信号与线性系统分析第三章

系统描述 分析方法
连续系统 微分方程 卷积积分 变换域（傅氏、s） 系统函数
离散系统 差分方程 卷积和 变换域（离散傅氏、z） 系统函数
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§2.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程
• 差分方程解 —数值解、经典解，以及不同特征根对应的齐 次解和不同激励对应的特解
yzi (-2) = y(-2)
-----------
yzi (n) = ？
----------------yzi (-n) = y(-n)
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零输入举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2 求系统的零输入响应
解：yzi(k)零输入响应满足：
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0 yzi(–2) = y(–2) = 1/2 递推求 yzi(0)、 yzi(1) yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2)
yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1
yzs(0)、yzs(1)、---yzs(n)=？ 借助微分方程
n
若其特征根均为单根： yzk (k ) Czsjkj y p (k ) j 1
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零状态举例
例1：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0；求系统的零状态响应 解：零状态响应yzs(k) 满足
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1.零状态响应
当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)产生的响应，
称为零状态响应，用yzs(k)表示。
差分方程：非齐次
连续系统
yzs(j)(0-)=0
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
yzs(-1)=yzs(-2)=------yzs(-n)=0
lim
f (t) f (t t)
dt t0 t t0
t
t 0
t
离散信号的变化率有两种表示形式：
f (k) f (k 1) f (k)
k
(k 1) k
f (k) f (k) f (k 1)
k
k (k 1)
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（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) （3）差分的线性性质：
1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ， 即
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。
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不同特征根所对应的齐次解
特征根λ 单实根
齐次解y h (k)
Ck
r重实根
(Cr1k r1 Cr2k r2 C1k C0 )k
（5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m)
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2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程的阶数：未知序列最高与最低序数的差 描述LTI离散系统：常系数线性差分方程
求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：（1）yzs(k)零状态响应 同例1
yzs(0) = 1 、yzs(1) = – 1
yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 （2）yzi(k)零输入响应
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
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二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似: y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解 齐次方程
y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程
一对共轭复根
1，2 a jb e j
k[C cos(k) D sin(k)]或A k cos(k )
其中Aej C jD
r重共轭复根
k [ Ar1k r1 cos(k r1) Ar2k r2 cos(k r2 ) A0 cos(k 0 )]
[af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义：
2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k-1)] = f(k) – f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)] = f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)
yzi(1)=y(1)-yzs(1) =3
yzi(k)= -(–2)k k≥0
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§3.2 单位序列响应和阶跃响应
单位序列和单位阶跃序列 单位序列响应 阶跃响应
Pak (a不等于特征根）
ak
（P1k P0 )ak (a等于特征单根）
（Pr k r Pr1k r1 P0 )ak (a等于r重特征根）
cos k或 sin k P1 cos k P2 sin k (特征根不等于e j )
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差分方程全解举例
yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1) yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k k≥0
yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
yzs (1)

C zs1

2C zs 2

2 3

1
求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1
yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
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起始 储能
yzi(k)
k
0
激励
yzs(k)
由yzi(k)起始条件
y(k) 全响应
由yzs(k)起始条件
• 零输入响应和零状态响应
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一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则 …，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)， f(k-2)…等 ，称为f(k)的移位序列。
仿照微分运算，引出离散信号的差分运算的概念。
1. 差分运算
df (t)
lim
f (t)
lim
f (t t)
f (t)
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)
全响应 y(t) = yzi(k) + yzs(k)
借助经典方法
卷积和方法（后面学）
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1.零输入响应
没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应，
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yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k)
特征根 λ1= –1 ，λ2= – 2
零状态响应 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k)
代入初始值
= Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k
1 yzs (0) Czs1 Czs2 3 1
y(k)

n
ci (i
)k

y p (k )

n

czij ( j )k

n

czsj ( j )k

y p (k )
i 1
j1
j1
自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应
y(0)、y(1)- 起始条件
待定系数代差分 方程
待定系数代差分方程
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零输入零状态举例
例2：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励 f(k)=2k , k≥0 初始状态 y(0)=0, y(1)=2
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零输入响应
特征根 解为
根据
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 λ1= –1 ，λ2= – 2 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k yzi(0)=?、yzi(1)=? - - y(k)=yzi(k)+yzs(k)
yzi(0)=y(0)-yzs(0) =-1
第三章 离散系统的时域分析
概述： 1.LTI离散系统的时域分析： 建立线性差分方程并
求出响应与激励关系 时域分析法：序列的变量----k
2.特点：比较直观、物理概念清楚，是学习离散变换
域分析法的基础 3.时域分析法主要内容：
经典法 零输入响应和零状态响应
冲击响应与卷积和
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离散与连续对比
注意：离散系统与连续系统的分析方法—并行相似
称为零输入响应， 用yzi(k) 表示。
差分方程：齐次
y(k) + an-1y(k-1) + …+ a0y (k-n)=0
k<0, 激励没有接入f(k)=0
连续系统
yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)
yzi (1) = ？
yzi (-1) = y(-1)
yzi (2) = ？
解得 P=1/4
所以特解
yp(k)=2k–2 , k≥0
故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0
代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
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三.零输入响应和零状态响应
一般而言，如果单输入—单输出的LTI系统的 激励 f (k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励 f (k)与响应y(k)之间关系的数学模型是n阶常系数线性 差分方程，它可以写为：
例：系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。
求方程的全解。
解： 特征方程 λ2 + 4λ+ 4=0
特征根 齐次解
特解 代入差分方程
λ1=λ2= – 2 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k yp(k)=P (2)k , k≥0 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k
yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3
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yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 特征根 λ1= –1 ，λ2= – 2 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k
yzi (0) Czi1 Czi2 1 yzi (1) Czi1 2Czi2 3 初始值代入并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
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2.特解yp(k)
特解的形式与激励的形式类似
激励f(k)
F (常数)
响应y(k)的特解yp(k)
P(常数)
km
Pmk m Pm1k m1 P1k P0(特征根均不为0）
k r (Pmk m Байду номын сангаасPm1k m1 P1k P0 )(有r重为0的特征根）
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
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差分方程迭代解举例
例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。
解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2 y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= – 3y(3) – 2y(2) + f(4) = – 10 ……