含参变量反常积分

|∫
d
d −η
f ( x, y )dy |< ε ，
则称含参量反常积分
∫
d
c
f ( x, y )dy 在 [a, b] 上一致收敛．
例6 证明 ∫
+∞
0
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) p x
即证 ∀[ p0 , p1 ] ⊂ ( −1,1),
∫
+∞
0
∫
+∞
0
2 2 +∞ cos x 1 cos x cos x 2 dx = dx + ∫ dx = I1 + I 2 p p p ∫ 0 1 x x x
sin xy dy y
在，）上一致收敛（其中但在 [δ + ∞ δ > 0),
（，）内不一致收敛。 0 +∞
分析
A > A0 要证：∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使得当时，
对一切，都有 x ∈ [δ , +∞ )
|∫
+∞ A
sin xy dy |< ε y
证
+∞
令 u=xy, 得
+∞ sin u sin xy ∫ A y dy = ∫ Ax u du 其中 A > 0. +∞ sin u 由于 ∫ du 收敛，故 0 u 就有 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时， A > A0 +∞ sin u |∫ du |< ε A u A0 取N = 时 则当A > N 时有 Aδ > A0， δ 对一切 x ∈ [δ，+ ∞ )， 有 Ax ≥ Aδ > A0， +∞ sin xy +∞ sin u 从而 | = ∫ A y dy | | ∫ Ax u du |< ε +∞ sin xy 所以 ∫ [δ + ∞ 一致收敛. dy 在，） 0 y
证明 用反证法。不妨设Biblioteka f ( x , y ) ≥ 0 若∫
+∞ a
f ( x , y )dx关于y在[c,d]上不一致收敛，
+∞ n
∃ε 0 > 0, ∀n > a , ∃yn ∈ [c , d ], ∫
f ( x , yn )dx ≥ ε 0
= y0 lim yn ∈ [c , d ] 不妨设 { yn } 收敛，并记
由于
I ( x) = ∫
|∫
M
+∞
c
f ( x , y )dy
所以上述定义中的不等式
c
f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
也可表示为
|∫
+∞
M
f ( x , y )dy |< ε
例1 含参变量 α 的反常积分
∫
+∞
0
e −α x dx
关于 α 在 [α 0 , +∞ ) 上一致收敛 (α 0 > 0) 但在 (0, +∞ )上不一致收敛 解
f ( x , y )dy |< ε
推论1 ∃ε 0 > 0, ∀A0 > 0, ∃A, A ' > A0 , x A0 ∈ [a , b] ，使得
∫
则
f ( x A0 , y )dy ≥ ε 0
∫
+∞
c
f ( x , y )dy 在 [a , b]上非一致收敛。
例2 证明含参变量反常积分
∫
+∞
0
例5 利用狄利克雷（Dirichlet）证明
∫
+∞
0
sin xy dx 在 [ y0 , +∞ )( y0 > 0) 一致收敛 x
证 在 [ y0 , +∞ )( y0 > 0) 上
∫
A
0
1 − cos( Ay ) 2 2 sin xydx = ≤ ≤ y y y0
所以一致有界，
1 0 与y无关，所以一致收敛 x
含参量的无界函数反常积分
设 f ( x, y ) 在区域 R = [ a, b] × [c, d ] 上有定义， 若对某些 x 的值， y = d 为函数 f ( x, y ) 的瑕点， 则称
∫
d
c
f ( x, y )dy 为含参量 x 的无界函数反常积分．
含参量的无界函数反常积分
定义 2 对任给正数 ε ，总存在某正数 δ < d − c ， 使得当 0 < η < δ 时，对一切 x ∈ [a, b] ，都有
n →∞
由收敛知， ∫ f ( x , y0 )dx
− xy g ( x , y ) e = 函数 对每个 x ∈[ 0, d ]关于变量 y 单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界： − xy | g ( x , y= ) | | e |≤ 1, 0 ≤ y ≤ d , x ≥ 0
故由阿贝尔（Abel）判别法，知 +∞ − xy sin x ∫0 e x dx 在[ 0, d ]上一致收敛
定理15.2.3 阿贝尔（Abel）判别法 设 ⑴
∫
+∞ c
f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 上一致收敛.
