有限体积法通量向量分裂格式在射流中的应用

有限体积法通量向量分裂格式在射流中的应用
聂
赟，马大为，乐贵高，杨风波
( 南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094)
摘要: 该文采用有限体积法通量向量分裂格式数值模拟了喷管欠膨胀射流外流场。

分析了不
同欠膨胀压比下的喷管自由喷流流场。

在空间方向采用通量向量分裂格式对E u l e r方程进行
离散，在时间方向采用多步Ｒun ge-K u tt a方法进行离散。

计算反映了不同外流情况下欠膨胀射
流对流场的影响。

结果显示，通量向量分裂格式能够较好地捕捉到激波、滑移线以及激波交点
等组成的复杂流场结构，在激波面上不会产生伪振荡和抹平现象，说明采用通量向量分裂格式
模拟喷管射流是可行的。

关键词: 欠膨胀射流;通量向量分裂格式;外流场;激波
中图分类号: V211．3 文章编号: 1005 －9830( 2013) 05 －0659 －05
Application of flux v e c t o r s p li tt i n g scheme in j e t based on
f i n i t e v o l um e m e t h o d
N i e Y un，M a D a w e i，L e G u i gao，Y a n g F e n g b o
( S c h oo l o f M ec h a n i ca l E n g i n ee r i n g，NU ST，N a n ji n g 210094，C h i n a)
Ab s t r ac t:The fl u x vec t o r s p litti n g s c h e m e based on t h e fi n it e vo l u m e m e t h o d is a d o p t e d t o s i m u l a t e
nu m e r i ca ll y t h e n o zz l e und e r ex p a nd e d j e t o u tfl o w-fi e l d． The nu m e r i ca l m e t h o d is used f o r s i m u l a ti n g
t h e d iff e r e n t n o zz l e und e r ex p a nd e d f r ee j e t fl o w s． The E u l e r e qu a ti o n s a r e d i s c r e ti z e d u s i n g t h e fl u x vec t o r s p litti n g s c h e m i n space，and m u lti-s t e p Ｒun ge-K u tt a m e t h o d i n ti m e r e s p ec ti ve l y． The e ff ec t
o f t h e und e r ex p a nd e d j e t o u tfl o w-fi e l d o f d iff e r e n t co n fi g u r a ti o n s on t h e fl o w fi e l d a r e ca l c u l a t e d． Th e
r e s u lt s s h o w t h e co m p li ca t e d fl o w fi e l d s t r u c t u r e s i n c l ud i n g shock w ave s and s li p s t r ea m s a r e w e ll
ca p t u r e d u s i n g t h e fl u x vec t o r s p litti n g s c h e m e w it h no nu m e r i ca l o s c ill a ti o n and a r tifi c i a l v i s co s it y，and t h e fl u x vec t o r s p litti n g s c h e m e is s u it a b l e f o r s i m u l a ti n g t h e n o zz l e und e r ex p a nd e d j e t o u tfl o w-
fi e l d．
K e y w o r d s:und e r ex p a nd e d j e t;fl u x vec t o r s p litti n g s c h e m e;o u t fl o w-fi e l d;shock w ave s
收稿日期: 2012 －06 －05修回日期: 2012 －09 －05
基金项目: 国防基础科研项目
作者简介: 聂赟(1986 －) ，男，博士生，主要研究方向:计算空气动力学，E-m a il:n i ey un860413@126．co m;通讯作者:马大为(1952 －) ，博士，教授，博士生导师，主要研究方向:火箭导弹发射系统总体设计，机电系统
动力学与控制，E-m a il:m a d a w e i@m a il．n j u s t．e du．c n。

引文格式: 聂赟，马大为，乐贵高，等．有限体积法通量向量分裂格式在射流中的应用［J］．南京理工大学学报，2013，37(5): 659 －663．
投稿网址: h tt p://n jl g d xx b．p a p e r o n ce．o r g
660
南京理工大学学报 第 37 卷第 5 期
燃气射流在航空航天领域应用十分广泛，飞行 器通过发动机喷管产生的推力获得动力实现飞行。

