚部是( ). A. -2B. -1C. 1D. 29.已知i 是虚数单位,则复数z=i 3•(-1+2i)的虚部为( ). A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 10.已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,若(2-i)·z 1=i+i 2+i 3+…+i 2018(其中i 是虚数单位),则复数z 2的虚部等于( )A. -15B. 15C. -35D. -15i11.如果复数2−bi 1+2i (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于( ). A. -6 B. 23C. -23D. 212.已知i 为虚数单位,在复平面内,复数z=3−2i1+i对应的点所在的象限是( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13.复数z=(a 2-2a)+(a 2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则( ). A. a ≠2或a ≠1 B. a ≠2且a ≠1 C. a=0 D. a=2或a=014.已知a ∈R,i 为虚数单位,若复数z=a+i 1−i纯虚数,则a=( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. ±115.若1+(a-2)i 是实数,则a+i i等于( ). A. 1-2i B. 1+2i C. -1+2i D. 2+i16.i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z=1+3i,则z=( ). A. 1+2i B. 2+i C. 1-2i D. 2-i 17.复数21+i 的共轭复数是( ). A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i18.设复数z 满足zi=(1-i)2,则复数z 的共轭复数z ̅=( ). A. -2 B. 2C. -2iD. 2i19.设i 为虚数单位,则复数z=|1−√3i |1+i的共轭复数是( ). A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. 2+i20.已知i 为虚数单位,复数z 1=a+i,z 2=2-i,且∣z 1∣=∣z 2∣,则实数a 的值为( ). A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. ±2或0 21.实数x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy 的值是( ). A. 1B. 2C. -2D. -122.若1-i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2+2px+q=0(p 、q ∈R)的一个解,则p+q=( ). A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 23.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈R)有实数根b,则求实数a=______,b=_______. 24.(1)若x ∈R,且x 2-(2+i)x+2i=0,则x=_______;(2)若x ∈C,且x 2-2xi-1=0,则x=___________. 25.复数z=2+i 1−i,i 是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.∣z ∣=√5B. z 的共轭复数为32+12i C. z 的实部与虚部之和为1 D. z 在复平面内的对应点位于第一象限 26.集合{i n｜n ∈N *}(其中i 是虚数单位)中元素的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 无穷多个 27.求同时满足下列条件的所有复数z:(1)1<z+10z ≤6;(2)z 的实部和虚部都是整数.28.复数z=1-cos θ+isin θ(2π<θ<3π)的模为( ). A. 2cos θ2B. -2cos θ2C. 2sin θ2D. -2sin θ229.已知复数z=(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)i,当实数m 为何值时.(1)z 为实数;(2)z 为虚数;(3)z 为纯虚数.30.定义运算|a b c d |=ad-bc,则符合条件|2−1zzi|=3+2i 的复数z= ． 31设z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(m-3)(m ∈R),若z 对应的点在直线x-2y+1=0上,则m 的值是 . 32.在下列命题中,正确命题的个数为( ). A. 0B. 1C. 2D. 3①两个复数不能比较大小;②z 1,z 2,z 3∈C,若(z 1-z 2)2+(z 2-z 1)2=0,则z 1=z 3;③若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i 是纯虚数,则实数x=±1;④z 是虚数的一个充要条件是z+z ̅∈R;⑤若a,b 是两个相等的实数,则(a+b)+(a+b)i 是纯虚数;⑥z ∈R 的一个充要条件是z=z ̅.检测题1.方程2z+|z|=2+6i的解的情况是( ). A. 没有解 B. 只有一解 C. 有两解 D. 多于两解2.若复数z=cosθ-sinθ·i所对应的点在第四象限,则θ为第象限角.3.若复数z=sin2α-i(1-cos2α)是纯虚数,则α= .4.已知M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数a= .5.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1与z2共轭复数的积是实数,则实数t的值为．6.如果z=a+bi(a,b∈R,且a≠0)是虚数,则z,z̅,z̿,∣z∣,∣z̅∣,z·z̅,z2,∣z∣2,∣z2∣中是虚数的有____个,是实数的有____个,相等的有____组.7.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( ). A. 1 B. 1或-4 C. -4 D. 0或-48.以2i-√5的虚部为实部,以√5i-2i2的实部为虚部的复数是．9.若(2k2-3k-2)+(k2-2k)i是纯虚数,则实数k的值等于．10.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-1-2i|的最小值是( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 511.设集合A={z∣z∈C,且1<∣z∣≤10},则在下列四个复数中,不属于A的复数的为( )A. z1=cos60o+isin30oB. z2=cos30o+isin60oC. z3=10cos60o+(√10sin30o)iD. z4=10cos60o+(10sin60o)i12.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足∣z̅-a-bi∣=2∣z∣,求z为何值时,∣z∣有最小值并求出最小值.13.已知x 2−x−6x+1+(x2-2x-3)i=0(x∈R),求x的值.14.已知z=1+i,a,b为实数.(1)若ω=z2+3z̅-4,求∣ω∣;(2)若z 2+az+bz2−z+1=1-i,求a,b的值.15.复数z满足条件:∣2z+1∣=∣z-i∣,那么z对应的点的轨迹是( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线16.已知z∈C,∣z-2∣=1,则∣z+2+5i∣的最大值和最小值分别是( )A. √41+1和√41-1B. 3和1C. 5√2和√34D. √39和317.利用公式a2+b2=(a+bi(a-bi),把x2+2cosα·x+1分解成一次因式的积为.。

