第三章信号检测与估计理论1

存在最佳门限 x 0 ，同时考虑到两种假设。这就是最佳检
测的概念。这是我们本章要讨论的问题，即信号的最佳
检测理论
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3.2.6 信号统计检测理论的归纳与抽象
1. 二元信号 信号模型
H 0 ： x k s k 0 n k ， k 1 , 2 , , N H 1 ： x k s k 1 n k ， k 1 , 2 , , N
1. 平均代价C的概念
判决概率 PH i|H j是影响检测性能的因素之一； 判决概率 PH i|H j对检测性能影响的大小受先验概率 PH j（ j0,1 ） 的控制 P H 0 P H 1 1 ；
各种判决所付出的代价是不一样的，为此，我们给每种 判决赋定一个代价因子c（ ij i,j 0,1） ，并满足 c10c00, c01c11。
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25
3.2.4 判决结果和判决概率
由于存在噪声 n~N 0,n 2，所以有四种判决结果：
假设
判决
H0
H1
H0
H 0|H 0 H 0|H 1
统一地记为 Hi|Hj
H1
H 1|H 0 H 1|H 1
i,j0,1
相应地有四种判决概率：
假设
判决
H0
H1
H 0
P H 0|H 0 P H 0|H 1 统一地记为 PH i|H j
这样
px|H 0 21n 2 12ex p x2 A n 22
px|H 1 21n 2 12ex p x2 A n 22
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即,n～N(0,n2) (x| H0)～N(A,n2), (x| H1)～N(A,n2)
所以观测信号(x| Hj, j 0,1)的生成模型及其概率 密度函数p(x| Hj, j 0,1)分别如下.
R M 1
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满足
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R i R j R ， i j
R0
M1
RiRj ，i j
i0
R1
判决结果和判决概率
H i |H j， i , j 0 , 1 , , M 1
（共 M 2 种判决结果，其中 M 种
判决是正确的，MM 1种判决
RM1
是错误的。）
H 0 成立 H 1 成立
HM1成立
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观测量落入观测空间后,就可以用来推断哪一个 假设成立是合理的,即判决信号属于哪种状态.为此, 需要建立一种判决规则,以便使观测空间中的每一个 观测点对应着相应的假设Hj(j=0,1).
判决结果就是选择假设H0成立,还是H1成立.统计 假设检验的任务,就是根据观测量落在观测空间中的 位置,按照某种检验规则,作出信号状态是属于哪个假 设的判断.
➢ 实际上不知道发射的是s0还是s1,因此，需要合理检测 准则，进行判断获得信号的状态。
➢ 在某些情况下在对信号状态作出判断之后，还需要对 信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等;
➢ 如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。
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3.2.1 二元信号统计检测的信号模型
1 二元信号统计检测的模型
这样，尽管我们事先并不知道接收信号 x是属于哪 个假设下的，但我们能够作出合理的判决。
如图3.5所示。
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px|H 0 P H 0|H 0
px|Hj
px|H 1 P H 1|H 1
A
0 x0 A
P H 0|H 1 PH 1|H 0
R0
R1
x
图 3.5 二元信号检测的判决域划分与判决概率
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四个基本概念 •虚警 •虚警代价 •漏报 •漏报代价
n~
图3.1二元信号统计检测理论模型
9
信源
x ( t1 ) s 0 ( t1 ) n ( t1 ) , 0 t1 TH 0
x ( t2 ) s 1 ( t2 ) n ( t2 ) , 0 t2 TH 1
信源的输出我们称为假设
x ( t1 ) s 0 ( t1 ) n ( t1 ) , 0 t1 TH 0
3.3.3 最佳判决式 平均代价的分析表示式中,第一项、第二项是固定代
价，不影响 C 的极小化；
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先验概率与后验概率
现在考虑影响检测性能的因素：
判决概率、先验概率、代价因子
假 定 H j是 导 致 试 验 结 果 的 原 因 ， 所 以 PH j 称 之 为 先 验 概 率 ， 它 反 映 了