由于喷管射流的物理参数随喷管外形和飞行条件 不同而变化很大，这些变化严重影响飞行器受力及 姿态
［1］。

因此，需要开展喷管射流的数值计算并研
究其气动特性。

其中，喷流实验是一种能够较好地 研究射流流场的方法，但是，由于此类实验的复杂 性及高昂的费用，用数值计算方法分析射流流场是 当前受到关注的研究方向
［2，3］。

目前，国内外发展
了许多此类流动的数值计算方法，如 T VD 、NND 、和
E NO 等，可以很好地捕捉激波
［4 － 7］。

国内对喷流流 场的研究已经处于发展及工程计算阶段
［8 － 11］
，周
维等采用 NND 格式，对尖锥 /圆柱组合体在超音速 绕流中的侧向喷流干扰流场进行了模拟［12］
; 李栋
等对矢量推力飞机喷流 － 外流干扰流场进行了分
析研究
［13］
; 乔阳等基于无限插值理论和多块网格
技术，计算了大气层内高超音速拦截导弹带多个横 向喷流的瞬态干扰流场
［14］。

喷管射流流场具有复杂的波系结构，将 出 现 激波、滑移线以及三波交点等复杂的流动现象，喷 管后体流场结构的变化及激波结构对气动性能的 影响占主导地位。

自由来流和射流参数、喷管位置等对 流 场 都 会产生影响。

模拟射流流场时，通常是改变其中 一个参数而固定其余参数，研究其变化规律。

本 文采用基于有限体积法的通量向量分裂格式研究 了不同欠膨胀压比下喷管自由喷流流场机理，包 括复杂的波系结构，得到中心轴线物理参数分布。

计算结果表明，该方法对马赫盘位置的数值预测 与实验结果吻合较好，对激波有较强的捕捉能力， 说明该方法用于喷管射流计算是恰当的，对工程 应用有指导意义。

和 E 分别是密度，x ，y 方向的速度分量，压强和单
位体积的总能量，对于理想气体要求满足状态方 程 p = ( γ － 1) ρe ，γ 是比热比。

1． 2 有限体积法和空间离散
在数值模拟 中，对 方 程 组 ( 1) 矢 量 形 式 的 空 间离散形式采用有限体积法。

将计算空间离散为 具有有限体积的小单元，并将计算得到的所需变 量值存储在单元体的中心。

控制方程( 1) 采用矢量形式表示如下 Q + ·珝F ( 2) = S C t
式中: Q =［ρ，ρu ，ρv ，E ］ ，珝F = F ^i + G ^j ，C 表 示 T C C C 对流项。

对流通量 F C 为
2
T
F C =［ρu ，ρu + p ，ρuv ，( E + p) u ］
G C 也可以写成相似的形式。

为了离散流动控制方程
( 3)
d d t
∫ Q d V + ∫ ·珝F C d V = S d V ( 4)
采用应用散度定理有
d
d t ∫
Q d V + ∫
珝F C d A = S d V ( 5)
对于有离散体和区域组成 的 网 格 来 说，方 程 ( 5)
变化为
N f ace
+ ∑ 珝F C f = 1 ( Q V ) ，·n ^ n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 ，Δ A ，
= S Δ f f f t V n + 1
( 6)
式中: n ^ 表示单元曲面法向，ΔA f 表示单元表面面 积，ΔV 表示单元体积。

通过暂时略去某些下标给出线性化通量向量 F F n + 1
n f ( 7) = F f + Q ΔQ f f S Q S n + 1
n ( 8)
ce l l = S ce l l +
ΔQ ce ll δQ V = V
n + 1
ΔQ n － Q n δV
n
( 9)
式中: F f S
1 通量向量分裂方法
Q 和 Q 分别为通量雅可比行列式和源项
雅可比行列式。

