广东省佛山市南海区南海中学2024届数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析

广东省佛山市南海区南海中学2024届数学高一第二学期期末调
研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知x ，y 是两个变量，下列四个散点图中，x ，y 虽负相关趋势的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（ ）
A ．中位数为14
B ．众数为13
C ．平均数为15
D ．方差为19
3．已知正实数x y 、满足22
4x y +=，则21x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
94
4．点()2,5P 关于直线0x y +=对称的点的坐标是（ ） A ．()5,2--
B ．()2,5-
C ．()5,2
D ．()2,5--
5．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2
B ．
C ．4
D ．12
6．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）
A ．若(0)()02
f f π
==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；
B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；
C ．若()02
f π
=，则函数()f x 为偶函数；
D ．当22
(0)()02
f f π
+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．
7．在△ABC 中，已知tan 2
A B
+＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
8．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U
A B =（ ）
A ．{}1-
B ．{}0,1
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-
9．已知等比数列{a n }中，a 3•a 13＝20，a 6＝4，则a 10的值是（ ） A ．16
B ．14
C ．6
D ．5
10．在ABC 中，cos cos a b
A B c
++=
，则ABC 是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
12．已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且
1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234
1111
x x x x +
++=__________．
13．函数2()2sin sin 2f x x x =+的最小正周期为_______. 14．若
三点共线则的值为________.
15．．已知(1,3),,a OA a b OB a b =-=-=+，若AOB ∆是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为 ．
16．将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱,点B ､C 分别是
圆O 和圆1O 上的点, AB 长为3π
,1AC 长为23
π,且B 与C 在平面11AAO O 的同侧,则
1OO 与BC 所成角的大小为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．各项均不相等的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知540S =，且137,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令1
4
1n n n b a a +=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．某公司为了提高工效，需分析该公司的产量x(台)与所用时间y(小时)之间的关系，为此做了四次统计，所得数据如下： 产品台数x(台)
2
3
4
5
所用时间y(小时) 2.5
3 4
4.5
()1求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+ ； ()2预测生产10台产品需要多少小时？
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，若,E F 分别为,PC BD 的中点．
（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ．
20．已知函数()()()()4f x x a x a R =--∈ (1)解关于x 的不等式()0f x >； (2)若1a =，令()()
()0f x g x x x
=
>，求函数()g x 的最小值. 21．已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边分别是a b c a c >，，，，且
2sin c A =．
（1）求角C 的大小；
（2）若4c ABC =，ABC ∆的周长．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
由图可知C 选项中的散点图描述了y 随着x 的增加而减小的变化趋势， 故选C 2、D 【解题分析】
从题设中所提供的茎叶图可知六个数分别是8,13,13,15,20,21，所以其中位数是
1315142+=，众数是13，平均数81313152021
156x +++++==，方差是4944025365963
s +++++==，应选答案D
． 3、B 【解题分析】
由=
【题目详解】
=
22
15
22
x y
++
≤=，当且仅当22
1
x y
=+
，即
x y
==时，等号成立．
∴所求最大值为
5
2
．
故选：B.
【题目点拨】
本题考查用基本不等式求最值，注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等．
4、A
【解题分析】
设点P关于直线0
x y
+=对称的点为P'，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.
【题目详解】
由题意，设点()
2,5
P关于直线0
x y
+=对称的点为
11
(,)
P x y
'，
则
1
1
11
5
(1)1
2
25
22
y
x
x y
-
⎧
⋅-=-
⎪-
⎪
⎨
++
⎪+=
⎪⎩
，解得11
5,2
x y
=-=-，
即点()
2,5
P关于直线0
x y
+=对称的点为(5,2)
P'--，故选A.
【题目点拨】
本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
5、A
【解题分析】
由||3
a b
-=，即2222
||()29
a b a b a a b b
-=-=-⋅+=，
所以
2
22
2298
9
222
a b a
a b
a b
+--
--
⋅===，
由向量a在向量b方向上的投影为2-，则
28
2
2
a
a b
b
-
⋅
==-，
即24
a=，所以2
a=，故选A．
6、D 【解题分析】
利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式.
对于A 选项，将(0)0,()02
f f π
==化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断
出A 选项为真命题.
对于B 选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出B 选项为真命题.
对于C 选项，将()02
f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出C 选项为真命题.
