概率统计第二章 一维随机变量及其分布
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例23设随机变量将每次射击看成一次随机试验所需考查的试验结果只有击中目标和没有击中目标因此整个射击过程为424设某射手独立地向一目标射击4次每次击中目标的概率为0求该射手在4次射击中命中目标次数x分布律并问x取何值时的概率最大
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
1
P 1－ p p
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系 表示随机事件．
例如在抛硬币的随机试验中，事件
“正面向上” {X 1} {X 1}， 2
{0 X 1} {X 2} {X 1} ， 2
8 45
1 45
,
x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】离散型随机变量分布函数的三个特征：
①正概率点为分段点；②每段上的函数值为概率累加（开始
为零）；
18
③ 每个区间为左闭右开（或为了保证右连续，等号给 ）。
y
4
1
5
8
45
1
45
o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
定义 1.1 设随机试验 E 的样本空间为 ，对每一个样本点
，均有一个惟一确定的实数 X 与之对应，就称 X 为一
个定义在 上的随机变量，也记为 X X () ．通常随机变 量用 X ,Y , , 等符号表示．
由定义 1.1 知随机变量 X 为样本点 的函数．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
2 0
x 3
2 3 6 12
❖ 思考：下列可以作为分布函数的选项为
0, x 0,
A.
F
(
x)
4e
4
x
,
x
0.
0,
x 0,
B.
F
(
x
)
1 3
,
0 x 1,
•
1,
x 1.
0,
C.
F
(
x
)
1
2
x
,
1,
0, D. F ( x) sin x,
1,
x 0,
0 x 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{X 1} 5 ， 9
求 P{Y 1}．
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{X 1} 5 知， 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
4 9
，
所以 p 1 ，从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x)
在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
11
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
x ．⑴求常数 a, b ；⑵计算概率 P1 X 0 和
P{X 3} ． 解 ⑴ 由 分 布 函 数 的 性 质 1.2 知 F () a b 0 ，
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减，
即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ． 性质 1.4 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 处处右连续，
即对于任意给定的 一点
x0
，
F
( x0
0)
lim
x xo
F
(x)
F
( x09)
F () a b 1，解得 a 1 , b 1 ．
2
⑵
2 由⑴知， F (x)
1
1
2 arctan x ， x ，故
P1
X
0
2
F(0) F(1)
1
[1
1
(
)]
1
，
2 2 4 4
P X 3 1 F( 3 0)
1 lim (1 1 arctan x) 1 (1 1 ) 1 ．
等均表示随机事件．
5
二、分布函数
定义 1.2 设 X 为一随机变量，对于任意实数 x ，称函数
PX x为 X 的分布函数．记为 F(x) ．即随机变量 X 的分布函数为 F(x) PX x, x ．
【注意】（1）不论随机变量 X 如何取值，其分布函数 F(x) 的 定义域总是 (, ) ．
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
．
17
续解 利用 F(x) PX x pi , x ，可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有
PX x0 F(x0) F(x0 0) ．
7
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
PX a 1 F(a) ， PX a 1 F(a 0) ，
PX b F(b 0) ，
Pa X b F(b 0) F(a)
，
Pa X b F(b) F(a 0) ，
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 ， k 0,1, 2, , n ，且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ，
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质． 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项，因此称 X 服从二项分布．
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ． 可具体计算得， P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ，
P{X 1} C41 0.61 0.43 0.1536 ，
P{X k}
x
1 2 3xBiblioteka 例 2.2已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
，
i 1, 2, ，试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
，以及分布
2
律的性质可得 k 1．由上可知， X 的分布律为
P{X i} 1 ， i 1, 2, ， 2i
Pa X b F(b 0) F(a 0)
8
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
由贝努里概率模型，在n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P(A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
．
例 1.1 在抛一枚硬币的随机试验中，记事件 A 表示硬币正面向
上，令
X
0, 1,
若A不发生, 若A发生,
求随机变量 X 的分布函数 F(x) ，并讨论 F(x) 的连续性．
解 由题意知 P(A)=P(A)= 1 ． 2
当 x 0 时， F(x) PX x P() 0 ；
当 0 x 1时，
产品合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布，本章例
1.1 中，随机变量 X ~ B(1, 1) ． 2
2．二项分布（贝努里（Bernoulli）分布） 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， k 0,1, 2, , n ， 就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中 n 为正整数， 0 p 1．
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大．
解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
分布律和分布函数 F(x) ．
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机
变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 ， P{X 2} 2 8 8 ，
10 5
10 9 45
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ，
（ 2）分布 函数 F(x) 的直 观意义为 随机变量 X 落 在区间 (, x]上的概率．
6
定理 1.1 对于任意实数 a, b (a b) ，则有 P{a X b} F(b) F(a) ．
证明：事实上，由
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
x 1. x 0,
0 x / 2, / 2 x.