各 种 原 因 发 生 的 的 可 能 性 大 小 ， 一 般 是 以 往 经 验 的 总 结 ， 在 这 次 试 验 前 已 经 知 道 。 如 果 试 验 产 生 了 事 件 B ， 即 我 们 观 测 的 信 号 x ， 这 个 信 息 将 有 助 于 探
P H i | H j R i p x | H j d x ， i , j 0 , 1 , , M 1
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这就是本章第二小节统计检测理论的基本概念包括: 观测信号的模型 观测信号的统计描述 最佳判决 ➢检测准则决定了判决域的划分; ➢判决域的划分体现了检测准则的性能； ➢这一点要在后面给出检测判决式后就可以分析。
综合考虑上述三个因素：PH i|H j，PHj ，ci（ j i,j0,1），我
们可以求出平均代价C。
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2. 贝叶斯准则
假设 H j 的先验概率 PHj已知，各种判决的代价因子c ij 指
定的情况下，使平均代价 C最小的准则，就是贝叶斯准则。
3.3.2 平均代价 C的表示式(为获得贝叶斯准则)
平均代价 C 的基本表示式
假设 H 0 为真下的平均代价
C H 0 c 0 P H 0 0 | H 0 c 1 P H 0 1 | H 0
假设 H 1 为真下的平均代价
C H 1 c 0 1 P H 0 |H 1 c 1 1 P H 1 |H 1
考虑到假设 H j为真的先验概率 PHj, 得平均代价 C的基本
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3.2.3合理的判决
由 px|Hj可见，两种假设下x的统计特性是有差别
的。 假设 H 1 为真时，xA n ，x大于零的概率大； 假设 H 0 为真时，xA n ， x小于零的概率大；
于是，选定检测门限 x 0 ，当
x x 0 时，判决假设 H 1 成立（信号为 + A）； x x 0 时，判决假设 H 0 成立（信号为 A）；
3
本章主要内容
➢信号统计检测理论的基本概念； ➢二元信号的最佳检测准则,信号的状态判决方法
和检测性能的分析； ➢M元信号的最佳检测； ➢参量信号的统计检测； ➢信号的序列检测.
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3.2 信号统计检测理论的基本概念
主要思路：从二元信号的统计检测入手，讲述以下问题： ➢ 信号状态假设和接收信号的数学模型; ➢ 不同假设下,信号的统计特性及其描述; ➢ 寻找合理的判决方法; ➢ 分析检测性能分析;
尽可能的高，而 错误判决概率尽可能的低。
结合例3.2.1，若门限 x0 ，则 P H 1 |H 1 ,P H 0 |H 1 P H 0 |H 0 ,P H 1 |H 0
若门限 x0 ，则 P H 1 |H 1 ,P H 0 |H 1 P H 0 |H 0 ,P H 1 |H 0
可见，改变 x 0 ，若一种假设下，出现希望的结果， 但同时另一种假设下，会出现不希望的结果。这意味着
表示式为(平均风险)3.3.2式
C P H 0 C H 0 P H 1 C H 1
11
cijPHjPH i|Hj 3.3.2
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j0i0
根 据 信 号 检 测 的 基 本 概 念 ,我 们 知 道 判 决 概 率 的 求 法 为
PHi|Hj Ripx|Hj dx， i,j0,1
H 1 PH 1|H 0 P H 1|H 1
i,j0,1
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px|H 0 P H 0|H 0
px|Hj
px|H 1 P H 1|H 1
A
0 x0 A
P H 0|H 1 PH 1|H 0
R0
R1
x
x0的变化对四个判决概率大小的影响
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3.2.5 最佳判决的概念
从判决概率 PH i|H j来说，我们希望正确判决概率
信号为 A,信源的输出信号与服从N(0,n2)的高
斯噪声n叠加,其和就是观 n~测空间中的随机信号 (x | Hj , j 0,1),这样,在两个假设条件下,观测信 号的模型为:
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H0 ：xAn H1 ：xAn
其中,A为确知信号,且A0,n~N0,n2
接收信号 x ,在未作出判决前,我们并不知道它是 －A+n
➢ 归纳、抽象并推广到 M（M >2）元信号的检测。
5
二元信数字通信系统
0 s0(t)sin(0t) 0tT 1 s1(t)sin(1t) 0tT
n~
图1二进制数字通信系统原理框图
6
n~
图2 连续相位移频键控信号(CPFM)
7
在[0,T],加性噪声为n(t),接收到信号x(t),
x(t)s0(t)n(t), 0tT x(t)s1(t)n(t), 0tT
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pn
