2018-2019学年福建省漳州市九年级(上)期末数学试卷(解析版) (1)

2018-2019学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）
1．方程x（x﹣1）＝0的根是（）
A．0B．1C．0或1D．无解
2．用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3
3．下列选项中，矩形具有的性质是（）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
4．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的长是（）
A．4B．5C．6D．7
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
6．如图，过反比例函数y＝（x＜0）图象上的一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S
＝2，
△AOB 则k的值是（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
7．抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
8．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O，AB＝4，AC＝3，下列结论正确的是（）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
9．若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△
BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.请将答案填入答题卡的相应横线上）
11．若x＝1是方程x2+kx﹣4＝0的一个根，则k的值是．
12．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是．
13．若＝，则＝．
14．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放
大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．
15．函数y＝﹣x2+1，当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值是．
16．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴负半
轴于点E，反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象过点A，则△BEC的面积是．
三、解答题（共9题，满分86分.请在答题卡的相应位置作答）
17．（8分）用配方法解方程：2x2+4x﹣1＝0．
18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．
19．（8分）如图，已知A（m，2），B（2，n）是一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝（k ≠0）图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式﹣x+1＜的解集．
20．（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．
要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；
②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．
21．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．
22．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）观察上表可求得m的值为；
（2）试求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．23．（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元
时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，
（1）根据题意，填表：
（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？24．（12分）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形；
（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．
25．（14分）已知：抛物线y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+2（m≠0）．
（1）求证：抛物线与x轴有交点；
（2）若抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的右侧，且x1+2x2＝1．
①求m的值；
②点P在抛物线上，点G（n，﹣n﹣），求PG的最小值．
2018-2019学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.每小题只有一个正确的选项）
1．方程x（x﹣1）＝0的根是（）
A．0B．1C．0或1D．无解
【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：x＝0或x﹣1＝0，解此两个一次方程即可．
【解答】解：∵x（x﹣1）＝0
∴x＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点评】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的．
2．用配方法解一元二次方程x2+4x+1＝0，下列变形正确的是（）
A．（x﹣2）2﹣3＝0B．（x+4）2＝15C．（x+2）2＝15D．（x+2）2＝3
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2+4x+1＝0，
x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝﹣1+4，
（x+2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
3．下列选项中，矩形具有的性质是（）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【分析】根据矩形的性质可判断．
【解答】解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，
∴选项C正确
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的长是（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】已知直线l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理，可得到一个含有EF与已知线段的比例式，从而可求得EF的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝4．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为直线x＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
6．如图，过反比例函数y＝（x＜0）图象上的一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S
＝2，
△AOB
则k的值是（）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答．
＝2，
【解答】解：∵S
△AOB
∴|k|＝2，
∴k＝±4，
由图可知，反比例函数图象位于第二四象限，
所以，k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、
坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
7．抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2
【分析】根据题意得新抛物线的顶点（﹣1，2），根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y＝3（x﹣h）2+k，再把（﹣1，2）点代入即可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，2），