对于D 选项，根据22
(0)()02
f f π
+≠、12()()0f x f x ==，求得()f x 的零点的表达
式，由此求得12x x k π-= （k Z ∈），进而判断出D 选项为假命题. 【题目详解】
()()()cos cos sin sin cos cos sin sin f x m x x n x x ααββ=-+-()()cos cos cos sin sin sin m n x m n x αβαβ=+-+.
不妨设 11221122()(cos cos )cos (sin sin )sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.
若(0)0f =，则得 1122cos cos 0k k αα+=；若()02
f π
=，则得
1122sin sin 0k k αα+=．
于是当(0)()02
f f π
==时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；
当(0)0f =时，1122()(sin sin )sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题B 是真命题； 当()02
f π=时，1122()(cos cos )cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题C 是真命题；
当22
(0)()02
f f π
+≠时，令()0f x =，则
11221122(cos cos )cos (sin sin )sin 0k k x k k x αααα+-+=，
上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠． 将该方程的两边同除以cos x 得
11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=
+，令1122
1122
cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），
则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．
不妨取 11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈）， 则1212()x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题D 是假命题． 故选：D 【题目点拨】
本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题. 7、C 【解题分析】 解：因为
2
tan
=sin cot =sin 2sin cos 2222
2sin 1=0()sin =
22222A B C C C C C C C C cos C π+∴=⎛⎫
∴=∴= ⎪⎝
⎭或者舍去
选C 8、A 【解题分析】
本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【题目详解】
={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-
【题目点拨】
易于理解集补集的概念、交集概念有误. 9、D 【解题分析】
用等比数列的性质求解． 【题目详解】
∵{}n a 是等比数列，∴31361020a a a a ==， ∴1020
54
a ==． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题．
在等比数列{}n a 中，正整数,,,m n l k 满足m n k l +=+，则m n k l a a a a =，特别地若
2m n k +=，则2
m n k a a a =．
10、D 【解题分析】 先由
sin sin sin a b A B c C
++=可得sin sin cos cos sin A B
A B C ++=，然后利用
()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++与三角函数的和差公式可推出cos 0C =，从
而得到ABC 是直角三角形 【题目详解】
因为cos cos a b A B c ++=
，
sin sin sin a b A B
c C ++= 所以sin sin cos cos sin A B
A B C
++=
所以sin cos sin cos sin sin C A C B A B +=+ 因为A B C π++=
所以()()sin sin sin sin A B B C A C +=+++
即()()sin cos sin cos sin sin C A C B B C A C +=+++
所以sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin C A C B B C B C A C A C +=+++ 所以sin cos sin cos 0B C A C += 因为sin sin 0B A +≠，所以cos 0C = 因为()0,C π∈，所以2
C π
=，即ABC 是直角三角形
故选：D 【题目点拨】
要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：①角化边：把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形形状，②边化角：把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
6
【解题分析】
以A,B,C 为圆心,以1为半径作圆,与△ABC 交出三个扇形,当P 落在其内时符合要求,
∴P==.
12、2
【解题分析】 不妨设a ＞1，
则令f （x ）=|log a |x-1||=b ＞0， 则log a |x-1|=b 或log a |x-1|=-b ；
故x 1=-a b +1，x 2=-a -b +1，x 3=a -b +1，x 4=a b +1，
故
222214231234112112111122,1111b b b b
x x a x x a x x x x a a --+=+=∴+++=+---- 22222 2.11
b
b b a a a =+=-- 故答案为2
点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性. 13、π 【解题分析】
将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果. 【题目详解】
()π1cos2sin212sin 24f x x x x ⎛
⎫=-+=+- ⎪⎝⎭
，2ππ2T ∴==.
