贵州省2022年高考[理数]考试真题与答案解析

贵州省2022年高考[理科数学]考试真题与答案解析
一、选择题
本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若，则
（ ）
1z =-1
z
zz =-
A. B. C. D. 1-+1-13-+13-参考答案：C
【详解】1(1113 4.
z zz =-=-+-=+=
故选 ：C 113z zz ==--2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
参考答案：B
【详解】讲座前中位数为
,所以错；70%75%
70%2
+>A 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷80%,485%90%答题的正确率的平均数大于,所以B 对；
85%讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
100%80%20%-=讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.95%60%35%20%-=>D 故选:B.
3. 设全集，集合，则（
）
{2,1,0,1,2,3}U =--{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣()U A B ⋃=ðA. B. C. D. {1,3}{0,3}{2,1}-{2,0}
-参考答案：D
【详解】由题意，，所以,
{}
{}2
=4301,3B x x x -+=={}1,1,2,3A B ⋃=-所以.故选：D.
(){}U 2,0A B ⋃=-ð4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（
）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
参考答案：B
【详解】由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积。

故选：B.24
22122
V +=
⨯⨯=5. 函数
在区间的图象大致为（ ）
()33cos x x
y x -=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
A. B.
C. D.
参考答案：A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，()()33cos ,,22x x
f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦
则，所以为奇函数，排除BD ；
()()()()()33cos 33cos x x x x
f x x x f x ---=--=--=-()f x 又当时，，所以，排除C 。