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就称 X 为离散型随机变量．
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ，其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ，且
解 设 X 表示1000个产品中次品的个数，则 X ~ B(1000,0.005) ．
所以1000个产品中恰有10 个次品的概率为
i
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L pi ． xi L
（即找点求概率之和）
结论 2.2 X 的分布函数
F(x) PX x pi , x ．
16
xi x
例 2.1 设盒子中有 8 个正品和 2 个次品，现依次不放回地将其
逐个取出，记 X 为首次取到正品时所取产品的个数，试求 X 的
{X 1} {X 0} ． 2
进而有 P{X 1} 1 , P{X 2} 1, P{X 1} 0 等等．
2
2
4
一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}
表示一个随机事件．
特别地，如果 a, b 为实数，则 {a X b}, {X b}, {X a}, {X a}, {X a}
就称 X 服从 0 1两点分布，记为 X ~ B(1, p) ．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某
F(x) PX x P{X 0} P(A) 1 ；
2
当 x 1时， F(x) PX x P() 1．
10
续解 综上可得 X 的分布函数为
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0)， (0,1) 和 (1, ) 内均连
例
1.1
中， X
0, 1,
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
．
2 2
15
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
则有 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
pi 1 ．
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
1
P 1－ p p
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系 表示随机事件．
例如在抛硬币的随机试验中，事件
“正面向上” {X 1} {X 1}， 2
{0 X 1} {X 2} {X 1} ， 2
8 45
1 45
,
x3
1,
x 1, 1 x 2,
2 x 3, x 3.
【注】离散型随机变量分布函数的三个特征：
①正概率点为分段点；②每段上的函数值为概率累加（开始
为零）；
18
③ 每个区间为左闭右开（或为了保证右连续，等号给 ）。
y
4
1
5
8
45
1
45
o 1 2 3x
F ( x)
0.8 1
定义 1.1 设随机试验 E 的样本空间为 ，对每一个样本点
，均有一个惟一确定的实数 X 与之对应，就称 X 为一
个定义在 上的随机变量，也记为 X X () ．通常随机变 量用 X ,Y , , 等符号表示．
由定义 1.1 知随机变量 X 为样本点 的函数．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
2 0
x 3
2 3 6 12
❖ 思考：下列可以作为分布函数的选项为
0, x 0,
A.
F
(
x)
4e
4
x
,
x
0.
0,
x 0,
B.
F
(
x
)
1 3
,
0 x 1,
•
1,
x 1.
0,
C.
F
(
x
)
1
2
x
,
1,
0, D. F ( x) sin x,
1,
x 0,
0 x 1,
例 2.3 设随机变量 X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p) ，若 P{X 1} 5 ， 9
求 P{Y 1}．
解 由于 P{X 0} 1 P{X 1} ，及 P{X 1} 5 知， 9
P{X
0} C20 p0 (1
p)2
(1
p)2
4 9
，
所以 p 1 ，从而 3
P{Y 1} P{Y 0} P{Y 1}
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x)
在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
11
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
x ．⑴求常数 a, b ；⑵计算概率 P1 X 0 和
P{X 3} ． 解 ⑴ 由 分 布 函 数 的 性 质 1.2 知 F () a b 0 ，
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减，
即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ． 性质 1.4 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 处处右连续，
即对于任意给定的 一点
x0
，
F
( x0
0)
lim
x xo
F
(x)
F
( x09)
F () a b 1，解得 a 1 , b 1 ．
2
⑵
2 由⑴知， F (x)
1
1
2 arctan x ， x ，故
P1
X
0
2
F(0) F(1)
1
[1
1
(
)]
1
，
2 2 4 4
P X 3 1 F( 3 0)
1 lim (1 1 arctan x) 1 (1 1 ) 1 ．
等均表示随机事件．
5
二、分布函数
定义 1.2 设 X 为一随机变量，对于任意实数 x ，称函数
PX x为 X 的分布函数．记为 F(x) ．即随机变量 X 的分布函数为 F(x) PX x, x ．
【注意】（1）不论随机变量 X 如何取值，其分布函数 F(x) 的 定义域总是 (, ) ．
10 9 8 45
5 45 45
1 2 3
即
X
~
4 5
8 45
1 45
．
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续解 利用 F(x) PX x pi , x ，可求得 xi x
X 的分布函数为
0,
4
,
F
(
x)
