2023年中考数学二轮专题复习课件 分类讨论

论，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，求得
a的值，即可得抛物线的解析式．
解
∵B(3,0)，C(0,3a)，D(2，－a)，
∴BC2＝32＋(3a)2＝9＋9a2，CD2＝22＋(3a＋a)2＝4＋16a2，
BD2＝(3－2)2＋a2＝1＋a2，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD＝90°
感悟提高
有遇到位置不确定的问题时，常常以某条线或者某个特殊位置为分
界点进行分类讨论．
难度值
0.5
练习
已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，
与边OA相切的切点记为点C．
（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧CD的长；
（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4
∴A(1,0)，B(3,0)，∴AB＝3－1＝2，
∴S△ABD＝ 1 ×2×a＝a，
2
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD的解析式
为y＝kx＋b，
(3)当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
点拨
由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和
CD2，分∠CBD＝90°和∠CDB＝90°两种情况讨
∴BQ=OC=6时，直线AB与⊙O相切．
①当AB运动到如图1所示的位置，
BQ=PQ﹣PB=8﹣4t，
∵BQ=6，
∴8﹣4t=6，
∴t=0.5（s）
②当AB运动到如图2所示的位置，
BQ=PB﹣PQ=4t﹣8，
∵BQ=6，
∴4t﹣8=6，
∴t=3.5（s）
∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切．
∴D(2，－a)．
(2)设S△BCD∶S△ABD＝k，求k的值；
点拨
令y＝0可求得A、B的坐标，结合D点坐标
可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，
由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的
解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出
△BCD的面积，进而求得k的值；
解
在y＝a(x－1)(x－3)中，令y＝0，得x＝1或x＝3，
∵点A的运动速度为5cm/s，点B的运动速度为4cm/s，
运动时间为t(s) ∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PQ=8

∴

=


=
5
4
∵∠P=∠P ∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PQO=90°
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，
∴四边形OCBQ为矩形．∴BQ=OC．
∵⊙O的半径为6，
或∠CDB＝90°两种情况．
∵抛物线开口向上，∴a>0.
①当∠CBD＝90°时，有BC2＋BD2＝CD2，
即(9＋9a2)＋(1＋a2)＝4＋16a2，
解得：a＝－1(不合题意，舍去)或a＝1，
此时抛物线解析式为y＝x2－4x＋3；
②当∠CDB＝90°时，有CD2＋BD2＝BC2，
即(4＋16a2)＋(1＋a2)＝9＋9a2，
2
m的值为( D )
A. 0
点拨
B. 0或2
C. 2或－2
D. 0，2或－2
分为两种情况讨论：若m≠0时，函数是二次函数；若m＝0时，函
数是一次函数．
解
分为两种情况讨论：
①当函数是二次函数时，
1
2
∵函数y＝mx ＋(m＋2)x＋
m＋1的图象与x轴只有一个交点，
2
1

2

∴Δ＝(m＋2) －4m m＋1＝0且m≠0，
∴a(a－b)＞－2，
∵a－b＝1，
∴a＞－2.
a
a
①当－2＜a＜0,1≤x≤2时，函数y＝ 的最大值是y＝ ，最小值是y＝a，
2
x
∵最大值与最小值之差是1，
∴ a －a＝1，解得：a＝－2，不合题意，舍去；
2
试题分析
k
本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数y＝x (k≠0)，
当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的
长．
cm，求OC的
解
（1）连接DP、CP，
∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与
边OA相切的切点记为点C．
∴∠DPC=120°，
120×3
∴劣弧CD的长为：
180
= 2
解
（2） ①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做
PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，
点拨
(1) PN与⊙O相切于点Q，OQ⊥PN，即∠OQP=90°，在
直角△OPQ中根据勾股定理就可以求出PQ的值；
解
（1）连接OQ，
∵PN与⊙O相切于点Q，
∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°
∵OP=10，OQ=6，
∴PQ= − =
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
解
过点O作OC⊥AB，垂足为C，
专题 分类讨论
分类讨论在解题策略上就是分而治之，各个击破．
一般分类讨论的几种情况：
①由分类定义的概念必须引起的讨论；
②计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论；
③相对位置不确定，必须分类讨论；
④含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得，必
须分类讨论．
难度值
0.65
例题1
1
2
若函数y＝mx ＋(m＋2)x＋ m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么
点N，过点P作PM⊥EF于点M，
由①可知，PN=2cm，
∴NC=PC﹣PN=1cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1×
3
3
=
3
cm
3
∵EF=4 2cm，∴EM=2 2cm，
在Rt△EPM中，PM= 32 − （2 2）2 =1cm
∵∠AOB=60°∴∠PNM=30°
∴PN=2PM=2cm
∴NC=PN+PC=5cm
∴在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5×
3
3
=
5 3
cm
3
解
（2）如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于
2

解得：m＝±2.
②当函数是一次函数时，m＝0，
此时函数解析式是y＝2x＋1，和x轴只有一个交点．
故答案为：D.
感悟提高
在中学数学中，有些概念是分类定义的，如本题的函数y＝mx2＋(m＋
1
2)x＋ m＋1中m未确定，若m≠0，函数是二次函数，若m＝0，函数是一
2
次函数，解题时一定要分类讨论．
难度值
增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一
象限内y随x的增大而增大．
感悟提高
一Fra Baidu bibliotek地，当题目中涉及分类给出的公式、性质、定理时，都要进行
分类讨论．
难度值
0.55
例题3
如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半
轴交于点C，其顶点为D.
(1)写出C，D两点的坐标(用含a的式子表示)；
上的图形，此时不要忘记进行分类讨论．
难度值
0.5
例题4
如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，OP=10cm，射
线PN与⊙O相切于点Q．A，B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速
度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运
动时间为t(s)．
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
试题分析
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三
角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．
在(1)中注意抛物线顶点式的应用；
在(2)中用a表示出两个三角形的面积是解题的关键；
在(3)中由勾股定理得到关于a的方程是解题的关键，注意分两种情况讨
论．
感悟提高
有些几何题，尤其是未画出图形的几何题，经常出现两种或两种以
(2)设S△BCD∶S△ABD＝k，求k的值；
(3)当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
点拨
令x＝0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
解
在y＝a(x－1)(x－3)，令x＝0，得y＝3a，
∴C(0,3a)，
∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a，
0.60
例题2
a
2
已知实数a，b满足a－b＝1，a －ab＋2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝
x
(a≠0)的最大值与最小值之差是1，求a的值．
点拨
根据条件a－b＝1，a2－ab＋2＞0可确定a的取值范围，然后分
情况进行讨论，再分别根据最大值与最小值之差是1，计算出a的值．
解
∵a2－ab＋2＞0，
∴a2－ab＞－2，