2019-2020年高二下学期第二次月考数学试卷含解析

2019-2020年高二下学期第二次月考数学试卷含解析
一.填空题（共14题，每题5分，共70分）
1．已知集合A={x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B={x|x=3n+1，n∈Z}，则A∩B等于．
2．命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是命题（填真假）．
3．已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）
4．函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）= ．
5．函数y=的定义域是（用区间表示）．
6．已知函数y=xlnx，则其在点x=e处的切线方程．
7．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．
8．已知函数f（x）=且f（a）＞1．则实数a的取值范围是．
9．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），则f（）+f（）+…+f（）= ．10．函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1．f（4）=5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为
11．已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，则f且满足f（x+1）=f（x﹣1），当x∈时，f（x）=cosx，则y=f（x）与y=lgx的图象的交点个数为．
13．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c= ．
14．设函数f（x）=x2+4x﹣5，g（x）=ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．
二.解答题（共90分）
15．已知a＞0且a≠1，命题p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．
17．已知条件p：A={x|x2+ax+1≤0}，条件q：B={x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．
19．已知函数
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
20．已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．
加试
21．已知矩阵A=，B=．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；
（Ⅱ）求直线x+y﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．
22．在极坐标系中，圆C
的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x 轴
的正半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为（t 为参数），求直线l 被⊙C
截得的弦AB 的长度．
23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如表：
（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若“实用性”得分的数学期望为
，求a 、b 的值．
24．某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题
的概率为p （0＜p ＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
2015-2016学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（共14题，每题5分，共70分）
1．已知集合A={x|x2﹣11x﹣12＜0}，集合B={x|x=3n+1，n∈Z}，则A∩B等于{1，4，7，10} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣12）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜12，即A={x|﹣1＜x＜12}，
∵B={x|x=3n+1，n∈Z}，
∴A∩B={1，4，7，10}，
故答案为：{1，4，7，10}．
2．命题：“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是真命题（填真假）．
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据命题与逆否命题同真、同假，只需判断命题是否为真即可．
【解答】解：∵命题：若x2＜1，则﹣1＜x＜1是真命题，
∴它的逆否命题也是真命题．
故答案为：真
3．已知p：x≠1，q：x≥2，那么p是q的必要不充分条件．（填写：“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：已知p：x≠1，推不出q：x≥2，不是充分条件，
q：x≥2能推出p：x≠1，是必要条件，
故答案为：必要不充分．
4．函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）= cosx+3x ln3 ．
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则求导即可．
【解答】解：函数f（x）=sinx+3x的导函数f′（x）=cosx+3x ln3，
故答案为：cosx+3x ln3．
5．函数y=的定义域是
（用区间表示）．
【考点】对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．
【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．
【解答】解：要使函数有意义：≥0，
即：≥
可得 0＜x2﹣1≤1
解得：x∈
故答案为：
6．已知函数y=xlnx，则其在点x=e处的切线方程y=2x﹣e ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求导函数，然后将x=e代入导函数，从而求出在点x=e处的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．
【解答】解：∵y=xlnx，
∴y′=lnx+1，
∴x=e时，y′=lne+1=2，
又当x=e时y=e，即切点为（e，e），
∴切线方程为y﹣e=2（x﹣e）即y=2x﹣e．
故答案为：y=2x﹣e．
7．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．【考点】点到直线的距离公式．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．
求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．
【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，
点P到直线y=x﹣2的距离最小．
直线y=x﹣2的斜率等于1，
令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，
故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，
故答案为．
8．已知函数f（x）=且f（a）＞1．则实数a的取值范
围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
【考点】分段函数的应用．
【分析】讨论a≤0，a＞0，运用指数函数和幂函数的单调性，即可得到所求范围．
【解答】解：当a≤0时，（）a﹣1＞1，即为（）a＞2，
解得a＜﹣1；
当a＞0，＞1，解得a＞1．
即有a＞1或a＜﹣1，
则实数a的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）．
9．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），则f（）+f（）
+…+f（）= ．
【考点】数列的求和．
【分析】f（x）+f（1﹣x）=+=1，f（）
+f（）=1，f（）+f（）=1…，即可求得f（）
+f（）+…+f（）的值．
【解答】解：数f（x）=（a＞0，a≠1），