复数练习题(有答案)

复数练习题(有答案)一、单选题1．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（） A ．12 B ．1i 2-C ．12- D ．1i 22．复数(2i 的虚部为（） A ．2 B．C．2-D ．03．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（） A ．负实数 B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)5．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．27．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 28．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．设i为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 11．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 12．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（） A ．1 B ．15 C ．3 D ．16 13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 14．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（）A ．3-B ．2-C ．2D ．315．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（）AB ．2C ．12D ．216．如果1i12z =-，那么在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限17．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件18．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i19．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限． 26．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 27．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 28．已知i34i z =+，求|z |=___________29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．36．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．37．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．三、解答题41．若复平面内单位圆上三点所对应的复数123,,z z z ，满足22z 13z z =且23i i 0z z +-=，求复数123,,z z z ．42．已知z 为复数，1i z -为实数，i1z-为纯虚数，求复数z . 43．求满足条件1z R z+∈且22z -=的复数z ．44．已知ABC 中，AB ，AC 对应的复数分别为12i -+，23i --，通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量．45．设C z ∈，则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形？【参考答案】一、单选题 1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B 13．D 14．B 15．A 16．D 17．A 18．B 19．A 20．B 二、填空题 21．-2 2223．1 24．125．四261##1-27．2022- 28．15##0.2 2930．1i -+（答案不唯一） 31．1i -+ 32．1 3334．－1＋2i##2i －1 35．11+ 36．12- 37．③ 38．0 39．2i -+ 40．1i -##i+1- 三、解答题41．答案见解析. 【解析】【分析】根据复数的几何意义，结合复数的运算求得3z 和2z ，再结合复数的乘除运算，即可求得1z . 【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为123,,z z z ，故可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ，则由23i i 0z z +-=，可得cos sin 0sin cos 10βγβγ-=⎧⎨+-=⎩，利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得1cos 2sin γγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩z 3故当z 3时，z 2＝－i(z 3－1)，z 1＝223z z=1；当z 3时，z 2＝－i(z 3－1)z 1＝223z z =＝1．42．1i z =+ 【解析】【分析】i z a b =+（,R a b ∈），代入1i z -化简由其为实数可求出a ，再代入i1z-化简由其为纯虚数可求出b ，从而可求出复数z 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈），所以1(1)i(1)i i iz a b b a --+==--，因为1iz -为实数，所以10a -=，得1a =，所以()()()()i 1i i ()()i i 1i 1i 1i 1i 222a b z a b a b a b a b a b +++-++-+====+---+，因为i1z-为纯虚数，所以02a b -=且02a b+≠，所以1a b ==，所以1i z =+ 43．4z =或14z = 【解析】【分析】利用i z a b =+，根据复数的性质进行化简，又由1z R z+∈可知虚部为0，结合已知条件表可求得z . 【详解】解：设i z a b =+(,R)a b ∈且220a b +≠又2222221i i i ()i i 1a b a ba b a b a b a b a z b b za ab -++=++=++-=+++++1z R z +∈ 220bb a b∴-=+，即0b =或221a b += 又i 22a b +-=()2224a b ∴-+=当0b =时，代入()2224a b -+=得：4a =或0a =（舍去）；当221a b +=时，代入()2224a b -+=得：115,44a b ==±综上：4z =或115i 44z =± 44．见解析【解析】【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点，以,AB AC 为邻边作平行四边形，如图，所以12i -+，23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ，如图，()()23i 12i ----+对应的向量为BC ，如图，45．是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界）【解析】【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为3的圆， 22224,16z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为4的圆，所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界），如图所示.。