故选：A.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
330,cos 0x x x -->>()0f x >6. 当时，函数取得最大值，则（ ）1x =()ln b
f x a x x
=+2-(2)f '=A. B. C.
D. 1
1
-12
-
12
参考答案：B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
()12f =-()10f '=,a b ()f x '【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而
()f x ()0,∞+()12f =-()10f '=，所以，即，所以，因此函数()2a b
f x x x '=
-2,0b a b =--=2,2a b =-=-()222f x x x
'=-+()f x 在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．()0,1()1,+∞1x =()11
2122
f '=-+=-故选：B.
7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
1111ABCD A B C D -1B D ABCD 11AA B B 30°A. B. AB 与平面所成的角为2AB AD =11AB C D 30°C. D. 与平面所成的角为1AC CB =1B D 11BB C C 45︒
参考答案：D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．【详解】如图所示：
不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为
1,,AB a AD b AA c ===1B D ABCD ，与平面所成角为，所以，即
，1B DB ∠1B D 11AA B B 1DB A ∠11sin 30c b B D B D ==
b c =
，解得．
12B D c ==a =
对于A ，，，，A 错误；
AB a =AD b =AB =对于B ，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，B 1BE AB ⊥E BE ⊥11AB C D AB 11AB C D BAE ∠
因为，B 错误；tan c BAE a ∠=
=30BAE ∠≠
对于C ，，，，C
错误；AC =
=1CB ==1AC CB ≠对于D ，与平面所成角为，，而1B D 11BB C C 1DB C
∠11sin 2CD a DB C B D c ∠=
==，所以．D 正确．1090DB C <∠< 145DB C ∠= 故选：D ．
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在上，．
“会 AB AB CD AB ⊥圆术”给出的弧长的近似值s 的计算公式：．当时， AB 2
CD
s AB OA
=+
2,60OA AOB =∠=︒
s =（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.OC ,,AB OC CD 【详解】解：如图，连接，OC 因为是的中点，C AB 所以，
OC AB ⊥又，所以三点共线，CD AB ⊥,,O C D 即，2OD OA OB ===又，
60AOB ∠=︒所以，则
，
2AB OA OB =
==OC =2CD =
所以
B.
2
2CD s AB OA
=+=+
=
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，
2πS 甲S 乙体积分别为和．若，则（ ）V 甲V 乙=2S S
甲乙=V
V 甲
乙A.
B. C.
D.
参考答案：C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
l 1r 2r 则
，所以，1
122
2S rl r S r l r ππ===甲乙122r r =又，则，所以，12222r r l l πππ+=121r r l +=12
21
,33
r
l r l ==所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，
1
h ==
2h ==所以
.211
2221313r h V V r h ππ===甲乙
故选：C.
10. 椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>线的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
,AP
AQ 1
4A.
B.
C.
D.
12
13
参考答案：A
【分析】设，则
，根据斜率公式结合题意可得，再根据()11,P x y ()11,Q x y -212211
4
y x a =-+，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.22
11221x y a b
+=1y 1x 【详解】解：，设，则，
(),0A a -()11,P x y ()11,Q x y -
则，故，1111,AP
AQ y y k k x a x a ==+-+21112211114
AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+又，则，所以
，即，22
11221x y a b +=()
2
2
2
1
21
2
b a x y a -=()22212
22
114
b a x a x a -=-+2214b a =所以椭圆的离心率 A.
C c e a ===11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
π()sin 3f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭(0,π)ω（
）
A. B. C. D. 513,36⎫⎡⎪
⎢⎣⎭
519,36⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
138,63⎛⎤ ⎥
⎝⎦
1319,66⎛⎤ ⎥
⎝⎦
参考答案：C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得
x 3
x π
ω+即可．
【详解】解：依题意可得，因为
，所以，0>ω()0,x π∈,333x π
π
πωωπ⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：()0,πsin y x =,33x π
π⎛
⎫
∈
⎪⎝⎭
则
，解得，即．5323ππωππ<+≤13863ω<≤138,63ω⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
故选：C ．12. 已知，则（ ）
3111
,cos ,4sin 3244
a b c =
==
A. B. C. D. c b a >>b a c >>a b c >>a c b
>>参考答案：A 【分析】由
结合三角函数的性质可得；构造函数1
4tan 4
c b =c b >，利用导数可得，即可得解.2
1()cos 1,(0,)2
f x x x x =+
-∈+∞b a >【详解】因为,因为当14tan 4c b =π0,,sin tan 2x x x x
⎛⎫
∈<< ⎪⎝⎭所以,即,所以；设，
11tan
44>1c
b >
c b >21()cos 1,(0,)2
f x x x x =+-∈+∞，所以在单调递增，则,所以，
()sin 0f x x x '=-+>()f x (0,)+∞1(0)=04f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭131cos 0432->所以,所以，b a >c b a >>故选：A
二、填空题
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
a b 1
3
1a = 3b =r ()
2a b b +⋅= 参考答案：11
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根
a b θ1
cos 3θ=a b ⋅ 据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
a b θa b 131
cos 3
θ=又，，所以，
1a = 3b =r 1
cos 1313
a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= 所以．
()
2
22
22221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= 故答案为：．
1114. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
22
21(0)x y m m
-=>22
430x y y +-+=m =
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
()2
2
210x y m m
-=>y x m =±0x my ±=不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
0x my +=22
430x y y +-+=()2
221x y +-=()0,21r =依题意圆心到渐近线的距离，
()0,20x my +
=1d ==解得或
m =
m =15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．参考答案：
.6
35
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有
844
8C 70n ==4个，故所求概率．6612m =+=1267035
m P n =
==故答案为：
．635
16. 已知中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，ABC 120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==AC
AB
________．
BD =1
-【详解】设，
220CD BD m ==>则在中，，ABD △22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++在中，，
ACD △22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-所以()()()2
2222244212144412
43424211
m m m AC m m AB m m m m
m m ++-++-===-
++++++
+
，当且仅当
即时，等号成立，
44≥=
-3
11
m m
+=
+1m =-所以当取最小值时，.
AC
AB
1m =-1-三、解答题
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．
17. 记为数列的前n 项和．已知．n S {}n a 221n
n S n a n
+=+（1）证明：是等差数列；
{}n a （2）若成等比数列，求的最小值．479,,a a a n S 参考答案：（1）证明见解析；
（2）．
78-【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到
2
22n n S n na n +=+11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，从而得证；
11n n a a --=（2）由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函1a {}n a n 数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为
，即①，221n
n S n a n
+=+222n n S n na n +=+当时，②，
2n ≥()()()2
1121211n n S n n a n --+-=-+-
①②得，，-()()()221
12212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----即，
()12212211n n n a n na n a -+-=--+即，所以，且，
()()()1212121n n n a n a n ----=-11n n a a --=2n ≥N*n ∈所以是以为公差的等差数列．
{}n a 1【小问2详解】
解：由（1）可得，，，
413a a =+716a a =+918a a =+又，，成等比数列，所以，
4a 7a 9a 2749a a a =⋅即，解得，
()()()2
111638a a a +=+⋅+112a =-所以，所以，13n a n =-()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=-- ⎪⎝⎭所以，当或时．
12n =13n =()min 78n S =-
18. 在四棱锥中，底面．
P ABCD -PD ⊥,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥
（1）证明：；
BD PA ⊥（2）求PD 与平面所成的角的正弦值．
PAB
参考答案：（1）证明见解析； （2【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直DE AB ⊥E CF AB ⊥F AD BD ⊥的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
PD BD ⊥BD ⊥PAD （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
D 【小问1详解】
证明：在四边形中，作于，于，
ABCD DE AB ⊥E CF AB ⊥F 因为，
//,1,2CD AB AD CD CB AB ====
所以四边形为等腰梯形，所以，ABCD 12AE BF ==
故
，DE =BD ==222AD BD AB +=所以，因为平面，平面，
AD BD ⊥PD ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，又，所以平面，
PD BD ⊥PD AD D ⋂=BD ⊥PAD
又因平面，所以；
PA ⊂PAD BD PA ⊥【小问
2详解】
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，
D BD =则，()(
)(
1,0,0
,,
A B P 则
，(((,0,,AP BP DP =-==
设平面的法向量，则有，可取
，PAB (),
,n x y z = 0{0
n AP x n BP
⋅=-=⋅=+= )n
= 则与平面
cos ,n DP n DP n DP ⋅== PD PAB
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
参考答案：（1）；
（2）分布列见解析，.
0.6()13E X =【小问1详解】
设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
,,A B C ()()()()
P P ABC P ABC P ABC P ABC =+++．0.50.40.80.50.40.80.50.60.80.50.40.2=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.160.160.240.040.6=+++=【小问2详解】
依题可知，的可能取值为，所以，,
X 0,10,20,30()00.50.40.80.16P X ==⨯⨯=，
()100.50.40.80.50.60.80.50.40.20.44P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.
()300.50.60.20.06P X ==⨯⨯=即的分布列为
X X
0102030P 0.160.440.340.06
期望.
()00.16100.44200.34300.0613E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20. 设抛物线的焦点为F ，点，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当
2:2(0)C y px p =>(),0D p 直线MD 垂直于x 轴时，．
3MF =（1）求C 的方程；
（2）设直线与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线的倾斜角分别为,MD ND ,MN AB ．当取得最大值时，求直线AB 的方程．
,αβαβ-
参考答案：（1）； （2）.
24y x =:4AB x =+
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；=2
p MF p +（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的:1MN x my =+2MN AB k k =正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解
.AB k
=
:AB x n =+【小问1详解】
抛物线的准线为，当与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，2p x =-
MD 此时，所以，=32
p MF p +=2p =所以抛物线C 的方程为；
24y x =【小问2详解】
设，直线，222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭:1MN x my =+由可得，，214x my y x
=+⎧⎨=⎩2440y my --=120,4y y ∆>=-由斜率公式可得，，12221212444MN y y k y y y y -==+-34223434444
AB y y k y y y y -==+-直线，代入抛物线方程可得，112:2x MD x y y -=⋅+()121
4280x y y y --⋅-=，所以，同理可得，
130,8y y ∆>=-322y y =412y y =所以()34124422
MN
AB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为，
,αβ所以，tan tan 22
MN AB k k αβ===若要使最大，则，αβ-0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
设，则，220MN AB k k k ==>(
)2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++
当且仅当即
12k k =k =所以当
最大时，，设直线，αβ
-AB k =:AB
x n =+代入抛物线方程可得，
240y n --=，所以，
34120,4416y y n y y ∆>=-=
=-4n =所以直线.
:4AB x =+【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
21. 已知函数．()ln x
f x x a x
x e -=+-（1）若，求a 的取值范围；
()0f x ≥（2）证明：若有两个零点，则环．
()f x 12,x x 121x x <参考答案：（1） （2）证明见的解析
(,1]e -∞+【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦【小问1详解】的定义域为，
()f x (0,)+∞2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令,得。

