2019-2020年高中数学必修2课件课时跟踪检测 ：第1章(六) 直线与平面平行(苏教版)
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的一般式方程
课时跟踪检测 直线的一般式方程一、题组对点训练对点练一 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程： y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0对点练二 由含参一般式求参数的值或取值范围5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－(－2m )，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6.7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________． 解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 对点练三 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73， 解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎨⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.二、综合过关训练1．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．2或4解析：选C 因为直线l 2的斜率存在，故当l 1∥l 2时，直线l 1的斜率也一定存在，所以－1m ＝－m 4，解得m ＝±2. 2．直线cx ＋dy ＋a ＝0与dx －cy ＋b ＝0(c ，d 不同时为0)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．斜交D ．与a ，b ，c ，d 的值有关解析：选B d 与c 不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－c d ·dc ＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y－5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(六)平行关系的判定北师大版必修2
课时跟踪检测（六） 平行关系的判定一、基本能力达标1．能保证直线a 与平面α平行的条件是( )A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BDD ．a α，b α，a ∥b解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．2．圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不确定解析：选A 圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．3．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )A ．l ∥α，l ∥β，且l ∥γB ．l γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．α∩γ＝l ，且l ∥β解析：选C ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ⇒α与γ无公共点β∥γ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β.4.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M为PB 的中点．给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，所以点O 为BD 的中点．在△PBD 中，因为点M 是PB 的中点，所以OM 是中位线，OM ∥PD .所以OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA .因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交．故①②③正确．5．如图，下列正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C 在图A 、B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l ∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“lα”．答案：lα7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE平面ADE，而BF平面ADE，∴BF∥平面ADE.10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面D1EF.证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，因为DO DH ＝23＝DG DD 1， 所以GO ∥D 1H ，又GO 平面D 1EF ，D 1H 平面D 1EF ，所以GO ∥平面D 1EF .在△BAO 中，因为BE ＝EA ，BH ＝HO ，所以EH ∥AO .又AO 平面D 1EF ，EH 平面D 1EF ，所以AO ∥平面D 1EF ，又GO ∩AO ＝O ，所以平面AGO ∥平面D 1EF .二、综合能力提升1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 上的动点，则直线MC 1与平面AA 1B 1B 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行解析：选B 如图，MC 1平面DD 1C 1C ，而平面AA 1B 1B ∥平面DD 1C 1C ，故MC 1∥平面AA 1B 1B .2．平面α与△ABC 的两边AB ，AC 分别交于D ，E ，且AD ∶DB ＝AE ∶EC ，如图所示，则BC 与α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．BC ⊂α解析：选A 在△ABC 中，因为AD ∶DB ＝AE ∶EC ，所以BC ∥DE .因为BCα，DE α，所以BC ∥α.。
2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(二十三)直线与圆的位置关系北师大版必修2
课时跟踪检测（二十三） 直线与圆的位置关系一、基本能力达标1．直线4x ＋3y －40＝0与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相切或相离解析：选C 圆心O 到直线的距离d ＝|－40|5＝8＜10＝r ，∴直线与圆相交．2．直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2＝2截得的弦AB 长等于( ) A ．4 B ．2 C ．2 2D. 2解析：选C 直线y ＝kx 过圆心，被圆x 2＋y 2＝2所截得的弦长恰为圆的直径22，故选C.3．若直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B ．1 C. 2D ．2解析：选A 由d ＝r ，得|－1|12＋12＝r ，∴r ＝22. 4．圆心为(3,0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3，故选B.5．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 圆的圆心为(a,0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，∴－2≤a ＋1≤2，∴－3≤a ≤1.6．直线2x －y －1＝0被圆(x －1)2＋y 2＝2所截得的弦长为________．解析：圆心为(1,0)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－0－1|5＝15，弦长l ＝2r 2－d2＝22－15＝655. 答案：6557．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题意知，圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，∴|c |13＜1，∴－13＜c ＜13.答案：(－13,13)8．直线x ＋y ＋a ＝0(a ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且S △OAB ＝3，则a ＝________. 解析：∵圆心到直线x ＋y ＋a ＝0的距离d ＝|a |2，|AB |＝2×4－a 22，∴S △OAB ＝12×2×4－a 22×|a |2＝3，解得a 2＝6或a 2＝2.又a ＞0，∴a ＝6或 2. 答案：6或 29．求实数m ，使直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0. (1)相交；(2)相切；(3)相离．解：圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3,0)，半径为r ＝2， 圆心到直线的距离d ＝61＋m2.(1)若直线与圆相交，则d ＜r ，即61＋m2＜2，解得m ＜－22或m ＞2 2. (2)若直线与圆相切，则d ＝r ，即61＋m2＝2，解得m ＝－22或2 2.