高等数学 -重 积 分

4
求曲边梯形面积的解题步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ]
窄曲边梯形面积
得
y
Ai f (i )xi (xi xi xi1 )

n
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
引例1中曲顶柱体体积:
13
关于二重积分定义的几点说明:
1、二重积分的值与D域的分法及 k 上 k , k
的取法无关。
2、二重积分是个极限值，是个数值。其大小只与
f x, y 及D有关而与积分变量的记号无关。
3、d 对应和式中的 i , 对D的分割是任意的，若用
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
21
2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
I1 yx3 d ,
D
的大小顺序为 ( D )
( A) I1 I2 I3;
I3
y
1 2
x
3
d
D
(B) I2 I1 I3 ;
(C) I3 I2 I1 ; (D) I3 I1 I2 .
平行于坐标轴的直线段来划分D ,那么除了靠边的一些
小区域外，绝大部分的小区域都是矩形的，由于
i 0, 靠边的小区域不作计较。
14
二重积分的几何意义
(1)z f (x, y) 0
zz f ( x, y)
V f ( x, y)d
D
(2)z f (x, y) 0
z
o
f (x, y)d V
3) 近似和. A Ai f (i )xi
4) 取极限. i1
i1
o
a
x1
n
n
A
lim
0
i
1
Ai
lim
0
i1
f
(i
)xi
xi1 xi
i
5
一、引例
1.曲顶柱体的体积
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
＝4 为D的面积 D
36 (x2 4 y2 9) d 100
26
D
例4 不作计算，估计 I e( x2 y2 )d 的值，
D
其中 D是椭圆闭区域：
x2 a2
y2 b2
1
(0 b a).
解 区域 D 的面积 ab
在D上 0 x2 y2 a2,
1 e0 ex2 y2 ea2 ,
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
1 d d
D
D
17
5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : 0 x 1
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
D o 1x
二重积分不存在 .
16
三、二重积分的性质
（共8个）
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
6
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个
小曲顶柱体
f (k , k )
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2, , n)
f (0,0) 9
在D的边界上
x2 y2 4 0 y2 4
f x, y x2 y2 9 3 y2 13 3 y2 13 f x, y 25
M max9,13,25 25
m min9,13,25 9
9 f x, y 25 9 (x2 4 y2 9) d 25
由性质 6 知 e d ( x2 y2 ) ea2 ,
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2 .
D
27
作业
习题册第九章练习一
28
高等数学
第十二讲
第十章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
2
第一节
第十章
二重积分的概念与性质
一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质
3
问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
证: 由性质6 可知,
m
1
D
f
(x,
y) d
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
使
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y) d
因此
此性质的几何意义是：总可以在D内找到一点
使得以D为底
为曲顶的曲顶柱体的体积等于以
D为底，f ( , ) 为高的平顶柱体体积。
19
8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. （二重积分的估值定理） 设
D 的面积为 ,
md f x, yd M d
D
D
D
则有
m D f (x, y) d M
18
7.(二重积分的中值定理)
在闭区域D上
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
使
D f (x, y)d f ( , )
D (x y) d x d y 0 20
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
提示:
因 0 < y <1, 故
y2
y
1
y2
;
又因 x3 0, 故在D上有
D
y
1 2
x3
y x3
y2x3
y 1
ox
22
3、 I (x2 4 y2 9) d D : x2 y2 4
解：
D
先求
f
x, y
x2
4 y2
9
在D上的最值
fx 2x fy 8y 令 fx 0 fy 0
得驻点： x 0 y 0
y
(1) f (x, y) f (x, y), 则
D1
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
oD x
(2) f (x, y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D
x
(3)z f (x, y)在D上变号
o
y xD
y
y z f (x, y) 0
f (x, y)d 等于xoy面 上方的体积－下方的体积。
D
15
二重积分存在定理: (证明略)
定理1. 若函数 在D上可积.
在有界闭区域 D上连续, 则
定理2. 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
7
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1,P2 k
令
max 1k n
( k )
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
8
二、二重积分的定义及可积性
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域
被积函数 面积元素
12
如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域D , 这时