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y 的单调函数，且存在 M > 0, 使得
| g( x , y ) |≤ M , ∀x ∈ [a , b], ∀y ≥ c
A
例1 含参变量 α 的反常积分 ∫0 解
α ≥ α0 时 0 ≤ ∫A e
+∞ −α x
+∞
e −α x dx 关于 α 在 [α 0 , +∞ )
上一致收敛（ α 0 > 0），但在 (0, +∞ ) 上不一致收敛
1 +∞ − t 1 −α A 1 −α0 A ≤ dx = e e ∫ e dt =
I ( x) = ∫
+∞
c
f ( x , y )dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
∀ε > 0, ∃A0 (ε , x ) > c , 使得 ∀A > A0 ,
| ∫ f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
c
A
其中 A0 与 x 有关.如果存在一个与 x ∈ [a , b] 无关的 A0 (ε ) 使得该不等式成立，就称 反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
一、一致收敛性及其判别法
设函数定义在无界区域 f ( x, y) = R { ( x , y ) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y < +∞ }
上，若对于每一个固定的反常积分 x ∈ [a , b],
∫
+∞
c
f ( x , y )dy
f ( x , y )dy ,
(1)
x ∈ [a , b ]
都收敛则它是的函数记这个函数为有 , x , I ( x ),
I ( x) = ∫
+∞ c
则上式为定义在上的含参量的无穷限 [a , b ] x
反常积分，或简称含参量反常积分
设反常积分 I ( x ) =
∫
+∞
c
f ( x , y )dy 在 [ a, b ] 收敛
即对于每一个反常积分 x ∈ [a , b],
所以必存在 α ( A) ∈ (0, +∞ ), 使得
∫
A
定理15.2.1（一致收敛的柯西准则）设含参变量
积分在一致收敛 ∫ f ( x , y )dy
c +∞
[a , b ]
⇔
A, A ' > A0 ∀ε > 0, ∃A0 > c，使得当时，对一切
x ∈ [a , b]，都有 | ∫
A' A
A' A
∫
N c
f ( x , y )dy |≤ M
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y 单调且当 y → +∞ 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致 地收敛于 0 ，则
∫
+∞ c
f ( x , y ) g ( x , y )d 在 y [ a, b ] 上一致收敛.
(1) ∫
+∞ 0
e −α x dx 在上收敛 (0, +∞ )
+∞
，
∀α ∈ (0, +∞ ), ∀ε > 0, ∃A0 (ε , α ) > α 0 ,
使得 ∀A > A0 , | ∫
(2) ∫
+∞ 0
A
e −α x dx |< ε
e −α x dx 在[上一致收敛 α 0 , +∞ )
0 +∞ ∀ε > 0, ∃A0 (ε ） > α 0 , 使得 ∀A > A0 , ∀α ∈ （，） +∞ | ∫ e −α x dx |< ε
cos xy dx 2 1+ x
−∞< y < +∞
+∞
∫
0
1 dx 2 1+ x
收敛
∫
+∞
0
cos xy dx 在上一致收敛 ( −∞ , + ∞ ) 2 1+ x
.
定理15.2.3 狄利克雷（Dirichlet）判别法 设 ⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ] 都有 |
一般来说, 对区间 [ a, b] 上所有的无限多个 x , 就对应无限多个 Ax , 这无限多个 Ax 不一定存在上界, 即不一定存在通用的 A0 , 当 A > A0 时, 对区间 [ a, b] 上所有的 x , 都有 |
∫
+∞
M
f ( x, y )dy |< ε .
如果无限多个 Ax 存在上界 A0 , 就有含参量无穷积分的一致收敛.