【题目点拨】
本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大. 14、
【解题分析】
根据三点共线与斜率的关系即可得出． 【题目详解】
k AB 1，k AC ．
∵三点共线，
∴﹣1，解得m ＝．
故答案为
．
【题目点拨】
本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15、4 【解题分析】
由(1,3a =-得2a =；
由AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA OB ⊥，2OA OB ==. 由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=.又,OA a b OB a b =-=+，则()()
0a b a b -⋅+=，所以
224a b ==
又OA OB =，则22
||OA OB =，则()()2
2
a b
a b -=+，所以
222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅
所以0a b ⋅=； 则2222OA OB a b ==
+=
则AOB ∆的面积为11
2222422
S OA OB =
⋅=⋅= 16、
4
π
【解题分析】
画出几何体示意图，将1OO 平移至于直线BC 相交，在三角形中求解角度. 【题目详解】
根据题意，过B 点作BH //1OO 交弧1
AC 于点H ，作图如下：
因为BH //1OO ，故CBH ∠即为所求异面直线的夹角，
在CBH 中，1BH =， 在1O HC 中，因为1111,1,3O H O C HO C π
==∠=，故
该三角形为等边三角形，即：1HC =，
在CBH 中，1BH =，1HC =，且母线BH 垂直于底面，故：
1HC tan CBH BH ∠==，又异面直线夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦
， 故4CBH π
∠=， 故答案为：4
π. 【题目点拨】
本题考查异面直线的夹角求解，一般解决方法为平移至直线相交，在三角形中求角.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）22n a n =+；（2）1122
n T n n =
-++ 【解题分析】
（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得1,a d ，则可得通项公式. （2）根据（1）的结论可得n b ，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【题目详解】
（1）因为{}n a 各项均不相等，所以公差d 0≠
由等差数列通项公式312a a d =+
且1532a a a +=，716a a d =+
()
155355402a a S a +===所以38a =，
又137,,a a a 成等比数列，所以2317a a a =⋅，
则()()211126a d a a d +=⋅+，化简得12a d =，
所以3112248a a d a d =+===
即14,2a d ==
可得()42122n a n n =+-=+
即22n a n =+
（2）由（1）可得()()412224n b n n =
+++ 化简可得11112
n b n n =-+++ 由231...n n T b b b b =++++
11111111++1233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以1122
n T n n =-++ 【题目点拨】
本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
18、（1）y 0.7x 1.05=+（2）8.05小时
【解题分析】
()1求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，
求出横标的平方和，做出系数ˆb
和ˆa 的值，写出线性回归方程． ()2将x 10=代入回归直线方程，可得结论．
【题目详解】
解：()1由题意，ˆb 52.54 3.5 3.50.7544 3.52
-⨯⨯==-⨯， ˆa
3.50.7 3.5 1.05=-⨯=， 于是回归方程ˆy
0.7x 1.05=+； ()2由题意，x 10=时，
ˆy0.710 1.058.05
=⨯+=
答：根据回归方程，加工能力10个零件，大约需要8.05小时．
【题目点拨】
本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题分析】
（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，只需证明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先证明线面垂直，CD⊥平面PAD，再证明面面垂直，平面PAD⊥平面PDC 即可．
【题目详解】
（Ⅰ）证明：连结AC，在正方形ABCD中，F为BD中点，正方形对角线互相平分，∴F为AC中点，
又E是PC中点，
在△CPA中，EF∥PA，且PA⊆平面PAD，
EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
CD⊂平面ABCD∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC
【题目点拨】
本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理，以及平面与平面垂直的判定定理，要求熟练掌握相关的判定定理．
-
20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）1
【解题分析】
(1)讨论a 的范围，分情况得的三个答案.
(2) 1a =时，写出()()()0f x g x x x =
>表达式，利用均值不等式得到最小值. 【题目详解】
(1)
①当4a >时，不等式()0f x >的解集为{}4x x a x ><或，
②当4a <时，不等式()0f x >的解集为{}4x x x a ><或，
③当4a =时, 不等式()0f x >的解集为{}4x x ≠
(2)若1a =时，令()
()()21454x x x x g x x x ---+==4()551x x =+-≥=-（当且仅当4x x
=，即2x =时取等号）. 故函数()g x 的最小值为1-.
【题目点拨】
本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.
21、 (1) 60C ∠=°； (2) 4
【解题分析】
（1）通过正弦定理得2sin sin C A A =，进而求出sin C ， 再根据a c >，进而求得C ∠的大小；
（2）由正弦定理中的三角形面积公式求出4ab =， 再根据余弦定理，求得
a b += 进而求得ABC ∆的周长．
【题目详解】
（1）由题意知2sin c A =，由正弦定理得2sin sin C A A =，
又由(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin C =， 又因为a c >，则A C ∠>∠，所以60C ∠=°．
（2）由三角形的面积公式，可得11sin 222
ABC S ab C ab ==⨯=4ab =， 又因为22222241cos 222
a b c a b C ab ab +-+-===，
解得2220a b +=，即()228a b +=，所以a b +=
所以ABC ∆的周长为4a b c ++=
【题目点拨】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．。