1． 3 空间数值方法
通量向量分 裂 法 基 于 V a n-l ee r 格 式，通 量 向 量分裂法对对流通量分裂为
1． 1 控制方程
轴对称无粘 E u l e r 方程组表示为 U F ( U ) G ( U )
= S ( U ) Ω ×
( 0，T ) + + t x y
L Ｒ +
－ F f = F f + F f =
F f + F f ( 10)
( 1)
= ［ρu ，ρu 2
+ p ， 定义表面法向马赫数 Ma n = ( V'n ) / c ，其中 V'n 为垂 直于单元表面的速度。

式中: U = ［ρ，ρu ，ρv ，E ］T ，F ( U ) ρuv ，( E + p) u ］T
，G ( U ) =［ρv ，ρuv ，ρv 2
+ p ，( E + p)
L +
= F f ; Ma n ＜ 对于 Ma n ≥1 有 F f = F f － 1 有
v ］T
，S ( U ) = －
ρv ［1，u ，v ，( E + p) / ρ］T ，ρ，u ，v ，p Ｒ －
F f = F f = F f 。

对于 1≥Ma n ≥ － 1 有
y
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总第 192 期
聂 赟 马大为 乐贵高 杨风波 有限体积法通量向量分裂格式在射流中的应用
( － v n ± 2c ) n x
1，
u + ( － v n ± 2c ) n y
间方向的迭代格式中引入局部斜率限制器，其思
想是限制一阶斜率［15］，表达式为 m [
F ± = F ± ，v + ， q 2 + v 2 T
－ v ±2c ]
2
{
a 1
| a 1 | ≤M Δx
n n + 2( r 2
－1 ( 11) 2 )
2
m 珚( a ，…，a ) = s m i n
| a | s = s i g n ( a ) ( 16) 1 m i i 1 ρc ( Ma n ± 1) F ± 0
o t h e r w i s e
=
( 12) m
4
计算时 M 取值见文献［
16］。

q 2 = u 2 + v 2
式中: n x ，
n y 为表面法向矢量。

通量向量线性化为
( 13)
2 计算结果与分析
F n + 1
n
+ n
－ n
= F c ，f +
( A + A ) ΔQ ( 14)
C ，f 图 1 为发动机喷管喷流计算区域，取［0∶ 11］ ×［0∶ 4］，计算区域内网格为 80 × 80。

喷 管 尺 寸 与流动参数见表 1，其中 d e 为喷口直径，l 为喷管 长度，
r 和 Ｒ 分别为喷管出口的内外径，Ma ∞ 为外 流马赫数，
Ma j 为 喷管喷流马赫数，p j / p ∞ 为 喷 管 喷流与外 流 场 压 力 比，
T j / T ∞ 为喷管喷流与外流 场温度比。

喷管出口是流入边界条件，而右端出 口处可以认为气流参数已不存在梯度，是自由出 流边界条件。

喷管及壁面是固壁，采用镜面反射 原理来处理。

确定 Q L
和 Q Ｒ ，
L 和 Ｒ 是单元表面的左边和右边 的外推变量值。

通过外推原始变量值，构造左边 和右边的守恒变量值。

多步 Ｒun g e -Kutta 时间离散 离散方程的求解通过时间步进法实 现，采 用 多步 Ｒun ge -K u tt a 法数值求解方程组。

在 加 入 限 制器的条件下，当用通量向量分裂法进行空间离 散时，数值解的精度在空间上可以达到二阶，因 此，为了和空间上保持一致高阶精度，时间方向采 用多步的 Ｒun ge -K u tt a 法。

首 先 将 时 间［0，T ］剖
1． 4 分为: { t n } N ，Δt n = t n + 1
－ t n ，n = 0，…，N － 1。

n = 0
对方程进行时间积分有 ( ΔV ) d Q = ＲH S( Q )
( 15)
d t N f ace
= ∑ F C ，f d A 。

式中: ＲH S( Q ) f = 1 多步 Ｒun ge -K u tt a 格式写成 Q 0 = Q n
图 1 计算区域
表 1 流场参数值
Ma ∞ M a j p j / p ∞ T j / T ∞ 工况
n
Δt r h s ( Q 0 ) Q 1 = Q 0 + α 1 2 0． 0 0． 0 1． 0 1． 0 2． 0 50． 0 1． 0 1． 0 1
ΔV
n
Δt r h s ( Q 1 ) Q 2
= Q 0
+ α 2
ΔV
3 3． 42 1． 0 60． 0 1． 0
图 2 给 出 了 工 况 1 的压力等值线图 ( 图 2
( a ) ) 和马赫数等值线图 ( 图 2 ( b ) ) 。

