数学建模范文1

第二章方案报告
一．背景介绍：
一个工厂生产两种产品，甲产品每单位利润为0.5单位，乙产品每单位利润为0.3单位，产品仅能在周末运出。

产品的生产量必须与工厂仓库总量相适当，仓库容量为400000单位。

包装好的每单位产品通过相同的系统生产（例如烟厂生产不同品牌的香烟），产品甲的生产率为2000单位/小时，产品乙的生产率为2500单位/小时，系统每周可使用的工时是130小时，市场预测表明，在目前市场的状态和广告宣传作用下，每周最大的需求量甲产品250000单位，乙产品为350000单位。

另外，根据合同规定，工厂每周至少要生产50000单位乙产品，提供给某特殊用户。

我们遇到的问题如下：
（1）在现有状态下，工厂应如何安排每周的生产计划，以获取最大利润？
（2）工厂为获取更大利润，应如何挖潜改革？比如增加系统的生产时间（需新增生产线）;增加宣传力度，以提高市场需求量
（需增宣传费用）；增加仓库的库容量（要付出额外租金）；
不满足乙产品合同规定的部分生产量（要付罚金），哪些措
施能使利润增加？
（3）能使利润增加的措施，在多大的范围内是可取的（在影子价格不变的前提下），此时实际的利润是多少?(提示：利用参数
规划，所需的参数可能不止一个。

)
二．解决方案 ① 第一问求解
设x 1为每周生产产品甲的单位数，x 2为每周生产产品乙的单位数。

该问题的数学模型为
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧≥≥≤≤≤≤+≤++0
035000050000250000
(1302500
2000(40000022..3.05.0max 2121212121x x x x x
x x x t s x x ）（市场需求及合同约束生产时间限制）仓库限制） 该问题用单纯形方法求解如下：
首先把该问题化为标准LP 问题，其标准型为
⎪
⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧=≥-≤+-≤+≤+≤++≤++--7
,6,5,4,3,2,1,050000350000
250000130000045200000
..3.05.0min 726
2514213212
1i x x x x x x x x x x x x x t s x x i
然后依次有如下单纯形表
x 1 2x 3x 4x 5x 6x 7x RHS
x 1 2x 3x 4x 5x 6x 7x RHS
x 1 2x 3x 4x 5x 6x 7x RHS
所以，最优解x 1=150000 2x =50000 z=90000
即每周生产甲产品15000个单位，生产乙产品50000个单位，可获得最大利润为90000. ②第二问求解
当采取改革时，比如增加系统的生产时间（需新增生产线）;增加宣传力度，以提高市场需求量（需增宣传费用）；增加仓库的库容量（要付出额外租金）；不满足乙产品合同规定的部分生产量（要付罚金）。

无论哪一种，可以考虑元问题的对偶问题，通过对偶问题的解直接看出不同的量改变带来的结果的改变。

{⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=≥≥-++≥++-+++5,4,3,2,1,03.05.05..50000350000
2500001300000200000m i n 542132154321i w w w w w w w w t s w w w w w i
该对偶问题我们可以用LINDO 软件包解决，源程序如下：
min 400000w1+1300000w2+250000w3+350000w4-50000w5 ST
2w1+5w2+w3>0.5 2w1+w2+w4-w5>0.3 w1>0 w2>0 w3>0 w4>0 w5>0 end
运行结果为：OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 90000.00
VARIABLE V ALUE REDUCED COST W1 0.250000 0.000000 W2 0.000000 500000.000000 W3 0.000000 100000.000000 W4 0.000000 300000.000000 W5 0.200000 0.000000
于是它的最优解为w=（0.25，0，0，0，0.2），也就是说仓库容量每增加一个单位将是利润增加0.25个单位，减少按合同供给特殊用户一个单位一产品可增加利润0.2个单位。

而增加生产时间或者扩大宣传力度都不会一起利润增加。

所以如果要改革的话，可以适当增加仓库的库容量或者适当减少对特殊用户的供给，不改变生产或宣传力度。

③第三问求解
设m 是对仓库容量的参数，n 是对合同约束的条件。

于是有下面性的线性规划：
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧≥≥≤≤+≤≤+≤+++0
035000050000250000
(1302500
2000(40000022..3.05.0max 2121212121x x x n x x
x x x t s m
x x ）（市场需求及合同约束生产时间限制）仓库限制） 令n 等于0，当-300000≤n ≤140000时，影子价格不变。

故最多租用140000单位的仓库额外容量，且每周租金不超过0.25单位/仓库单位时，对工厂有利。

若工厂能租到100000单位仓库容量，租金每周0.15，则每周可以生产甲200000单位，乙50000单位，总利润100000单位，这十亿个重合同守信用的策略。

令m=0，当-50000≤m ≤150000时，影子价格不变。

如果特殊用户愿意修改合同，只供应一般的乙产品而每单位补偿0.1单位金额，
则可生产甲175000，乙25000单位，总利润92500单位。

如果在影子价格不变的前提下，m ，n 的值都可以改变，我们可以得到如下LP 问题：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧≥+≥-≥+-≥+-≥-+-+=0
50000030000002/1000000
*2/535000002/150000..2.025.090000min
n n n m n m n m t s n m f
此时，m=125000，n=-37500，f=128750.即每周可生产甲产品250000，乙12500单位。

扣除租金和补偿费用后的利润为f – 额外租金 – 额外补偿。

四．结果分析及建议
在每周90000单位利润的前提下，该公司可以适当增加库容量以及适当减少对特殊用户的供给（具体方案见第三问解答）。

最好在获得特殊用户的许可下进行调整，这样既可以增价信誉也可以增加利润。

在第三问所说的前提下，可得到最优解如下m=125000，n=-37500，f=128750（包开支在内的最大利润）。