【新品下载推荐】高考数学 提分必备30个黄金考点 专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件学案 理

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件
【考点剖析】
1.命题方向预测：
（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．
（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识. 2.课本结论总结： （1）命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题. （2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系
②四种命题的真假关系
逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.
(3)充分条件与必要条件
①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件 3.名师二级结论： (1) 常见结论的否定形式
(2)充要条件判定方法
①定义法：若p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.
②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若
B
A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=
B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. ③利用原命题与逆命题的真假判断 若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：
（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件； （3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；
（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.考点交汇展示：
例1设A ，B 是两个集合，则“A
B A =”是“A B ⊆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C.
【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选
C.
例2【2018年理数天津卷】设
，则“
”是“
”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
绝对值不等式
，由
.据此可知
是
的
充分而不必要条件.本题选择A 选项.
例3【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-
<”是“1
sin 2
θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A
例4【2018年理北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
，因为a ，b 均为单位向量，所以
a ⊥
b ，即“
”是“a ⊥b ”的充分必要条件.
选C.
例5已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2
()2a bi i +=”的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】(a +bi )2
＝a 2
－b 2
＋2abi ＝2i ，于是a 2
－b 2
＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A .
例6【2018年浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m α，n
α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
例7【2016高考天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，
a 2n −1+a 2n <0”的（ ）
（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由题意得，22
212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q
q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.
例8【2018届北京市人大附中5月三模】设
,则“
”是直线“
与直线
垂直”的
A ． 充要条件
B ． 充分而不必要条件
C ． 必要而不充分条件
D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
若
，则两条直线分别为
、
， 两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；
若两条直线相互垂直，则，故
或
，
故“
”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选B.
【考点分类】
考向一 命题及其关系
1.【河北省衡水中学2018届第十六次模拟理】下列有关命题的说法正确的是（）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题
C. 命题“，使得”的否定是“，都有”
D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
【答案】B
2.【2017北京卷】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．
【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）
【方法规律】
1.判断一个命题的真假有两种方法，法一：直接法，用直接法判定命题为真命题，需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确，要判定一个命题为假命题，只要举出一个反例就行；法二：等价值法，若不易直接判断它的真假，利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
3. 在书写命题的四种形式时，首先要将命题转化成“若p，则q”的形式，然后严格按定义书写，注意正确应用常见词语的否定.
4.在判断四种形式的命题真假时，先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假． 【解题技巧】
1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时，必须保留大前提且不作改换．
2.在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假，可以转化为判断其逆否命题的真假．
3.在书写否命题题与您否命题时，要特别注意条件的否定和结论的否定即为条件的反面和结论的反面. 【易错点睛】
1.区分否命题与命题：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
2.特别要注意含有逻辑连结词的否定形式.
例 写出命题“若2
2
0x y +=，则x ，y 全为0”的否命题. 【错解】若2
20x y +=，则x ，y 全不为0.
【预防措施】①要正确区分命题的否定与否命题：写一个命题的否命题，既要否定条件又要否定结论，只否定结论，得到的命题是命题的否定；②对条件和结论的否定要正确，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面，抓住这一点就可以避免类似的错误. 【正解】若22
0x y +≠，则x ，y 不全为0.
热点二 充分条件与必要条件
1.“1x >”是“12
log (2)0x +<”的（ ）
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】12
log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B .
2.【2018届浙江省诸暨市5月适应性考试】已知圆与直线，则“”是“直线
与圆相切”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
由圆心到直线的距离 若直线与圆相切，则 ，即
，则
，
则“”是“直线与圆相切“的充分而不必要条件，
故选：A ．
3.【四川省成都市2018届模拟】设
，则
是
的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】A
的充分不必要条件，故选A.
4.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q 是"{}"n a 为递增数列的（ ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
【答案】D.
【方法规律】
1.在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，再从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ，二是由条件q 能否推得条件p ，结合定义即可做出判断.
2.充分条件、必要条件的三种判断方法，要注意灵活应用.利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而命题易于求解．对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断． 【解题技巧】
1.在进行充要条件判断时，在明确条件、结论的基础上，将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键．
2.在利用集合法进行充要条件判断时，常借助数轴直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解.
3.在利用命题法判定充要条件时，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 【易错点睛】
在判断充要条件时，因条件与结论分不清或因考虑不全面导致致错误.
例 已知p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为钝角”是q ：“a b ∙＜0”的 条件. 【错解】若向量a 与向量b 的夹角θ为钝角，则cos ||||
a b
a b θ∙=
＜0，即a b ∙＜0，故p 是q 的充要条件.
【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断，而上面之判定了一个方向就下结论，忽视了对“a b ∙＜0”成立时能否导出“向量a 与向量b 的夹角为钝角”的判断.
【防范措施】判断充要条件时要注意两点：首项要分清哪个是条件p ，哪个是条件q ；其次要从两个方向进行判断，即条件p 能否导出结论q 与结论q 能否导出条件p . 【正解】若向量a 与向量b 的夹角θ为钝角，则cos ||||
a b
a b θ∙=
＜0，即a b ∙＜0，即p ⇒q ；
当a b ∙＜0，即cos ||||
a b
a b θ∙=＜0，因为0θπ≤≤，所以2πθπ<≤，故向量a 与向量b 的夹角θ为钝角
或平角，即q
p ，故p 是q 的充分不必要条件.
【热点预测】
1．【2018届江西省南昌市二轮测试卷（八）】在实数范围内，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是
A． B． C． D．
【答案】D
2.【2018届浙江省温州市9月】已知，，则“”是“”的（）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为当时，不成立；当时，不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
3.【2018届山东省肥城市适应性训练】已知向量，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
因为，所以
因此“”是“”的充分不必要条件，
选A.
4．【2018届广东省汕头市潮南区5月冲刺】已知直线与圆相交于两点（为坐标原点），则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
5．【2018届广西柳州高级中学5月模拟】已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
因为，所以
因为，，
所以是的充分必要条件.
故答案为：A.
6．【2018届浙江省余姚中学模拟（二）】“”是“直线与互相平行”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
7.【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】已知数列是等比数列，其公比为，则“”是“数列
为单调递增数列“的”（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
取，，则，但为减数列；
取，，则，为增数列，但，
故“”是“等比数列为单调递增数列”的既不充分又不必要条件，故选D．
8.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知函数，则在上不单调的
一个充分不必要条件
．．．．．．．是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
若在上不单调，
令，
则函数与x轴在有交点，
设其解为，
则，
因此方程的两解不可能都大于1，
其在中只有一解， 其充要条件是， 解得或
， 因此选项C 是满足要求的一个充分必要条件.
故选：C.
9.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分条件又不必要条件
【答案】A
10．【2018届湖北省武汉市四月调研】在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
由条件p ：a ≤，则cosA=≥=≥=，
当且仅当b=c=a 时取等号．
又A ∈（0，π），∴．
由条件q ：A ，B ，C ∈（0，π），A ≤．
取，C=，B=满足上述条件，但是a
． ∴条件p 是条件q 成立的充分不必要条件．
故选：A ．
11.“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
12.【2018届浙江省台州市高三上期末】已知a R ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为21a =-≤,但1142a a ++-=≠;112a a ++-= 111a a ⇒-≤≤⇒≤
所以“1a ≤”是“112a a ++-=”的必要不充分条件,选B.
13.【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知：不等式的解集为，：，则是的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵:不等式的解集为，由一元二次不等式的性质可得，又∵为
的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.
14．已知条件()2:log 10p x -<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．
【答案】(]
,0-∞。