∴f（x）+f（1﹣x）=+，
=，
=，
=1，
f（）+f（）=1，f（）+f（）=1…，
∴令M=f（）+f（）+…+f（），
则M=f（）+f（）+…f（）+f（），
∴2M=2015，
∴M=，
故答案为：．
10．函数f（x）是R上的单调函数且对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1．f（4）
=5，则不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为
【考点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用．
【分析】先根据条件求出f（2），根据函数f（x）是R上的单调函数得到函数f（x）是R上的单调增函数，将3用f（2）代换，根据单调性建立不等关系，解之即可．
【解答】解：∵对任意的实数都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1
∴f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即f（2）=3
∵f（2）=3，f（4）=5，函数f（x）是R上的单调函数
∴函数f（x）是R上的单调增函数
∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2）即3m2﹣m﹣2＜2
解得m∈
故答案为
11．已知f（x）的定义域是R，且f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，则f=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，可得f（3）=f（2）﹣f（1）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=lg2﹣lg3，f（5）=f（4）﹣f（3）=﹣lg15．f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=lg3﹣lg2=f（1），
…，f（n+6）=f（n），即可得出．
【解答】解：∵f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），f（1）=lg3﹣lg2，f（2）=lg3+lg5，
∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg5+lg2=1，
∴f（4）=f（3）﹣f（2）=lg2﹣lg3，
f（5）=f（4）﹣f（3）=﹣lg15．
f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣1，
f（7）=f（6）﹣f（5）=lg3﹣lg2=f（1），
f（8）=f（7）﹣f（6）=lg3+lg5=f（2），
∴f（n+6）=f（n），
∴f═f（5）=﹣lg15．
故答案为：﹣lg15．
12．定义在的偶函数f（x）且满足f（x+1）=f（x﹣1），当x∈时，f（x）=cosx，则y=f（x）与y=lgx的图象的交点个数为0 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】先证明函数f（x）的周期性，再利用函数周期性画出函数f（x）的图象，在同一直角坐标系下再画出函数y=lgx的图象，数形结合即可求得交点个数．
【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
∵当x∈时，f（x）=cosx，cos1=cos3＞lg3．
∴函数f（x）的图象和y=lgx的图象如图：
由图数形结合可得函数y=f（x）与函数y=lgx的图象的交点个数为0个
故答案为：0．
13．设函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c= ﹣1 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令f（x）=t，根据f（x）的函数图象判断f（x）=t的解的个数，得出t=1为方程
t2+bt+c=0的解．
【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：
设f（x）=t，则当t=1时，f（x）=t有三解，当t≠1时，f（x）=t有两解．
∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，
∴关于t的方程t2+bt+c=0有两解，且t=1是其中一解，
∴1+b+c=0，即b+c=﹣1．
故答案为﹣1．
14．设函数f（x）=x2+4x﹣5，g（x）=ax+3，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．
【考点】二次函数的性质．
【分析】函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，g（x）=ax+3的图象恒过定点（0，3），利用这两个定点，结合图象解决．
【解答】解：由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，
且f（1）=0，f（﹣5）=0，故若存在x0∈R，使得f（x0）＜0，必有﹣5＜x0＜1
又由g（x）=ax+3中恒过（0，3），
故由函数的图象知：
①若a=0时，g（x）=3恒大于0，显然不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，故a=0．
②若a＞0时，g（x0）＜0⇔x0＜﹣
若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，
解得，故．
③若a＜0时，g（x0）＜0⇔x0＞﹣
若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则必有，解得a ≥﹣3，故﹣3≤a＜0．
综上可知，实数a的取值范围是：
故答案为：
二.解答题（共90分）
15．已知a＞0且a≠1，命题p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点．若p∨q为真，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分别确定出使命题p，q为真命题时，实数a的取值范围．求其并集可得答案．
【解答】解：若命题p：函数y=log a（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数为真命题，
则0＜a＜1，
若命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴相交于不同的两点为真命题，
则△=（2a﹣3）2﹣4＞0
解得：，
故p∨q为真时．
16．已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．
【考点】绝对值不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式，代入函数y=f（x）可得g （x）的解析式．
（Ⅱ）不等式可化为 2x2﹣|x﹣1|≤0，分类讨论，去掉绝对值，求出不等式的解集．
【解答】解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则P在g（x）的图象上，
且，即
∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，
∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故，g（x）=﹣x2+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0
当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得﹣1≤x≤．因此，原不等式的解集为．
17．已知条件p：A={x|x2+ax+1≤0}，条件q：B={x|x2﹣3x+2≤0}，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解不等式x2﹣3x+2≤0，得到方程x2+ax+1=0的两根在区间外，建立关于a的不等式组解之可得．
【解答】解：解不等式可得B={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⇒p，p不能推出q，即B是A的真子集，
可知方程x2+ax+1=0的两根在区间外，
解方程得：x1=，x2=，
∴，解得：a＜﹣，
a=﹣时，也符合题意，
故．
