《锐角三角函数》直角三角形的边角关系PPT(第2课时)教学课件
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tanA =tanB
C
B
A
比一比
5）已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A =∠B,则tanA ＝tanB; (2)若tanA =tanB,则∠A＝∠B.
学以致用
5
6）已知tanA=
12
, AC=120米，
求：塔高BC的长度.
学以致用
在现实生活中，自行车是很重要的交通工具，小明骑自行车 上学要经过两段上坡路.
C
个性化作业
1.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所 给数据求出 tanC吗？
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知 点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度(结果精确到0.001).
A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角
A
┌ C
(1)若∠A=∠B,则sin A = sin B;
(2)若sin A=sin B,则∠A = ∠B.
随堂训练
5.如图, ∠C=90°，CD⊥AB.
sin B= ((—CB—CD))= ((—AA—CB)) = ((—AADC—)) .
➢ ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sin A=
.
➢ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA=
.
➢ 2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的
.
c
A
b
B
a ┌ C
课堂探究
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
第一章 直角三角形的边角关系
锐角三角函数
第2课时
学习目标
1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数— —正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的 关系.（重点） 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比， 能够用正弦、余弦进行简单的计算.（难点）
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边 的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
A
5
5
B
┌ 6D
C
本题没有直角三角形，你怎么办？ 老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
随堂训练
2.在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=20,
sin A 4 . 5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
A
提示:分别求出AB,AC.
随堂训练
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,sin A的值（ C ）
情境导入
哪个梯子更陡？你是怎样判断的？有几种方法？
想一想
➢
赵明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度却因身高原因不能直接测
量梯子顶端到墙脚的距离B1C1 ,而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说
明梯子AB1的倾斜程度.
源自文库
➢
你同意小亮的看法吗？
想一想
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 tanA越大 sinA越大 cosA越小
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大，梯子越陡; cosA越小，梯子越陡.
经典例题
例1 如图:在Rt△ABC中，∠B=900，AC=200，sinA=0.6。 求：BC的长。
(2)B .1C1和 B2C2有什么 ? 关系相等 A1C A2C
（3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
B1
B2 B3
A
C3
C2
C1
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。与三角形的大小没有关系。
要点归纳
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯 子越陡.
解:在Rt△ABC中,
sin A BC BC 0.6, AC 200
BC 2000.6 120.
分析: 根据锐角的正弦等于对边比斜边建立方程即可。
小组活动：请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.
经典例题
例2 如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos A 12 . 13
A
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cos A的值.
C
┌ DB
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得？
随堂训练
7.如图,根据图示数据求∠A的三角函数值.
B
∵在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3， AB 5.
sin A BC 3 , AB 5
cos A AC 4 , AB 5
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系 ? AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？
要点归纳
B
在Rt△ABC中,如果锐角A确定, 那么∠A的对边与邻边的比
随之确定, 这个比叫做
∠A的对边
∠A的正切. 记作:tanA
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
读？
A ∠A的邻边
C 思考 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
A
3 4┌
C
tan A BC 3 . AC 4
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
课堂小结
锐角三角函数定义:
tanA
A的对边 A的邻边
=
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B 斜边
∠A的对边 ┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
求:AB,sinB.
B
解:cosA AC 10 12. AB AB 13
AB 1013 65. 12 6
┐
C
10
A
sin
B
AC AB
10 65
12 13
.
6
注意这里cosA=sinB,你能说明其中的理由吗?
随堂训练
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sin B,cos B,tan B.
2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判 断，比值越大，梯越陡.
要点归纳
当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值也随之确定的，即： 这个比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
典型例题
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
新知讲解
正切也经常用来描述山坡的坡度.坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
记作cosA,即 cosA= A的邻边
B
A的斜边 斜边
锐角A的正弦、余弦、正切都
∠A的对边
是∠A的三角函数.
┌ A ∠A的邻边 C
知识讲解
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角 (注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的 正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,求该山坡的坡 度i
itan 603.
1005
i
坡角 α 100m
水平宽度
铅 60m 直
高 度 ┌
提个醒
应用中应该注意的几个问题:
➢ 1.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号； ➢ 2.tanA是一个比值(直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位) ➢ 3.tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）。 ➢ 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
由点C作坡面AB的高CD，你能求出tanβ吗？
谈收获
一、梯子倾斜度及判断 1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯子越陡. 2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，比值越大，梯子越陡.
