第三章(09异方差)

第一节
异方差性及其产生的原因
第二节
第三节
异方差性产生的后果
异方法
练习题
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回顾我们应用OLS法所需假设条件，其中大部分 是有关扰动项的统计假设，它们是：
（1）E(ut)=0, t=1,2,…,n. 随机误差项均值为0 （2）Cov(ui,uj) = E(uiuj) =0, i≠j. 随机误差项相互独立 （3）Var(ut) = E(ut² = 2 , t=1,2,…,n. 常数方差 ) （4）ut ～N(0,2). 正态性
然后利用决定系数，选择拟合最佳的函数形式。 （3）对β 1进行显著性检验，若显著异于0，则表明存在 异方差性，否则再试其它形式。
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戈里瑟（Glejser）检验： 用残差绝对值 ei 对每个解释变量建立各种回归模型，
ei 1 2
X i vi
ei 1 2 X i vi
经济问题的异方差性大多是递增型的。
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二、异方差性产生的主要原因： 1、模型中遗漏了随时间变化影响逐渐增大的因素。
例如，储蓄函数中的证券投资、利息、消费者行为等因素； 成本函数中的管理水平、生产技术条件等因素；消费函 数中的家庭财产、消费心理等因素。 2、模型函数形式的设定误差。 3、随机因素的影响。 4、样本数据的测量误差。
如果随着x值的增加，散布点分布的区域逐渐变宽或变 窄或出现不规则的复杂变化（即不在一个固定的带型域 中） ，表明模型存在异方差性。 在Eviews软件中，可利用“Scat“命令作Y对X 的散点图： 键入命令：Scat X Y 合肥师范学院经济系 操作演示
2、残差分布图分析 建立回归模型之后，在方程窗口中点击Resids按钮可以 得到模型的残差分布图，如果残差分布点不紧紧围绕在 一条水平线变动（既近似为一常数），其散步区域逐渐 变宽或变窄或出现不规则的复杂变化，则表明存在着异 方差性。在EViews软件包中，直接给出了以ei 为纵坐 标，以观测时间或序号为横坐标的残差图。 注意观察之前需要先将数据 关于解释变量排序，命令 格式为： SORT X LS Y C X 例3-1操作演示
模型中存在的异方差，而且把异方差的表现形式找出来便于后面改 进时使用。
帕克检验常用的函数形式：
e
2
i

x e
i


i
或
ln ei ln ln xi i
2
若经检验方程在统计上是显著的，表明存在异方差性。
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戈里瑟检验法的思路
戈里瑟检验法的思路是假定随机误差项方差与解释 变量之间存在幂次关系，方法是用 et 对被认为与随 机误差项方差有关的解释变量回归，确定 et 和该解 释变量的关系。由于与该解释变量之间关系的实际形 式是未知的，因此需要用该解释变量的不同幂次进行 试验，选择出最佳拟合形式。 具体步骤如下：
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例：S=α +β Y + u
设
其中：S=储蓄
Y=收入
1951—60年， RSS1=0.01625 1970—79年， RSS2=0.9725 F0 = 0.9725/0.01625=59.9
查表得: d.f.为（8，8）时，5% Fc=3.44
∵F0＞Fc 因而拒绝H0。
结论：存在异方差性。
2
i