复数及算法

高15级复习专题——复数及算法1.（2013北京）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限2.(2013安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112y xD B AO C(2题）) (3题）) （4题）3.（2013北京）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.610987 4．（2013四川）如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（） 5.（2013全国新课标）若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( )A.4-B.45-C.4D.456.（2013浙江）已知复数512i z i=+（i 是虚数单位），则_________z = 7．（2014山东）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 ( ) A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 开始是否 0,1i S == 2121S S S +=+1i i =+ 2i ≥输出S结束否是1,0,1===T S k 开始N 输入kT T =1+=k k TS S +=?N k >S输出结束8．（2014浙江）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（）A ． 6k ≤B ．7k ≤C ．8k ≤D ．9k ≤9.（2014新课标1）运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-10．（2014新课标2）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（A ）1111+2310+++…… （B ）1111+2310+++……！！！（C ）111+2311+++…… （D ）11+2311+++……！！！(10题)开始S =1，k =1k >a ?S =S +1k (k +1)k =k+1输出S结束是否（第7题图）复数及算法答案1、D2、D3、C4、B5、D6、√57、A8、B9、A 10、B。

复数的四则运算练习题(文理通用)

1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋－1－22＝612. 答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0. ∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1 C.22D.12解析由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离．答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|O M →|＝42＋32＝5，∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，z C＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a2＋a ＝3，得a －b ＝－4. 答案－410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y的最小值为________．解析方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x＝22y，即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2.答案 4 211．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→，使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形．又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15iC ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C3.－1＋3i 31＋i6＋－2＋i 1＋2i的值是 ( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i解析原式＝－1＋3i3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i ＝－1i＋i＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案－35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝3a －8＋4a ＋6i25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 836．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2ii＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i.法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i1－2i 1＋2i 1－2i ＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1 解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x＝－1，故选B. 答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝________.解析令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i ＝22＝1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案－i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .解由z 2＋a z <0可知z 2＋a z是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i 3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1。

复数的四则运算练习题(文理通用)