18．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f（x）＜m3﹣mlnm﹣mt+在x∈（﹣∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）由题意可知f'（x）＜0的解集为（1，2），即f'（x）=0的两个根为1和2，利用根与系数的关系建立等式，以及满足f（0）=1，建立方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式．
（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），利用导数研究它的单调性
得出当x=1时，，要使
在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即
，下面再利用导数研究函数f（x）的最大值，即可得出实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a2=1且 a＞0可得a=1
又得
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
∴x∈（﹣∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1]上是增函数
对x∈（﹣∞，1]，当x=1时，
要使在x∈（﹣∞，1]上恒成立，即
，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
即对任意m∈（0，2]恒成立，
设，则t＜h（m）
，令h′min
（m）=0，得m=1或m=﹣1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：
∴m=1时，，
∴
19．已知函数
（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】（I）由f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．0＜a＜b，且f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，
从而分别求得f（a），f（b），根据其关系得到结论．
（II）先假设存在满足条件的实数a，b，由于f（x）是分段函数，则分当a，b∈（0，1）2时，a，b∈，而f（1）=0∉，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．
20．已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有
，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．
【分析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0＜x＜1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）
，
∵，令f′（x）＞0，得x＞2，或，
∴函数f（x）的单调增区间为，（2，+∞）．
（2）∵，
∴，
∴，
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数．
当1≤x≤2时，，
，
令h′（x）≤0，得：
对x∈恒成立，
设，则，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，
∴
当0＜x＜1时，，
，
令h′（x）≤0，得：
，
设，则
，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，
∴a≥0．
综上所述，．
加试
21．已知矩阵A=，B=．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A﹣1；
（Ⅱ）求直线x+y﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．
【考点】逆变换与逆矩阵．
【分析】（I）根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
（Ⅱ）结合（I）的结论先求出A﹣1B，设直线x+y﹣1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A﹣1B对
应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），可得，进而可得直线x+y ﹣1=0在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设A﹣1=，
∵A•A﹣1=•=，
解得：a=3，b=﹣1，c=﹣2，d=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
且A﹣1=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）∵A﹣1B=•=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设直线x+y﹣1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A﹣1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），
则•=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
即：，从而﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
代入x+y﹣1=0得x′﹣2y′﹣1=0
即x﹣2y﹣1=0为所求的曲线方程．7分）
22．在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．
【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．
【分析】先两边同乘以ρ，利用公式即可得到圆的圆心和半径，再将参数方程化为普通方程，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．
【解答】解：⊙C的方程化为ρ=4cosθ+4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x2+y2﹣4x﹣4y=0…
其圆心C坐标为（2，2），半径，
又直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，
∴圆心C到直线l的距离，
∴弦长…
23．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如表：
（1）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若“实用性”得分的数学期望为
，求a 、b 的值．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
【分析】（1）由题意从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件，利用古典概型可知创新性4分且实用性3分”的概率值；
（2）由题意及图表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级，且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件，利用古典概型求出每一个值对应的事件的概率，利用分布列及期望定义即可求得．
【解答】解：（1）从表中可以看出，“创新性4分且实用性3分”的作品数量6件， ∴“创新性4分且实用性3分”的概率
．
（2）由表可知“实用性”得y1分，2分，3分，4分5分，五个等级， 且每个等级分别5件，b+4件，15件，15件，a+8件． ∴“实用性”得y 的分布列为：
又∵“实用性”得分的数学期望，
∴
+
．
∵作品数量共50件，a+b=3
解a=1，b=2．
24．某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题
的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）利用5个题目做完只错了一个的概率为．列出方程求解即可．
（2）求出随机变量ξ的情况，求出对应的概率，得到分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）由题意得
，解得
（2）该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，ξ的值分别为：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12．分布列为：
Eξ=+3×+4×
=7．
2016年10月28日。