高中数学必修一高中数学第章(第课时)含有绝对值的不等式(一)公开课教案课件课时训练练习教案课件

课 题：含有绝对值的不等式（1）
教学目的：
1．理解含有绝对值的不等式的性质；
2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；
4．认识不等式证法的多样性、灵活性
教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用
教学难点：对性质的理解、常见证明技巧
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题
我们知道，当a ＞0时，
|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ,
|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a
根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质
二、讲解新课：
定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-
证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭
⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ①
又∵a =a +b -b |-b |=|b |
由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ②
综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-
注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-
2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”
推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++
推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-
证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--
即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-
三、讲解范例：
例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9
ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |
∵|x |＜
3ε，|y |＜6ε,|z |＜9
ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε
说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备
例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||
a d d c c
b b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>a
d a c c b b a ∴,||2||2||||2||||c
a c
b b a
c b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||a
c a
d d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a a
c c a ③ 由①，②，③式，得
4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++a
c c a a c c a a
d d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式
及不等式的性质，在证法上采用的是综合法
例3 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|ab
b a ++＜1 证明：|1|ab b a ++＜122
)
1()(ab b a ++⇔＜1 .
0)1)(1(0
12122222222
222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a 由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立，所以 |1|ab
b a ++＜1 说明：此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性
例4 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2
证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2
当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2
∴|a +b |+|a -b |<2
例5 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<- 证法一：1111|11|
|)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f
|||||)(||||))((|1
1|
|222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-= |||
||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤ 证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，
f OB =||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得
|||)()(|b a b f a f -<-
四、课堂练习：
已知：|x －1|≤1,
求证：（1）|2x ＋3|≤7; (2)|x 2－1|≤3
证明：（1）∵|2x ＋3|=|2(x －1)＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7
(2)|x 2－1|=|(x ＋1)(x －1)|=|(x －1)[(x －1)＋2]|
≤|x －1||(x －1)＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=3
五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性
六、课后作业： 1:
(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;
(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε;
(3)已知|h |<c ε, c <|x | (c >0,ε>0),求证:|x
h |<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:
|ab |=|a |·|b |;|a n |=|a |n ,|b a |=b
a 等证明:(1)证法1:∵-|a |≤a ≤|a |,-|
b |≤b ≤|b |
∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b |
证法2:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)
=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立故(|a |+|b |)2≥|a +b |2
又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0，所以|a |+|b |≥|a +b |, 即|a +b |≤|a |+|b |
(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)，∴0≤|hk |＝|h |·|k |<ε·ε=ε
(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε,∴c h x 11<⋅·c ε,即|x
h |<ε 2:|x +
x
1|≥2(x ≠0) 分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1| 证法一:∵x 与x 1同号,∴|x +x
1|=|x |+x 1
∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2x
x 1⋅=2,即|x +x 1|≥2 证法二:当x >0时,x +x
1≥2x x 1⋅=2 当x <0时,-x >0,有
-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-x
x x x x ∴x ∈R 且x ≠0时有x +
x 1≤-2,或x +x 1≥2 即|x +x
1|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x +x 1|≤|x |+x 1,又|x |+x 1≥2x
x 1⋅=2,所以|x +x 1|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3:|A-a |<2ε,|B-b |<2
ε,求证: (1)|(A +B )-(a +b )|<ε；(2)|(A -B )-(a -b )|<ε
分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会证明:因为|A -a |<2ε,|B -b 2
所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<
2ε+2ε=ε 即|(A +B )-(a +b )|<ε
(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2
ε=ε 即|(A -B )-(a -b )|<ε
方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握
七、板书设计（略）
八、课后记：
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。

”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。

（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。

学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。

”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？
甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？
齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？
主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？
答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？
答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。

我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。

我还有新任务先走了，同学们再见！
水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！
主持人：你们还有发言的吗？
答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类
自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！
花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！
水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？
水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！
主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！
4.主持人：大家欢迎老师讲话！
同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。

水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：
此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”
主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开，
煮饭和洗衣，都要请它来。

”
主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”
一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。

听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”
主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。

”
甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》
竹板一敲来说话，水的用处真叫大；
洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，
煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；
鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；
采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？
甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？
（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。

（电话内容略写）
（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？
主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》
大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。

学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。

”
旁白：“那又是谁家的呢？”
主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？。