1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )．A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i. 答案 D2．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形￥解析根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB 为直角三角形．答案 B3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．答案 B4．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1、Z 2，这两点之间的距离为________．解析 |Z 1Z 2→|＝⎝⎛⎭⎫2＋122＋－1－22＝612.{答案6125．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________.解析 ∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43，由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案 36．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， ∴|z |＝a 2＋b 2＝510，：将a ＝3b 代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝15，b ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－5.故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．综合提高限时25分钟7．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )．A ．0B ．1解析由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离．答案 C8．复数z 1、z 2分别对应复平面内的点M 1、M 2，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，线段M 1M 2的中点M 对应的复数为4＋3i ，则|z 1|2＋|z 2|2等于（( )．A ．10B ．25C ．100D ．200解析根据复数加减法的几何意义，由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|知，以OM 1→、OM 2→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M 1OM 2为直角，M 是斜边M 1M 2的中点，∵|OM →|＝42＋32＝5， ∴|M 1M 2|＝10.∴|z 1|2＋|z 2|2＝|OM 1→|2＋|OM 2→|2＝|M 1M 2→|2＝100.答案 C9．在平行四边形OABC 中，各顶点对应的复数分别为z O ＝0，z A ＝2＋a2i ，z B ＝－2a ＋3i ，zC＝－b ＋a i ，则实数a －b 为________．解析因为OA →＋OC →＝OB →，所以2＋a2i ＋(－b ＋a i)＝－2a ＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＝－2a ，a 2＋a ＝3，得a－b ＝－4.）答案－410．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为________．解析方程|z －4i|＝|z ＋2|表示线段Z 1Z 2(Z 1(0,4)、Z 2(－2,0))的中垂线，易求其方程为x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ·22y ＝22x ＋2y＝223＝4 2. 当且仅当2x ＝22y ，即x ＝2y 且x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时取到最小值4 2. 答案 42^11．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2，所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．*12．设z 1、z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.解法一设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又由(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2，可得2ac ＋2bd ＝0. |z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)， ∴将已知数值代入，可得|z 1－z 2|2＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法三作出z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→， ~ 使OZ 1→＋OZ 2→＝O Z →.∵|z 1|＝|z 2|＝1，又OZ 1→、OZ 2→不共线(若OZ 1→、OZ 2→共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)， ∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形．又∵|z 1＋z 2|＝2， ∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形，故|z 1－z 2|＝ 2.1．(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)等于( )．A ．20＋15iB ．20－15i )C ．－20－15iD ．－20＋15i解析 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(3＋4i －6i ＋8)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－22＋11i ＋4i ＋2＝－20＋15i. 答案 D2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )．A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．512解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝ (2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 答案 C)＋－2＋i 1＋2i的值是( )．A ．0B ．1C ．iD ．2i 解析原式＝－1＋3i 3[1＋i 2]3＋－2＋i i 1＋2i i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×－1＋3i 232i3＋－2＋i i －2＋i＝－1i ＋i ＝2i ，故选D. 答案 D4．设复数z ＝1＋2i ，则z 2－2z ＝________.解析 ∵z ＝1＋2i∴z 2－2z ＝z (z －2)＝(1＋2i)(1＋2i －2) ＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－3. 答案－3(5．