二、正切 ∠A的正切：∠A的对边与邻边的比值. ∠A越大，tanA越大 ，梯子越陡.
A
B
∠A的邻边
∠A的对边
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在 直角三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等.
练一练
➢ 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡 而tanA就是铅直高度与水平宽度的比
铅
直
高
A
度
水平宽度
课堂探究
归纳：∠A越大，tanA越 大 ，梯子越陡 .
思考：tanA 的大小与直角三角形的大小有关系吗？
课堂探究
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
比一比
1）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,AB=13,tanA=( 12 )
5
12
比一比
2）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,BC=12,tanB=( 5 )
12
比一比
3）在Rt△ABC中∠B =90° AC=5,AB=3,tanC=( 3)
4
4
比一比
4）. 在等腰Rt△ABC 中,∠C =90°,请思考：tanA 和tanB 有什么关系？
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠A的对边与斜边的比、邻 边与斜边的比也随之确定.
A
B
斜
边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
知识讲解
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA=A的对边
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
1.1 锐角三角函数
第1课时
九年级下册
学习目标
1 理解锐角三角函数正切的意义，会求直角三角形中的锐角正切值.
经历探索直角三角形中边角关系的过程，发展学生数形结合的能力；通过有关正切值的
2 计算，发展学生的计算能力．
通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生
3 活的密切联系.
C
B
A
比一比
5）已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A =∠B,则tanA ＝tanB; (2)若tanA =tanB,则∠A＝∠B.
学以致用
5
6）已知tanA=
12
, AC=120米，
求：塔高BC的长度.
学以致用
在现实生活中，自行车是很重要的交通工具，小明骑自行车 上学要经过两段上坡路.
C
个性化作业
1.如图，△ABC是等腰三角形，你能根据图中所 给数据求出 tanC吗？
2.如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知 点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度(结果精确到0.001).
A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角
A
┌ C
(1)若∠A=∠B,则sin A = sin B;
(2)若sin A=sin B,则∠A = ∠B.
随堂训练
5.如图, ∠C=90°，CD⊥AB.
sin B= ((—CB—CD))= ((—AA—CB)) = ((—AADC—)) .
➢ ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，即sin A=
.
➢ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cosA=
.
➢ 2.锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的
.
c
A
b
B
a ┌ C
课堂探究
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
第一章 直角三角形的边角关系
锐角三角函数
第2课时
学习目标
1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数— —正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的 关系.（重点） 2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比， 能够用正弦、余弦进行简单的计算.（难点）
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边 的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
A
5
5
B
┌ 6D
C
本题没有直角三角形，你怎么办？ 老师提示:过点A作AD⊥BC于D.
随堂训练
2.在Rt△ABC中,∠C=90°, BC=20,
sin A 4 . 5
求:△ABC的周长.
B
┐
C
A
提示:分别求出AB,AC.
随堂训练
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,sin A的值（ C ）
情境导入
哪个梯子更陡？你是怎样判断的？有几种方法？
想一想
➢
赵明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度却因身高原因不能直接测
量梯子顶端到墙脚的距离B1C1 ,而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说
明梯子AB1的倾斜程度.
源自文库
➢
你同意小亮的看法吗？
想一想
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 tanA越大 sinA越大 cosA越小
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大，梯子越陡; cosA越小，梯子越陡.
经典例题
例1 如图:在Rt△ABC中，∠B=900，AC=200，sinA=0.6。 求：BC的长。
(2)B .1C1和 B2C2有什么 ? 关系相等 A1C A2C
（3）如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
B1
B2 B3
A
C3
C2
C1
∠A的大小确定, ∠A的对边与邻边的比值不变。与三角形的大小没有关系。
要点归纳
判断梯子是否更陡，有如下方法：
1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯 子越陡.
解:在Rt△ABC中,
sin A BC BC 0.6, AC 200
BC 2000.6 120.
分析: 根据锐角的正弦等于对边比斜边建立方程即可。
小组活动：请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.
经典例题
例2 如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos A 12 . 13
A
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cos A的值.