当单调递减
()0f x =1x =(0,1),()0,()x f x f x '∈<当单调递增，
(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞()(1)e 1f x f a ≥=+-若,则,即。

所以的取值范围为()0f x ≥e 10a +-≥1a e ≤+a (,1]
e -∞+【小问2详解】
由题知,一个零点小于1,一个零点大于1
()f x 不妨设12
1x x <<要证,即证，因为,即证121x x <121x x <121,(0,1)x x ∈()121f x f x ⎛⎫>
⎪⎝⎭
因为,即证，()()12f x f x =()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x
-+--->∈+∞即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦下面证明时，1x >1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭
设，11(),e e x
x g x x x
x =->则11122111111()e e e 1e e 1x x x x x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111e 1e 1e e x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭
'> ⎝所以,而()()1e x ϕϕ>=1
e e
x <所以,所以1e e 0x
x x ->()0g x '>所以在单调递增
()g x (1,)+∞即,所以()(1)0g x g >=1e e 0x
x x x
->令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭
22
22211121(1)()10222x x x h x x x x x
----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭所以在单调递减
()h x (1,)+∞即,所以；()(1)0h x h <=11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
综上, ,所以.1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦121x x <
（二）选考题
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线的参数方程为xOy 1
C 26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩
2C （s 为参数）
．26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩
（1）写出的普通方程；
1C （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为3C ，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标．
2cos sin 0θθ-=3C 1C 3C 2C 参考答案：（1）；
()2620y x y =-≥（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．31,C C 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,232,C C 1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
()1,2--【小问1详解】因为，，所以，26t x +
=y =2
26
y x +=即的普通方程为．
1C ()2620y x y =-≥【小问2详解】
因为，所以，即的普通方程为
，2,6
s x y +=-=262x y =--2C ()2620y x y =--≤由，即的普通方程为．
2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=3C 20x y -=联立，解得：或，即交点坐标为，；()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
12x y =⎧⎨=⎩1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2联立，()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩
解得：或，即交点坐标为，．121
x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩12x y =-⎧⎨=-⎩1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1,2--
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a ，b ，c 均为正数，且，证明：
22243a b c ++=（1）；
23a b c ++≤（2）若，则．2b c =113a c
+≥参考答案：（1）见解析
（2）见解析
【小问1详解】
证明：由柯西不等式有，()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦所以，
23a b c ++≤当且仅当时，取等号，
21a b c ===所以；
23a b c ++≤【小问2详解】
证明：因为，，，，由（1）得，2b c =0a >0b >0c >243a b c a c ++=+≤即，所以，043a c <+≤1143
a c ≥+由权方和不等式知，()22212111293444a c a c a c a c
++=+≥=≥++当且仅当，即，时取等号，所以.124a c =1a =12c =113a c +≥。