∀ε > 0, ∃A0 > c , 定义1 若使得当时，
对一切，都有 x ∈ [a , b ]
A > A0
|∫
A0
c
f ( x , y )dy − I ( x ) |< ε
则称含参量反常积分 在一致收敛于 [a , b ]
∫
+∞
c
f ( x , y )dy
I ( x ), .
或含参量积分在一致收敛 [a , b ]
1 2
cos x 2 上内闭一致收敛 ,0 p ]1 dx关于在 p [ p p x
cos x 先看 I1 = ∫ dx p 0 x 1 1 cos x 2 1 1 p1 < 1 dx ≤ p ≤ p1 由于，因此收敛 ∫ p 0 xp x x x
1
于是由Weierstrass判别法知一致收敛
cos x 2 dx关于在上内闭一致收敛 p ( −1,1) 例6 证明 ∫ p 0 x 2 2 +∞ cos x +∞ cos x +∞ cos t 2 1 dx ∫ 再看 I 2 = dx x = t ∫ dx p 1 p 1 1 x 2 1 2 ( p +1) x t A A = tdt | sin A − sin1 |≤ 2, 1 ≤ A < +∞ 即∫ cos tdt 一致有界 ∫1 cos 1
1 而在 (0, +∞ ) 上对于正整数 n, xn = n
y sin 3 3 π n nπ sin x y n dy 2 n 2 = ∫nπ y dy ∫nπ y
1 3 nπ 2
>
∫
3 nπ 2 nπ
y 2 sin dy = 3π n
则非一致收敛
定理15.2.2 魏尔斯特拉斯判别法 M
设有函数使得 g( y ),
α x=t
lim 而A →+∞
1
α
αA
α
α0
α0
e −α0 A = 0
，
所以 ∀ε > 0, ∃A0 > 0, ∀A > A0 对于任意取定的 A > 0
1
α0
e −α0 A < ε
∫
+∞ A
e
−α x
dx =
1
α
e
−α A
lim ，而 α → 0+
1
α
+∞
e −α A = +∞
e −α ( A ) x dx > 1
§2 含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法 二、含参量反常积分的性质
教学目的与内容: 了解和掌握含参量反常积分的定义，收敛与一致收敛的概念， 掌握含参量反常积分一致收敛判别法及含参量反常积分的性质 教学重点与难点: 含参量反常积分的一致收敛；含参量反常积分的性质， 含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明
则
∫
+∞ c
f ( x , y ) g ( x , y )d 在 y [ a, b ] 上一致收敛.
例4 证明含参量反常积分
在上一致收敛 [0, d ]
+∞
∫
+∞
0
e
− xy
.
sin x dx x
sin x 证 因为反常积分 ∫ dx 收敛， 0 x 从而对于参量 y 它在[ 0, d ]上一致收敛，
+∞
∫
而对于每个 p ∈ [ p0 , p1 ] 函数
1 t
1 ( p + 1) 2
关于t单调减少，
1
因此当
t
1 ( p + 1) 2
≤ t
1
1 ( p + 1) 2 0
,1 ≤ t < +∞ , p0 ≤ p ≤ p1
t → +∞ 时 t 1/ 2( p +1) 关于p在 [ p0 , p1 ]上一致趋于零
f ( x , y ) ≤ g ( y ), x ∈ [a , b], y ∈ [c ,+∞).
若收敛则 ∫ g( y )dy
c +∞
,
.
∫
+∞ c
f ( x , y )dy
在上一致收敛 [a , b ]
例3 证明含参量反常积分
∫
.
+∞
0
在上一致收敛 ( −∞ , + ∞ )
证 因为有 1 cos xy |≤ | 2 1 + x2 1+ x 并且反常积分 所以
1
于是由Dirichlet定理知一致收敛
定理15.2.4（Dini定理）
设在 f ( x , y ) [a , +∞ ) × [c , d ] 上连续且保持定号，
I ( y) = ∫ 故∫
+∞ a
+∞
a
f ( x , y )dx 在[c,d]上连续，
f ( x , y )dx 关于y在[c,d]上一致收敛