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．解析 z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋2i 3＋4i 9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825 ＝3a －8＋4a ＋6i 25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.答案 83 6．计算(1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 4. 解 (1)原式＝i 6＋2＋3i i 3－2i i＝i 2＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.(2)法一原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝－12－32i. "法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3＝1，∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i＝－12－32i.综合提高限时25分钟7．复数z 满足(1＋2i)z －＝4＋3i ，那么z ＝( )．A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i解析 z －＝4＋3i1＋2i ＝4＋3i 1－2i 1＋2i1－2i＝15(10－5i)＝2－i ，∴z ＝2＋i. 【答案 A8．若x ＝1－3i 2，那么1x 2－x＝( )．A ．－2B ．－1C ．1＋3iD ．1解析 ∵x 2－x ＝x (x －1)＝1－3i 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 2－1＝1－3i 2·－1－3i 2＝－14(1－3i)(1＋3i)＝－1，所以1x 2－x ＝－1，故选B.答案 B9．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________．①|z －z |＝2y ；②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －z |≥2x ；④|z |≤|x |＋|y |.:解析 ∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴①不正确；对于②，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴③不正确；对于④，|z |＝x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故④正确．答案 ④10．设f (z ＋i)＝1－z －，z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝________. 解析令z ＋i ＝t ，得z ＝t －i ，f (t )＝1－(t －i )＝1－i －t －，1z 1＋1z 2＝11＋i ＋11－i ＝1－i ＋1＋i 1＋i 1－i＝22＝1. ∴f ⎝⎛⎭⎫1z 1＋1z 2＝f (1)＝1－i －1＝－i. 答案－i 11．复数z ＝1＋i2＋31－i2＋i，若z 2＋az <0，求纯虚数a .…解由z 2＋a z <0可知z 2＋az 是实数且为负数． z ＝1＋i2＋31－i2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则 z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0，∴⎩⎨⎧－m2<0，m2－2＝0，∴m ＝4，∴a ＝4i.12．复数z ＝1＋i3a ＋b i1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．解 z ＝1＋i2·1＋i1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z －对应的点构成正三角形，∴|z －z －|＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1!。

(完整版)复数练习(含答案)

20.复数基础2一、选择题 1 .下列命题中： ① 若z = a + bi ，则仅当a = 0, 0时z 为纯虚数; ② 若(Z 1 — Z 2)2 +(Z 2— Z 3)2= 0，贝y Z 1= Z 2= Z 3； ③ x + yi = 2 + 2i? x = y = 2;④ 若实数a 与ai 对应，其中正确命题的个数是A . 0B . 1 2.在复平面内，复数 A .第一象限 a 为正实数， 2 I (2011年高考湖南卷改编)若a , a = 1, b = 1 B . a = — 复数z=\f 3+ A .第一象限内 6 . 3. A . 4. A . 5. 则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系. ( )C . 2D . 3 z = sin 2 + icos 2对应的点位于( ) B .第二象限 C .第三象限 ,i 为虚数单位，z = 1 — ai ，若|z|= 2,贝U B ^J 3 C ^/2 D . 1 b € R , i 为虚数单位，1, b = 1 C . ( ) C .虚轴上a =( D .第四象限 ) 且 ai + i a = — 1, i 2=b + i ，则( ) b =— 1 D . a = 1, b =— 1 B . 设a , b 为实数，若复数 a = 3 b = 1 a = 2, b = 2 1 1i 2对应点在复平面实轴上 1 + 2i = (a — b) + (a + b)i ，则(D .第四象限内 a = 3, b = 1 ) C . a = 2, b = 3 D . a = 1, b = 3 复数z = 2+ 2i 在复平面 A .第一象限 & A . 9 . 7. 上对应的点位于 C .第三象限 D .第四象限 B .第二象限已知关于x 的方程X 2+ (m + 2i)x + 2 + 2i = 0(m € R)有实根n ,且z = m + ni ，则复数z 等于( )3+ i B . 3— I C . — 3— i设复数z 满足关系式z + |z|= 2+ i ，那么z 等于( -4+ i B .3- 1 z 满足 z + i — 3 =3— i ,B . 2iC .D . — 3+ i ) D.3+ i 4 3 . —4 — iz =( 10 .已知复数 A . 011.计算(—i + 3) — (— 2+ 5i)的结果为( A . 5— 6i B . 3— 5i 12 .向量ol 1对应的复数是 5— 4i , A . — 10+& B . 10— & ) —5+ 6i D . 6- 2i D . - 3+ 5i13 .设Z 1= 3 — 4i , Z 2= — 2+ 3i ，贝U Z 1 + Z 2在复平面内对应的点位于 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 14 .如果一个复数与它的模的和为 5 +^/3i ,那么这个复数是c.f +苗 B.V 3IC . 向量O52对应的复数是一5 + 4i ，则OZ 1+ OZ 2对应的复数是( )C . 0D . ( 10 + & ) D .第四象限 D ¥+ 2V 3i 5 15 .设 f(z)=乙 A . 1 — 3i16 .复数 Z 1= cos0+ i , Z 2= sin 0- i ，则 |z 1 — Z 2|的最大值为A . 