C
┌ DB
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得？
随堂训练
7.如图,根据图示数据求∠A的三角函数值.
B
∵在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3， AB 5.
sin A BC 3 , AB 5
cos A AC 4 , AB 5
(2) B1C1 和 B2C2 有什么关系 ? AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢？
要点归纳
B
在Rt△ABC中,如果锐角A确定, 那么∠A的对边与邻边的比
随之确定, 这个比叫做
∠A的对边
∠A的正切. 记作:tanA
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
读？
A ∠A的邻边
C 思考 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
A
3 4┌
C
tan A BC 3 . AC 4
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
课堂小结
锐角三角函数定义:
tanA
A的对边 A的邻边
=
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B 斜边
∠A的对边 ┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
求:AB,sinB.
B
解:cosA AC 10 12. AB AB 13
AB 1013 65. 12 6
┐
C
10
A
sin
B
AC AB
10 65
12 13
.
6
注意这里cosA=sinB,你能说明其中的理由吗?
随堂训练
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sin B,cos B,tan B.
2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判 断，比值越大，梯越陡.
要点归纳
当倾斜角确定时，它的对边与邻边的比值也随之确定的，即： 这个比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关.
典型例题
例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
新知讲解
正切也经常用来描述山坡的坡度.坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
高
倾斜角
度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水平宽度是如何变 化的？
铅
直
倾斜角
高 度
水平宽度
课堂探究
记作cosA,即 cosA= A的邻边
B
A的斜边 斜边
锐角A的正弦、余弦、正切都
∠A的对边
是∠A的三角函数.
┌ A ∠A的邻边 C
知识讲解
• 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角 (注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的 正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,求该山坡的坡 度i
itan 603.
1005
i
坡角 α 100m
水平宽度
铅 60m 直
高 度 ┌
提个醒
应用中应该注意的几个问题:
➢ 1.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号； ➢ 2.tanA是一个比值(直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位) ➢ 3.tanA是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角（注意构造直角三角形）。 ➢ 4.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
由点C作坡面AB的高CD，你能求出tanβ吗？
谈收获
一、梯子倾斜度及判断 1.可以利用倾斜角的大小比较，倾斜角越大，梯子越陡. 2.可以利用倾斜角的对边与邻边的比值大小来判断，比值越大，梯子越陡.
二、正切 ∠A的正切：∠A的对边与邻边的比值. ∠A越大，tanA越大 ，梯子越陡.
A
B
∠A的邻边
∠A的对边
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
铅 直 高 度 A
水平宽度d
h
课堂探究
梯子在上升变陡过程中，倾斜角、铅直高度、水 平宽度是如何变化的？
不防设定梯子的长度为l，注意h和d的变化
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且在 直角三角形中sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等,则这两个锐角相等.
练一练
➢ 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；
探索发现
倾斜角越大——梯子越陡 铅直高度与水平宽度的比越大——梯子越陡 而tanA就是铅直高度与水平宽度的比
铅
直
高
A
度
水平宽度
课堂探究
归纳：∠A越大，tanA越 大 ，梯子越陡 .
思考：tanA 的大小与直角三角形的大小有关系吗？
课堂探究
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ∵∠A=∠A ∠AC1B1=∠AC2B2 ∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
比一比
1）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,AB=13,tanA=( 12 )
5
12
比一比
2）在Rt△ABC中∠C =90°AC=5,BC=12,tanB=( 5 )
12
比一比
3）在Rt△ABC中∠B =90° AC=5,AB=3,tanC=( 3)
4
4
比一比
4）. 在等腰Rt△ABC 中,∠C =90°,请思考：tanA 和tanB 有什么关系？
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,
那么∠A的对边与斜边的比、邻 边与斜边的比也随之确定.
A
B
斜
边
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
知识讲解
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦, 记作sinA,即 sinA=A的对边
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
1.1 锐角三角函数
第1课时
九年级下册
学习目标
1 理解锐角三角函数正切的意义，会求直角三角形中的锐角正切值.
经历探索直角三角形中边角关系的过程，发展学生数形结合的能力；通过有关正切值的
2 计算，发展学生的计算能力．
通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生
3 活的密切联系.