0
px|H 0
A
0
px|H 1
0
图 3.2
A
n x x
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该例子说明,如果没有噪声,信源输出的某一种 确知信号将映射到观测空间中的某一点,但在 噪声干扰的情况下,它将以一定的概率映射到 整个观测空间,映射到某一点附近的概率决定 于概率密度函数p(x| Hj), j 0,1多的统计特性。
第三章信号检测与估计理论1
第3章 信号的统计检测理论
3.1 引言
信号的统计测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。 信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以及信号是属 于哪个状态最佳判决的概念、方法和性能等问题。其基础就是统计判决理 论,信号的统计检测又称假设检验。这在大学数理统计中已经接触过。
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2. M 元信号 信号模型
H j ： x k s k n j k， k 1 , 2 , , N j 0 , 1 , ,M 1
统计描述
x x 1 ,x 2 , ,x N T
p x |H j， j 0 , 1 , , M 1
最佳判决 归结为判决域R的最佳划分；
R0
R
R1
接收端
x ( t2 ) s 1 ( t2 ) n ( t2 ) , 0 t2 TH 1
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概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础 之上，把噪声干扰背景中的假设为真的信号Hj(j=0,1),按照一 定的概率关系映射到观测空间中.
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观测空间R是在信源输出不同信号状态下,在噪 声干扰背景中,由概率转移机构所生成的全部可能的 观测量的集合;如:观测信号(x|Hj)j=0,1.
讨 事 件 发 生 的 原 因 ， 因 此 条 件 概 率 PH j| x称 之 为 后 验 概 率 ， 它 反 映 了
试 验 之 后 对 各 种 原 因 发 生 的 可 能 性 大 小 的 新 知 识 。
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3.3 贝叶斯准则(英国数学家)
我们先讨论二元信号统计检测的贝叶斯准则。
3.3.1平均代价的概念和贝叶斯准则
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产生的,还是 An产生的。我们需要根据假设 H 0 下 x 的统计特性与假设 H 1 下 x的统计特性作出合理判决。
故首先要对 x|H0和 x|H1进行统计描述，即求 px|H 0
和 px|H 1。
因为 n~N0,n 2，A0，所以，x|H0和 x|H1
分别为x |H 0 ~ N A ,n 2和 x |H 1 ~ N A ,n 2 。
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3.2.1 信号的统计描述
二元信号有两种状态,在未作出判决前,我 们不知道接收信号是属于两种状态中的哪 一种状态。所以，用数理统计中的假设来 表示，分别为假设 H 0 和假 H 1 ，从而建立 二元信号统计检测的信号模型。
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例: 考虑二元信号的检测问题:当假设H0为真时, 信源输出信号为-A;当假设H1为真时,信源输出
统计描述
x x 1 ,x 2 , ,x N T px|H 0 px|H 1
最佳判决 归结为判决域R的最佳划分；
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R
R RR10 判决域
R0
满足 R0 R1R
R0 R1
H 0 成立
判决结果和判决概率
R0 R1
H 1 成立
H i|H j ， i,j 0 ,1
P H i | H j R i p x | H j d x ， i , j 0 , 1
代 入 3.3.2
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因 为 对 二 元 信 号 检 测 ， 观 测 空 间 R 划 分 为 R 0域 和 R 1 域 , 对 整 个 观 测 空 间 有
所 以 ， R 1 域 中 的 积 分 可 以 表 示 为
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这 样 平 均 代 价 C 的 分 析 式 最 后 表 示 为
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现在根据以上平均代价C的分析表示式,来求使 平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式