备战高考数学(精讲+精练+精析)专题5.1 平面向量的概念

专题5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理

【三年高考】

1. 【2016年高考北京理数】设a r ，b r

是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】D

【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥r r r r r r r r r r r r

，故是既不充分也不必要条件，故选

D.

2．【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（） （A ）8

5

-

（B ）8

1

（C ）

4

1 （D ）

811

【答案】B

【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24

DF DE b a ==-u u u r u u u r r r

，

1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴253531

44848

AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.

3．【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2

=|a |2

+|b |2

,则m =. 【答案】2-

【解析】由2

2

2

||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.

4．【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r

，

1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r

的值是 .

【答案】7

8

5．【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r

，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u u

r u u u r (B)1433

AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r

（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)41

33

AD AB AC =-u u u u u u u r

u u u r u u u r

【答案】A

【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433

AB AC -+u u u

r u u u r ，故选A.

6.【2015高考北京，理13】在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r

，

则x = ；y = ．

【答案】

11

,26

-

7.【2015高考新课标2，理13】设向量a r ，b r 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r

平行，则实数λ=_________．

【答案】

12

【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r 平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,

k k λ=⎧⎨=⎩，所以1

2λ=．

8.【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. 【答案】3-

【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-

9.【2015高考浙江，理15】已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足125

2,2

b e b e ⋅=⋅=r r r r ，

且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r

，则0x = ，0y = ，

b =r

．

【答案】1，2，22.

【解析】问题等价于12()b xe ye -+r u r u u r

当且仅当0x x =，0y y =时取到最小值1，两边平方即 xy y x y x ||+--++542

2

在0x x =，0y y =时，取到最小值1，2245|b |x y x y xy ++--+r

22(4)5||x y x y b =+--+r 22243

()(2)7||24y x y b -=++--+r ，∴⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+-=-=-+22||211||702024002

000b y x b y y x .

10.【2014福建,理8】在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）

A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B

【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有)2,5(),2,1(21-=-=e e 成立. 11. 【2014陕西，理13】设2

0π

θ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a ρρ

=，若b a ρρ//，则=θtan _______.

【答案】

1

2