可得新抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．8．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点O，AB＝4，AC＝3，下列结论正确的是（）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【分析】由题意可得△AEC∽△ADB，△BOE∽△COD，根据相似三角形的性质可判断各个选项是否正确．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，且∠A＝∠A，
∴△AEC∽△ADB
∴，＝，＝
故选项A，C，D错误，
∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD
∴
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
9．若点A（m2，y1），B（m2+2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可．
【解答】解：∵4＞0，
∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵点A（m2，y1），B（m2+2，y2）都在第一象限．
∵m2＜m2+2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△
BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADO＝∠OBE，
∵∠AOD＝∠BOE，
∴△AOD∽△EOB，
∴＝，
∴＝，∵∠BOD＝∠AOE，
∴△BOD∽△EOA，故②正确，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，
∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，
∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，
∴FD＝FB＝FE，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∵BF＝DE，
∴＝，
∴BF＝AE，故④正确，
∵∠ADO＝∠OBE，
∴∠ADO≠∠OBF，
∴无法判断△AOD∽△FOB，故②错误．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分.请将答案填入答题卡的相应横线上）
11．若x＝1是方程x2+kx﹣4＝0的一个根，则k的值是3．
【分析】将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0求解可得．
【解答】解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0，得：1+k﹣4＝0，
解得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．在菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，则菱形ABCD的周长是4．【分析】利用菱形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC＝2，BD＝4，
∴AD＝，
∴菱形ABCD的周长是4，
故答案为：4
【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线垂直平分．
13．若＝，则＝4．
【分析】设＝＝k（k≠0），利用比例的性质求得a、b的值，然后代入分式并约分即可．
【解答】解：设＝＝k（k≠0），
则a＝2k，b＝3k，
所以＝＝4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了比例的性质，解题时需要运用“内项之积等于外项之积”这一性质．14．如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，先以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），再将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，则四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．
【分析】以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．
【解答】解：如图所示，线段A1B1即为所求；
如图所示，线段A2B1即为所求；
由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，
∴四边形AA1B1A2的面积是（）2＝（）2＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
15．函数y＝﹣x2+1，当﹣1≤x≤2时，函数y的最小值是﹣3．
【分析】分别求出x＝﹣1和x＝2时的函数值即可得．
【解答】解：∵﹣1＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵当x＝﹣1时，y＝﹣1+1＝0；
当x＝2时，y＝﹣4+1＝﹣3，
∴函数y的最小值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
16．如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴负半轴上，斜边AC 上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半
轴于点E ，反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象过点A ，则△BEC 的面积是
．
【分析】连接AE ，OA ，如图，根据三角形面积公式，利用D 为AC 的中点得到S △AED ＝S △CED ，S △ABD ＝S △CBD ，求它们的差得到S △BCE ＝S △ABE ，利用反比例函数k 的几何意义得到S △ABE ＝S △AOB
＝×|﹣2|＝1，从而得到△BEC 的面积． 【解答】解：连接AE ，OA ，如图， ∵D 为AC 的中点，
∴S △AED ＝S △CED ，S △ABD ＝S △CBD ， ∴S △BCE ＝S △ABE ，
∵S △ABE ＝S △AOB ＝×|﹣2|＝1， ∴△BEC 的面积为1． 故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数k 的几何意义：例函数y ＝图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
三、解答题（共9题，满分86分.请在答题卡的相应位置作答） 17．（8分）用配方法解方程：2x 2+4x ﹣1＝0．
【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一
半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
【解答】解：原方程变形为2x2+4x＝1
即x2+2x＝
∴x2+2x+1＝1+
即（x+1）2＝
∴
∴，．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．（8分）如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC＝CE，求∠DAE的度数．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠DAC＝∠ACB＝45°，再根据等边对等角可得∠E＝∠EAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠EAC，再根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵2∠EAC＝∠E+∠EAC＝∠ACB＝45°，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝45°﹣22.5°＝22.5°．
【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角的性
质，三角形的外角性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
19．（8分）如图，已知A（m，2），B（2，n）是一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝（k ≠0）图象的两个交点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出关于x的不等式﹣x+1＜的解集．
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求得m的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式求得k的值即可；
（2）根据函数图象可以直接得到答案．
【解答】解：（1）∵A（m，2）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
∴m＝﹣1．
∴A（﹣1，2）．
∵A（﹣1，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣2．
∴反比例函数的表达式为y＝﹣．