5 4 5
8 45
,
x 1, 0,
1 x 2,
4
,
2
x
3,
5 44
,
45
4 5
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有
PX x0 F(x0) F(x0 0) ．
7
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
PX a 1 F(a) ， PX a 1 F(a 0) ，
PX b F(b 0) ，
Pa X b F(b 0) F(a)
，
Pa X b F(b) F(a 0) ，
【注 1】 Cnk pk (1 p)nk 0 ， k 0,1, 2, , n ，且
n
Cnk pk (1 p)nk [ p (1 p)]n 1 ，
k 0
故 P{X k} Cnk pk (1 p)nk 满足分布律的性质． 【注 2】又 Cnk pk (1 p)nk 为二项式[ p (1 p)]n 的展开式 中的各项，因此称 X 服从二项分布．
努里试验．故由题意知， X ~ B(4, 0.6) ，即
P{X k} C4k 0.6k 0.44k ， k 0,1, 2,3, 4 ． 可具体计算得， P{X 0} C40 0.60 0.44 0.0256 ，
P{X 1} C41 0.61 0.43 0.1536 ，
P{X k}
x
1 2 3xBiblioteka 例 2.2已知随机变量
X
的分布律为 P{X
i}
k 2i
，
i 1, 2, ，试求常数 k ，以及 X 取奇数的概率．
1
解
由
i 1
P{X
i}
i 1
k 2i
k
2 1 1
k
，以及分布
2
律的性质可得 k 1．由上可知， X 的分布律为
P{X i} 1 ， i 1, 2, ， 2i
Pa X b F(b 0) F(a 0)
8
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
由贝努里概率模型，在n 重贝努里试验中，记 X 表 示事件 A 发生的次数，则 X ~ B(n, p) ，其中 p P(A) ， 因此二项分布也称为贝努里分布．
设 X ~ B(n, p) ，当 n 1 时，可得 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ，
故 0 1两点分布为二项分布中 n 1 时的特例．
．
例 1.1 在抛一枚硬币的随机试验中，记事件 A 表示硬币正面向
上，令
X
0, 1,
若A不发生, 若A发生,
求随机变量 X 的分布函数 F(x) ，并讨论 F(x) 的连续性．
解 由题意知 P(A)=P(A)= 1 ． 2
当 x 0 时， F(x) PX x P() 0 ；
当 0 x 1时，
产品合格与不合格；某课程的考试及格与不及格；某事件 A 发
生与不发生等许多现象都能够刻划成0 1 两点分布，本章例
1.1 中，随机变量 X ~ B(1, 1) ． 2
2．二项分布（贝努里（Bernoulli）分布） 定义 2.4 如果随机变量 X 的分布律为
P{X k} Cnk pk (1 p)nk ， k 0,1, 2, , n ， 就称 X 服从二项分布，记为 X ~ B(n, p) ，其中 n 为正整数， 0 p 1．
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大．
解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
分布律和分布函数 F(x) ．
解 由题意知 X 的可能取值为1, 2,3 ，因此 X 为离散型随机
变量．由乘法公式和古典概型概率计算公式得 X 的分布律为
P{X 1} 8 4 ， P{X 2} 2 8 8 ，
10 5
10 9 45
P{X 3} 2 1 8 1 或 1 4 8 1 ，
（ 2）分布 函数 F(x) 的直 观意义为 随机变量 X 落 在区间 (, x]上的概率．
6
定理 1.1 对于任意实数 a, b (a b) ，则有 P{a X b} F(b) F(a) ．
证明：事实上，由
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
x 1. x 0,
0 x / 2, / 2 x.
§2 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 若随机变量 X 的取值为有限个或可列无限多个，就称 X 为离散型随机变量．
定 义 2.2 设 X 为 离 散型 随机 变量 ，其所 有可 能的 取值为 x1, x2 , , xi , ，且
解 设 X 表示1000个产品中次品的个数，则 X ~ B(1000,0.005) ．
所以1000个产品中恰有10 个次品的概率为
i
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L pi ． xi L
（即找点求概率之和）
结论 2.2 X 的分布函数
F(x) PX x pi , x ．
16
xi x
例 2.1 设盒子中有 8 个正品和 2 个次品，现依次不放回地将其
逐个取出，记 X 为首次取到正品时所取产品的个数，试求 X 的
{X 1} {X 0} ． 2
进而有 P{X 1} 1 , P{X 2} 1, P{X 1} 0 等等．
2
2
4
一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}
表示一个随机事件．
特别地，如果 a, b 为实数，则 {a X b}, {X b}, {X a}, {X a}, {X a}
就称 X 服从 0 1两点分布，记为 X ~ B(1, p) ．
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
在现实生活中，0 1两点分布有着广泛的应用．例如某
F(x) PX x P{X 0} P(A) 1 ；
2
当 x 1时， F(x) PX x P() 1．
10
续解 综上可得 X 的分布函数为
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0)， (0,1) 和 (1, ) 内均连
例
1.1
中， X
0, 1,
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
．
2 2
15
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
则有 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
pi 1 ．