【数学】湖北省汉川二中学年高二数学下学期期末考试试题

【关键字】数学

汉川二中2017～2018学年度下学期期末考试

高二数学（理）

考试时间：120分钟试卷满分150分

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个)

1. 抛物线的准线方程是（）

A．B．C．D．

2．设命题，则为( )

A．B．

C．D．

3. 已知命题；命题若,则．下列命题为真命题的是( )

A. B. C. D.

4. 设函数的导函数为，且，则（）

A．B．C．D．

5. 过双曲线C:的右焦点作直线l交该双曲线于两点，则满足的直线l有（）

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D.4条

6．函数，,若对, ,

,则实数的最小值是( )

A.11

B.12

C.13

D.14

7．如图,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,侧面与底面垂直，已知其正视图的面积为3,则其侧视图的面积为（）

A．B．C．D．

8．若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

9．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为( )

A．B．7 C．D．9

10. 椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（）

A．4 B. 2 C.1 D.

11.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）

A. 且

B. 且

C. 且

D. 且

12. 已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．复数的共轭复数是__________．

14.由直线，曲线及轴围成的图形的面积是 .

15. 已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为_________________．

16.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且

，则△的面积为________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．

18.（本小题满分12分）已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设函数.,,求的取值范围.

19.（本小题满分12分）已知命题，命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”

（1）若“”是真命题，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.

20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝PA ＝2，E ，F 分别为PB ，AD 的中点.

（1） 证明：AC ⊥EF ；

（2）求直线EF 与平面PCD 所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆E 的左焦点F 任作一直线l ，交椭圆E 于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的取值范围.

22.（本题满分12分）已知()212ln x f x x

+=． （1）求

()f x 的单调区间； （2）令()22ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；

（3）若存在

1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使|ln ln ||)()(|2121x x k x f x f ->-成立，求k 的

取值范围.

高二理科数学答案

一、选择题

1-5 D C B B C 6-10 D B D C A 11-12 A B

二、填空题

13、14i 14、1e - 15、1 16、 2

三、解答题

17解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ； （2分） 曲线C 的直角坐标方程为：1)2(22=+-y x （5分） （Ⅱ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则

所以d 的取值范围是[

1,1]22-+ （10分） （注：几何法略）

18．解：（1）当3a =时，()6f x ≤等价于233x x --≤ 当23≥x 时，解得]6,23[∈x ； 当 230〈〈x 时，解得)2

3,0(∈x 当0≤x 时，解得{}0∈x ； 所以解集为{}

06x x ≤≤. （5分） （2）当x ∈R 时，()()232f x g x x a a x +=-++-2323x a x a a a ≥-+-+=-+， 所以当x ∈R 时，()()5f x g x +≥等价于35a a -+≥.① （7分）

当5a ≤时，①等价于35a a -+≥，无解；

当3a >时，①等价于35a a -+≥，解得4a ≥， 所以a 的取值范围是[)4,+∞.（10分）

19．(Ⅰ)解：若p 为真，则21(1)4202

m ∆=--⨯⨯≥解得：m ≤－1或m ≥3 2分 若q 为真，则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩

解得：－4 < m < －2或m > 4 4分 若“p 且q ”是真命题，则13424

m m m m ≤或≥或-⎧⎨-<<->⎩解得：42m -<<-或m > 4 6分 ∴m 的取值范围是{ m |42m -<<-或m > 4} 7分 (Ⅱ)解：若s 为真，则()(1)0m t m t ---<，即t < m < t + 1 8分 ∵由q 是s 的必要不充分条件

∴{|1}{|424}m t m t m m m <<+-<<->或 9分

即412

t t -⎧⎨+-⎩≥≤或t ≥4 11分 解得：43t --≤≤或t ≥4

∴t 的取值范围是{ t |43t --≤≤或t ≥4} 12分

20. 解：(1)易知AB ，AD ，A P 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．