5 B.& C . 6 D.V 6 17 .设 z € C ,且 |z + 1|— |z — i| = 0,则 |z + i|的最小值为( J C .2 D Z 1= 3+ 4i, Z 2=— 2— i ，贝U f(z 1 — Z 2)=( B . 11i — 2 C . i — 2 5 + 5i 18 .若 z € C ,且 |z + 2— 2i|= 1,则 |z — 2 — 2i|的最小值为( A . 19 . 2 B . 3 C . 4 (2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合 i € S B . i 2€ SC . i 3€ SD . 5 S = { — 1,0,1}，则( )D.2€ Si(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作Z , i 为虚数单位.若z = 1 + i ，则(1 + Z)•=()3— iB . 3+ IC . 1 + 3iD . 32 + 4i21 .化简〒+尹的结果是()2+ i B . - 2 + I C .i 2+ i 3+ i 4(2011年高考重庆卷)复数 —-—=( 1 — i4+ 3i 与一2-5i 分别表示向量O A 与OB ，则向量A B 表示的复数是33. 已知复数 Z 1 = (a 2— 2) + (a -4)i , Z 2= a - (a 2— 2)i(a € R)，且 z j — Z 2为纯虚数，则 a =34. （2010年高考上海卷）若复数z = 1-2i （i 为虚数单位），则z-z + z =35. （2011年高考江苏卷）设复数z 满足i （z + 1） = — 3+ 2i （i 为虚数单位），贝U z 的实部是 36 .已知复数z 满足|z|= 5，且（3 - 4i ）z 是纯虚数，则 z =22.23.1 1一 —一—iB . -2+ 21（2011年高考课标全国卷復数的共轭复数是（1 — 2iD.尹 2i3 -5i3 1 + i24 . i 是虚数单位，(一)4等于(1 - i A . iB . - I 25 .若复数 Z 1 = 1 + i , z 2 = 3-i , C .- i C . 1 Z 1 z 2=(C . 2+ 2i26.设z 的共轭复数是 z ，若 z + z = 4, z -z = 8, A . i27. （2010年高考浙江卷 A . |z — z 1= 2y二、填空题28. 在复平面内表示复数B . - iC . ±1)对任意复数z = x + yi(x , y € R), i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ()B . z 2= x 2 + y 2C . |z - "z |> 2xD . |z|< x + |y|z = （m - 3）+ 2丽i 的点在直线y = x 上，则实数 m 的值为29.复数 z = x +1+ (y — 2)i(x , y € R)，且 |z|= 3，则点 Z(x , y)的轨迹是 30.复数Z 1= 1 + 2i , Z 2=— 2+ i , z 3=—逅一迈i , Z 4=U 3 —U 2i , Z 1, z 2, z 3, Z 4 在复平面内的对应点分别是 A , B , C , D ，则/ ABC +/ ADC =31.复数 32.已知 f(z + i) = 3z -2i ，贝U f(i)==(3 — 2)+ (— 4+ 3)i = 1 — i ,•••Z 1 + Z 2对应的点为(1 , — 1)，在第四象限. 14.解析：选C.设这个复数为z = a + bi(a , b € R),则 z + |z|= 5+73i ,即 a +、/a 2+b 2+ bi = 5+ 也i ,答案一、选择题1.解析：选A.在①中没有注意到 z = a + bi 中未对a , b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若 Z 1= 1 , Z 2= i ，贝U z 1 + z 2= 1 — 1 = 0,从而由Z ?+ z 2= 0? / Z 1= Z 2= 0，故②错误;在③中若x , y € R ，可推出x = y = 2,而此题未限制x , y € R ，故③不正确；④中忽视 0 •= 0,故④也是错误的.故选A.2.解析：选 D. •疥2< n, •••sin 2>0, cos2<0.故z = sin 2+ icos 2对应的点在第四象限.故选 D.3. 解析：选 B.|z|=|1 — ai| =7a 2+ 1 = 2,Aa = ±3. 而a是正实数，••• a 〜4. 解析：选 D.ai + i 2=— 1 + ai = b + i ,故应有a = 1, b =— 1.5.解析：选 B. ••2=羽 + i 2=/3— 1 € R ,•••Z 对应的点在实轴上，故选 B.a —b =1316.解析：选 A.由 1+ 2i = (a — b)+(a + b)i 得，解得 a = -, b =2. 1 17.解析：选A. •••复数z 在复平面上对应的点为2 2，该点位于第一象限，•复数 Z 在复平面上对应的点位于第一象限.& 解析：选 B.由题意知 n 2+(m + 2i)n +2+ 2i = 0, 即 n 2+mn +2+(2n + 2)i = 0.n 2+mn + 2= 0 m = 3，解得n = — 12n + 2 = 09.解析：选 D.设 z = x + yi(x 、y € R),则 x + yi + 寸 + y 2 = 2 + i ,x+p x 2 + y 2 = 2,解得3x= 4,y = 1.y = 1.•••z = 3+ i. 4 11.解析:12. 解析：13. 解析:选 D.由 Z + i — 3 = 3 — i ，知 z = (3 — i) + (3 — i) = 6— 2i. 选 A.( — i + 3) — (— 2+ 5i) = (3 + 2) — (5 + 1)i = 5 — 6i.选 C.0Z 1 + O)Z 2对应的复数是 5— 4i + (— 5 + 4i) = (5 — 5)+ (— 4 + 4)i = 0. 选 D. VZ 1 + Z 2= (3 — 4i) + (— 2 + 3i)b =审b = 732+ i- 的共轭复数为一i. 1 — 2i选 C.(出)4=[(出)2]2 = (4-)2= 1.故选 C.1 — i 1 — i — 2i选 A. •/Z 1= 1+ i , Z 2 = 3— i , •••Z 1 Z 2 = (1 + i)(3 — i) = 3 + 3i — i — i 2= 3 + 2i + 1 = 4+ 2i.故选 A.a + 寸 a 2+b 2 = 5 ，解得11 a =亏11•••Z = — +求i.15.解析：选D.先找出Z 1 — Z 2,再根据求函数值的方法求解. •.•Z 1= 3 + 4i , Z 2= — 2 — i ,•Z 1 — Z 2= (3 + 2)+ (4 + 1)i = 5 + 5i.•••f(Z 1— Z 2)= Z 1 — Z 2= 5 + 5i.故选 D. 16.解析：选 D.|Z 1— Z 2|= |(cos0— sin 0+ 2i|=寸 cos 0- sin 02 + 4 =寸5 — 2sin bos 0 =^/5—sin2&c ^/6.17.解析：选C.|Z + 1|= |Z — i|表示以(—1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而 Z + i| = |Z — (— i)|表示直线上的点到(0, — 1)的距离，数形结合知其最小值为弩.18 解析：选 B.