x e
i


i
或
ln ei ln ln xi i
2
若经检验方程在统计上是显著的，表明存在 异方差性。
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四、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 尝试建立残差序列对解释变量的辅助回 归模型。 选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进 行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著 成立，则说明原模型存在异方差性。这种方法不仅能检验出
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四、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验
基本思想: 尝试建立残差序列对解释变量的辅助回 归模型。
选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进 行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著 成立，则说明原模型存在异方差性。 如： 帕克检验常用的函数形式：
e
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(1)因变量Y对所有解释变量回归，计算残差et （t=1,2,…,n） （2） et 对所选择解释变量的各种幂次形式回归，如 et 0 1 X 2 u t jt
et 0 1 X et 0 1
jt
ut
jt
X
ut
1 et 0 1 ut X jt ................
同方差假定为： D(μi)＝ σ2 (i=1,2,….n) 即对于不同的样本点，随机误差项的离散程度是相同的； 如果出现： D(μi)＝ σi2≠常数 (i=1,2,….n)
则称模型出现了异方差性（Heteroskedasticity）
即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数， 而是互不相同。
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为了提高此检验的功效，戈德菲尔德和匡特 曾经建议，将观测样本分成两段时，可将中间的 部分数据删掉。然而，删掉的数据越多，各段中 估计的自由度就越小，从而又会影响检验的功效 。因此，删掉的中间部分数据也不能太多。一般 地，删掉的数据不应多于样本观测数据的１/3。
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三、怀特（White）检验
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二、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大（一般 而言不得低于参数个数的两倍。另外：ui服从正态分 布，且除了异方差外其他假定均满足。）、异方差递 增或递减的情况。检验的功效取决于C，但最优选择 不明显。近年经验：n=30，c=4；n=60，c=10
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（4）对于给定的显著水平α 若nR2> χ2 α(q) ，模型存在异方差性；反之，则认为不 存在异方差性。（检验步骤类似于t检验和F检验。） 利用EViews软件可以直接进行White检验。 （1）建立回归模型： LS Y C X （2）检验异方差性：在方程窗口中依次点击 View\Residual Test\ White Heteroskedastcity 可以选择在辅助回归模型中是否包含交叉乘积项（Cross terms），本例不存在交叉乘积项。 一般是直接观察p值的大小，若p值 较小，认为模型存在异方差性。
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第三节
异方差性的检验
检验思路：由于异方差性就是相对于不同的解释变量观 测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差 性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之 间的相关性及其相关的“形式”。人们进行了大量研究， 提出的诊断方法已有10多种，但没有一个公认的最优方 法，下面介绍几种常见的方法： 一、图示检验法 1、相关图分析（用X-Y的散点图进行判断）
渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。
2．无法正确估计系数的标准误差。 ˆ 在同方差情况下， b 的标准误差为： ˆ ˆ 2 2 ˆ
S (b) ( xi x )
2

S xx
在异方差的情况下，σ2i是一些不同的数，只有估计出每 一个σ2i之后才能得到系数的标准误差，这在只有一组 样本观察值的情况下是无法做到的。
ˆ b t ˆ S (b )
所以用t 检验来判断解释变量影响的显著性将失去意 4．增大模型的预测误差。
当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增 大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，在 区间估计时优为明显。预测功能失效。 实际经济问题中经常会出现异方差性，将直接影响回归 模型的估计、检验和应用。因此，在建模过程中应该检 验模型是否存在异方差性。
4
什么情况下可能发生异方差性问题？ 解释变量取值变动幅度大时，常数方差的假设往 往难以成立。异方差性主要发生在横截面数据的情况， 时间序列问题中一般不会发生，除非时间跨度过大。
异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2随X的增大而增大 (2)单调递减型： i2随X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式
2
ˆ 因此，如果仍然用 / S xx 计算系数的标准误差，将会 产生估计偏差；偏差的大小取决于第二个因子值的大小， 当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做 出了过高的估计。
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3．t 检验的可靠性降低。
在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差；这直 接影响到t 统计量值的正确确定，因为：
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如将指数曲线模型误设成线性模型，则误差有增大的趋势。
如政策变动、自然灾害、金融危机、人的行为不确定性等。
第二节
异方差性产生的后果
1．最小二乘估计不再是有效估计。 即存在其它的参数估计方法，其估计误差将小于OLS估 计的误差 。（注：异方差的存在不影响参数估计式的 无偏性）而且，在大样本情况下，参数估计量也不具有
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ˆ 设： i i (λi>0, i=1,2,…,n) 则在异方差情况下，系数的标准误差为： ( xi x ) 2 ˆ) k 2 2 k 2 2 ˆ i 2 ˆ S (b 2 i i i i S xx
2 2
2 ˆ2 i ( xi x ) S xx S xx
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例：Yi = α +β Xi+ ui 其中：Y=指定规模和组成的家庭每月消费支出 X=这样的家庭的每月可支配收入
设X的N个观测值取自一个家庭可支配收入的横截 面样本。某些家庭接近于勉强维持生存的水平，另 一些家庭则有很高的收入。 不难设想，低收入家庭的消费支出不大可能离开他 们的均值E(Y)过远，太高无法支持，太低则消费将 处于维持生存的水平之下。因此，低收入家庭消费 支出额的波动应当较小，因而随机误差项具有较小 的方差。而高收入家庭则没有这种限制，其随机误 差项可能有大得多的方差。这就意味着异方差性。