（2）由图象知，当﹣x+1＜时，﹣1＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常
用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
20．（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．
要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；
②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．
【分析】①根据题意画出图形即可；
②根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC
＝∠B1A1C1，再根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．
【解答】解：①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；
②已知：如图，△ABC∽△DEF，＝＝＝k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分
线．
求证：；
证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，
∴∠BAG＝∠BAC，∠EDH＝∠EDF，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，
∴∠BAG＝∠EDH，
∴△ABGC∽△DEH，
∴＝＝k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．
21．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．
【分析】根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．
【解答】解：设正方形城池的边长为x步，
由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，
∴，
即，
解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），
答：正方形城池的边长为300步．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
22．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）观察上表可求得m的值为3；
（2）试求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）由表格知x＝3和x＝﹣1时函数值相等；
（2）利用待定系数法求解可得；
（3）根据二次函数的图象和性质求解可得．
【解答】解：（1）观察上表可求得m的值为3，
故答案为：3；
（2）由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c顶点坐标是（1，﹣1），
∴y＝a（x﹣1）2﹣1，
又当x＝0时，y＝0，
∴a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1；
（3）∵点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，
∴n＞0．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
23．（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，
（1）根据题意，填表：
（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据销量×每个的利润＝盈利列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）
）
故答案为：80﹣x，30﹣x，160+10x，（80﹣50﹣x）（160+20×）；
（2）根据题意得，（80﹣50﹣x）（160+20×）＝5200，
解得x1＝10，x2＝4（不合题意舍去），
答：每个电子产品应降价10元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用销量×每个的利润＝盈利得出方程是解题的关键．
24．（12分）如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形；
（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2＝OC•AC，可求AC的长，GC的长，通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．
【解答】解：（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．
∵EG∥CD，
∴∠DCG＝∠EGC，
∴∠EGC＝∠ECG，
∴EG＝EC，
∴EG＝DC，且EG∥CD
∴四边形ECDG是平行四边形．
∵EG＝EC，
∴平行四边形ECDG是菱形
（2）如图，连接ED交AC于点O，
∵四边形ECDG是菱形，
∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴△DCO∽△ACD，
∴，
∴DC2＝OC•AC，
设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x+，
∴36＝x（2x+），
解得（不合题意，舍去）
∴，
∵EG∥CD，CD⊥BC，
∴EG⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°∴△ADC∽△CHG
∴
∴GH ＝
∵EH ＝EG ﹣GH
∴EH ＝6﹣＝
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
25．（14分）已知：抛物线y ＝mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2（m ≠0）．
（1）求证：抛物线与x 轴有交点；
（2）若抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），点A 在点B 的右侧，且x 1+2x 2＝1． ①求m 的值；
②点P 在抛物线上，点G （n ，﹣ n ﹣），求PG 的最小值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（3m ﹣2）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）①解方程mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，得出x ＝1或x ＝
．由点A 在点B 的右侧，得
到x 1＞x 2．分x 1＝1，x 2＝
与x 1＝，x 2＝1两种情况分别代入x 1+2x 2＝1，求出m 的值即可；
②当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ，由点G 坐标可知G 点在直线y ＝﹣x ﹣
上．假设
平行于直线y ＝﹣x ﹣
的直线l 的关系式为y ＝﹣x +b ，根据直线l 与抛物线y ＝x 2﹣x 只有
一个交点求出b ＝﹣
．得到P （﹣，），利用两点间的距离公式求出PG 2＝
n 2+n +，然后根据二次函数的性质即可求解．
【解答】（1）证明：当y ＝0时，mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，
∵△＝（m ﹣2）2﹣4m （﹣2m +2）＝（3m ﹣2）2≥0，
∴抛物线y ＝mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2与x 轴有交点；
（2）①当y ＝0时，mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2＝0，
解得x ＝1或x ＝．
∵点A 在点B 的右侧，
∴x 1＞x 2．
∵x 1+2x 2＝1，
∴当x 1＝1，x 2＝时，1+2×＝1，解得m ＝1．
此时x 1＝1，x 2＝0，满足x 1＞x 2，故m ＝1符合题意；
当x 1＝，x 2＝1时， +2×1＝1，解得m ＝2．
此时x 1＝﹣2，x 2＝1，与x 1＞x 2矛盾，故m ＝2不符合题意．
∴m ＝1；
②当m ＝1时，抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ，
∵点G （n ，﹣ n ﹣），
∴点G 在直线y ＝﹣x ﹣上．
假设平行于直线y ＝﹣x ﹣
的直线l 的关系式为y ＝﹣x +b ， 与抛物线y ＝x 2﹣x 只有一个交点C ，
则此时方程x 2﹣x ＝﹣x +b 的△＝0，解得b ＝﹣
．
∴x 2﹣x ＝﹣x ﹣
， 解得x 1＝x 2＝﹣．
把x ＝﹣代入y ＝x 2﹣x 得y ＝
，
∴P （﹣，），
∴PG 2＝（n +）2+（﹣n ﹣﹣）2＝n 2+n +，
∵＞0，
∴PG 2的最小值＝，
∴PG 的最小值＝
． 【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x 轴的交点个数；记住两点间的距离公式．。