法一：设 z = x + yi(x , y € R)，则有 |x + yi + 2— 2i|= 1,即 |(x + 2) + (y — 2)i| = 1,所以根据复数模的计算公式，得(x + 2)2 + (y — 2)2 = 1 ,又 |Z — 2 — 2i| = |(x — 2) + (y — 2)i| =^ x — 2 2+ y — 2 2 = 寸 X -2 2+ 1 — X + 2 2 =寸 1 — 8x.而 |x + 2|< 1,即一3W x < — 1，•当 x =— 1 时，Z — 2— 2i|min = 3. 法二：利用数形结合法.|z + 2— 2i|= 1表示圆心为(一2,2)，半径为1的圆，而|Z — 2 — 2i|= |z — (2 + 2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离, 由数形结合知，其最小值为 3,故选B.19.解析: 2选 B.因为 i 2=— 1 € S , i 3=— i € /S, 7 =— 2i € /S,故选20.解析: 选 A.(1 + Z) • = (2 + i) (1 — i) = 3— i.21.解析:2+ 4i 2+ 4i 1 + 2i 选 C. = ~~~= : = 2— i.故选1+i 2 2ii 2+i 3+ i 4— 1 — i + 1 — i — i 1 + i22.解析:1— i 1 — i1 1■ 1 — i 1 — i 1+ i 22» 23.解析:2 + i(2+ i )(1 + 2i ) 2+ i + 4i — 22 + i选C.法一：••蔷=((1—)&计=—V- =i ，••行的共轭复数为-i.法二：.Q —0 一1 — 2i 1 — 2i1 — 2i = i ，24.解析: 25.解析:26. 解析：选 D.法一：设 z = X + yi(x , y € R)，贝U z = x — yi ，由 z + z = 4, z - z = 8 得,设 z = 2+ bi(b € R),又 z -z = |z|2= 8,.・.4 + b 2= 8,一 z•••Z = 2 ±i , z = 2?2i ，•一 = ±.‘‘ z27.解析：选 D. •/~z = X — yi(x , y € R), |z — 7|= |x + yi — x + yi|= |2yi|= |2y|,.A 不正确；对于 B , z 2=x 2 —y 2 + 2xyi ，故不正确；• |z — z |= |2y|> 2x 不一定成立，二 C 不正确；对于 D , |z|^y x 2+y 2< |x|+ |y|,故 D正确. 二、填空题28.解析：复数z 在复平面上对应的点为(m — 3,2丽),/•m — 3 = 2航，即卩 m — 2/m — 3 = 0.解得m = 9. 答案：929.解析：•••|z|= 3,.••寸 X +1 2+ y -2 2 = 3，即(x + 1)2+ (y — 2)2= 32.故点 Z(x , y)的轨迹是以 O '(— 1,2) 为圆心，以3为半径的圆.答案：以(—1,2)为圆心，3为半径的圆30.解析：|z 1|=|z 2|=|z 3|=|Z 4|={5，所以点A , B , C , D 应在以原点为圆心，"5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以/ ABC + /ADC = 180 °31.解析：AB 表示OB — OA 对应的复数，由—2 — 5i — (4 + 3i) = — 6— &,知AB 对应的复数是—6— &. 答案：—6— &32.解析：设 z = a + bi(a , b € R),贝Uf[a +(b + 1)i] = 3(a + bi) — 2i = 3a + (3b — 2)i ，令 a = 0, b = 0,贝U f(i) = — 2i. 答案：—2i33 .解析：z i — z 2 = (a 2 — a — 2) + (a — 4 + a 2 — 2)i = (a 2 — a — 2) + (a 2 + a — 6)i(a € R)为纯虚数，.•a 2 — a — 2 = 0,解得a = — 1.a 2+ a — 6丰 0, 34. 解析：■/z = 1 — 2i ,.z -z = |z|2= 5..・.z ・z + z = 6— 2i.答案：6 — 2i35.解析：设 z = a + bi(a 、b € R),由 i(z + 1) = — 3+ 2i ，得一b + (a + 1)i = — 3+ 2i , .a + 1= 2,.a =1. 答案：1 36.解析：•••(3 — 4i)z 是纯虚数，可设(3 — 4i)z = ti(t € R 且 t丰 0), /-z^—,/.|z|= *= 5, A|t|= 25, •=±25,3 — 4i 5-+25i—x + yi + X — yi = 4, x = 2 x = 2 x + yi X — yi = 8.X 2 + y 2= 8y = ±zx — yi x 2— y 2— 2xyi=苴zx + yiX 2+ y 2•••z= --- = ±(3 + 4i) = ±— 4 + 3i), z = ± — 4 —3i) = ±4 + 3i).3 —4i答案：±4 + 3i)。

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一.函数，复数，算法20130310
基本函数的图像与性质：*一次二次函数，反比例函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数* 1、（佛山市2013届高三上学期期末）已知函数1()1f x x
=-的定义域为Ｍ，()ln g x x =的定义域为Ｎ，
则M N ＝．
2、（惠州市2013届高三上学期期末）已知幂函数()y f x =的图象过点1
2()22
，
，
则4
l o g (2)f 的值为（）
A ．
14
B ．－
14
C ．2
D ．－2
3、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数()21
212
1x x a x f x a a x ⎧+-⎪=⎨⎪->⎩
≤，
，，．若()f x 在()0+∞，
上单调递增，则实数a 的取值范围为．
4、（茂名市2013届高三上学期期末）已知)(x f 是奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则1()2
f -
=（）
A. 2
B. 1
C. 1-
D. 2- 5、（增城市2013届高三上学期期末）已知函数2()f x x -=，则
A ．()f x 为偶函数且在),0(+∞上单调增
B ．()f x 为奇函数且在),0(+∞上单调增
C ．()f x 为偶函数且在),0(+∞上单调减
D ． ()f x 为奇函数且在),0(+∞上单调增 6、（增城市2013届高三上学期期末）函数x x f 3
log
)(=的定义域是
A ． ]1,0(
B ． ),1[+∞
C ． ),3(+∞
D ． ),3[+∞
7、（湛江市2013届高三上学期期末）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有f （x ＋4）
＝f （x ），若f （－1）＝2，则f （2013）等于
A 、2012
B 、2
C 、2013
D 、－2
8、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若
3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则 A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ． a b c >>
9、（广州市2013届高三上学期期末）若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，
则实数m 的值为 .