由 图 2 可 见，由反射激波与斜激波组成的流场结构交替产 生，射流与静止外流间的对流作用，流场中产生接 触间断。

边界层附近区域出现 K e l v i n-H e l m h o lt z 不稳 定 性，在流场下游趋于明显，与 实 验 纹 影 图 ( 图 2( c ) ) 反映的流动特性基本吻合。

图 3 给 出 了 工 况 2 的压力等值线图 ( 图 3 ( a ) ) 和马赫数等值线图( 图 3( b ) ) 。

从图 3 可以 看到，马赫数为 1 的射流在喷管出口开始膨胀，压 力剧烈下降，气流加速，形成波胞结构。

与图 2 相 比有明显的马赫盘结构，马赫盘下游，流场会趋于
n Δt r h s ( Q m － 1 ) Q m
= Q 0
+ α
Q n + 1 = Q m m ΔV 1 n
式中: 权重系数 α1 = m － i － 1
，Δt 为时间步。

多步 Ｒun ge -K u tt a 格 式 在 m = 1 时 为 一 阶 时 间精度，
m ≥2 时为二阶时间精度。

通量向量分裂 法对时间步长有严格的稳定性限制条件，用多步
Ｒun ge -K u tt a 显示时间步进格式 进行时间离散时 的时间步有 CFL 条件限制。

1． 5 斜率限制器
在高阶情况下，为了提高方法的稳定性，在时
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不稳定，结构不再明显，由于压力增大，流场只能
形成一个波胞。

图4 为工况2 情况下，采用不同
数值格式时流场中心轴线的物理参数分布，其中，
ρ/ρ0j是局部密度与喷管出口滞止密度比;p/p0j是
局部压力与喷管出口总压比。

从图 4 可以看出，
采用通量向量分裂格式计算喷管射流气动参数，
与NND［17］格式结果吻合较好，表明本文方法对
激波具有较好的捕捉能力。

计算射流问题是合适的。

图4中心轴线物理参数分布( 工况2)
图2 等值线图和实验纹影图( 工况1)
图5等值线图( 工况3)
图3 等值线图( 工况2)
图5(a) 和图5(b)分别为工况3 的压力等值
线图和马赫数等值线图。

由于压力比进一步增
大，在有超声速外流情况下，射流在喷管出口被压
缩，同工况 2 相比，出现典型的γ波系和喷流与来
流滑移面。

此外，喷管出口第一道斜激波后面形
成膨胀波，遇到射流边界并受到外流流动压缩反
射，射流激波与反射激波相交，能够很好的反映射
流的流动特性。

图6 是工况3 情况下中心轴线物理参数分布
比较图，其中p/p∞是局部压力与自由来流压力之
比，Ma 是局部马赫数。

从图 6 可以看出，计算结
果与E NO格式［17］结果吻合很好，表明本文方法图6中心轴线物理参数分布( 工况3)
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总第 192 期
聂 赟 马大为 乐贵高 杨风波 有限体积法通量向量分裂格式在射流中的应用
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根据计算结果分析可以看出，采用基 于 有 限 体积法的通量向量分裂格式对不同欠膨胀压力比 下的射流问题进行数值模拟，得到的由马赫盘、斜 激波和反射激波等组成的流场结构清晰有效。

在 不同流场条件下能够有效地模拟射流问题，计算 结果与其他数值格式结果吻合较好，鲁棒性好，分 辨率高，表明该方法在射流的数值计算中是一种 很好的预测手段。

但是，因为真实射流问题包含 化学反应，需要考虑射流的 总 温 比，因 此，采 用 N
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