10、（肇庆市2013届高三上学期期末）函数3
2
1()2323
f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为
二.导数
11、（广州市2013届高三上学期期末）若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，
则实数m 的值为 .
12、（茂名市2013届高三上学期期末）计算 .
答案：2e
13、（增城市2013届高三上学期期末）曲线x y =2与2x y =所围成的图形的面积是．答案：
3
1
14、（肇庆市2013届高三上学期期末）函数3
2
1()2323
f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为
答案：23
-
15、（中山市2013届高三上学期期末）11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a
'=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为__________ 答案：01<<-a
16、（珠海市2013届高三上学期期末）函数=
y x
x sin 的导函数='y ．
17、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数(),R x f x e kx x =-∈（e 是自然对数的底数，e=2.71828……） (1)若k=e ，求函数()f x 的极值； (2)若k R ∈，求函数()f x 的单调区间；
(3)若k R ∈，讨论函数()f x 在(],4-∞上的零点个数．
三.复数
18、（潮州市2013届高三上学期期末）12i i
+=
A ．i --2
B ．i +-2
C ．i -2
D ．i +2
19、（东莞市2013届高三上学期期末）若a 实数，1(2)ai i i +=-，则a 等于 A ．2 B ．-1 C ．1 D ．-2
20、（佛山市2013届高三上学期期末）设i 为虚数单位，则复数
i
2i +等于
A ．12i 55+
B ． 12i 55-+
C ．12i 55-
D ．12i 55
--
21、（广州市2013届高三上学期期末）已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i ）对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
22、（惠州市2013届高三上学期期末）i 复数
3
13i i
- 的共轭复数．．．．
是（） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -
23、（江门市2013届高三上学期期末）若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b
A．1B．1
-C．2D．2
-24、（茂名市2013届高三上学期期末）计算：2
(1)
i i
+=( ) A．-2 B．2 C．2i D．-2i
25、（增城市2013届高三上学期期末）复数
5
-2+i
=
A．2+i B．2i
-+C．2i
--D．2i-
26、（湛江市2013届高三上学期期末）复数z满足z＋1＝2＋i（i为虚数单位），则z（1－i）＝
A、2
B、0
C、1＋i
D、i
四.算法框图
27、（潮州市2013届高三上学期期末）右右图给出的是计算
20
1
6
1
4
1
2
1
+
⋅⋅⋅
+
+
+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条
件是i>___？
答案：10
28、（东莞市2013届高三上学期期末）0,2,1
S n i
===
如右图所示的算法流程图中，第3个输出的数是。

答案：7
29、（广州市2013届高三上学期期末）图2是一个算法的流程图，则输出S的值是 .
答案：
30、（惠州2013届高三上学期期末）
阅读右图程序框图．若输入5
n=，则输出k的值为_____ 答案：3
31、（江门2013届高三上学期期末）
开始
1
S S
n
=+
2
n n
=+
1
i i
=+
否
输出S
结束
是
题1图
输入正整数n （2≥n ）和数据1a ，2a ，…，n a ，
如果执行如图2的程序框图，输出的s 是数据1a ，2a ，…，n a 的平均数，则框图的处理框★中应填写的是 A ．i a s s += B ．n
a s s i
+=
C ．i a s i s i
+⨯-=
)1( D ．n
a s i s i
+⨯-=)1(
答案：C
32、（茂名市2013届高三上学期期末）某程序框图如图所示，该程序运行后，
输出的x 值为31，则a 等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案：D
33、（增城市2013届高三上学期期末）有一问题的算法程序是 1=i
0=S
WHILE 100<=i i S S += 1+=i i WEND
PRINT S
END 则输出的结果是．答案：5050
34、（湛江市2013届高三上学期期末）已知函数2
()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个答案：C 35、（肇庆市2013届高三上学期期末）图1是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 ( )
A.2n >
B. 3n >
C. 4n >
D. 5n >
答案：B 解析:由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)*1=1，n =n +1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n =3，注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s =(6+3)*3=27，n =4，。

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