(3)若直线与圆相离，则d ＞r ，即61＋m2＞2，解得－22＜m ＜2 2. 10．已知圆C 满足以下条件：①圆上一点A 关于直线x ＋2y ＝0的对称点B 仍在圆上，②圆心在直线3x －2y －8＝0上，③与直线x －y ＋1＝0相交截得的弦长为22，求圆C 的方程．解：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵圆上的点关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上， ∴圆心在x ＋2y ＝0上， ∴a ＋2b ＝0. 又∵3a －2b －8＝0， ∴a ＝2，b ＝－1.∵圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22， ∴⎝⎛⎭⎪⎫|2＋1＋1|22＋(2)2＝r 2，∴r 2＝10， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝10. 二、综合能力提升1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上D ．不确定解析：选B 圆心C 到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2＜1，即a 2＋b 2＞1.故点P 在圆外．2．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．不确定解析：选C 由已知a 2＋b 2＞r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b2，则d ＜r ，故直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系是相交．3．若点P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．2x －y －5＝0D ．x －y －3＝0解析：选D 圆心是点C (1,0)，由CP ⊥AB ，得k AB ＝1，又直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为x －y －3＝0，故选D.4．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7D ．3解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7，故选C.5．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案：26．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的上半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线l 与曲线C 有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2)．答案：[1，2)7．圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)． ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， ∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25， ∴|2a ＋b ＋15|22＋12＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10， ① |2a ＋b －5|22＋12＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10, ② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12， ③ 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 探究应用题8.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为r .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2， 易得|MN |＝219，符合题意； ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 取MN 的中点Q ，连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， ∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.。
2020年新人教A版高中数学必修2同步课时跟踪检测：空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位
平面与平面之间的位置关系一、题组对点训练对点练一直线与平面的位置关系1 . M € l, N € l, N?a, M €a,则有（）A. I // a B . l ? aC . I与a相交 D.以上都有可能解析：选C 由符号语言知，直线I上有一点在平面a内，另一点在a外，故I与a相交.2 .在长方体ABCD-A i B i C i D i的六个表面与六个对角面（面AA1C1C、面ABC i D i、面ADC i B i、面BB i D i D、面A i BCD i及面A i B i CD）所在的平面中，与棱AA i平行的平面共有（）A. 2个 B . 3个C . 4个 D.5个解析：选B 如图所示，结合图形可知AA i /平面BC i, AA i/平面DC i, % ----------- Q AA i //平面BB i D i D. 丄______「”沪二1/3. 若直线a?平面a,则下列结论中成立的个数是（）①a内的所有直线与a异面；②a内的直线与a都相交；③a内存在唯一的直线与a平行；④a内不存在与a平行的直线.A. 0 B . iC . 2 D.3解析：选A •••直线a?平面a, •••直线a与平面a可能相交或平行.若a与a平行，则a 内与a平行的直线有无数条；若a与a相交，则a内的直线可以与a相交，也可以与a异面.故①②③④都不正确.4 .若直线I上有两点到平面a的距离相等，则直线I与平面a的关系是_______________ .解析：当这两点在a的同侧时，I与a平行；当这两点在a的异侧时，I与a相交.答案：平行或相交5.简述下列问题的结论，并画图说明：⑴直线a?平面a,直线b n a = A，贝U b和a的位置关系如何？（2）直线a? a,直线b// a,则直线b和a的位置关系如何？解：⑴由图①可知：b ? a 或b n a= A.(2)由图②可知：b ? a 或b //a③错.9 .三个平面 a 、3 Y ,如果 a // 3, n a= a , 丫门 3= b,且直线 c ? 3, c // b. (1)判断c 与a 的位置关系，并说明理由； (2)判断c 与a 的位置关系，并说明理由. 解：(1)c //a .因为all 3所以a 与3没有公共点，又C ? 3,所以c 与a 无公共点，则c//a .(2)c /a.因为a // 3,所以a 与3没有公共点，又 丫门a= a , Yn 3= b ,贝U a ? a, b ? 3 ,且a ,对点练二平面与平面的位置关系6 .若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线 (A •平行B •异面C •相交D.平行或异面解析：选D 两直线分别在两个平行平面内，则这两条直线没有公 点，所以分别在两个平行平面内的直线平行或异面•故选D.7 .如图所示，用符号语言可表示为 A . an p=B . all 3, I € a D. all 3, I ? a8 .平面a 与平面3平行， 且a ? a ,下列四种说法中 ① a 与3内的所有直线都平行； ② a 与3内无数条直线平行； ③ a 与3内的任意一条直线都不垂直； ④ a 与3无公共点. 其中正确的个数是( )A . 1B . 2C . 3D.4A 'B 'C 'D ABCD //平面 A ' B ' C ' DA ' DAB ?平面ABCD , A ' D '与AB 不平行，且 A ' D '与AB 垂直, 所以①/ 7共b ? Y 所以a , b 没有公共点.由于 a 、b 都在平面丫内，因此a lib,又c//b ,所以c//a.、综合过关训练1.若一条直线上有两点在已知平面外，则下列结论正确的是 （ ）A .直线上所有的点都在平面外B .直线上有无数多个点都在平面外C .直线上有无数多个点都在平面内D .直线上至少有一个点在平面内解析：选B 一条直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交.相交时有且只有一个点在平面内，故 A 、C 不对；直线与平面平行时，直线上没有一个点在平面内，故 D不对.2 .若直线a //平面a,直线b //平面a 则a 与b 的位置关系是（）A .平行D.以上都有可能解析：选D 如图所示，在正方体 ABCD-A I B I C I D I 中，A i B i /平面ABCD , A i D i // 平面 ABCD ,有 A i B i Q A I D I = A I ；又 D i C i // 平面 ABCD ,有 A 1B 1//D 1C 1； 取BB i 和CC I 的中点 M , N ，连接 MN ，贝U MN //平面 ABCD ，有 A i B i 与MN 异面•故选D.3 •若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是 （ ）A •三条交线为异面直线B .三条交线两两平行C •三条交线交于一点D .三条交线两两平行或交于一点解析：选D 三个平面两两相交， 有三条交线，三条交线两两平行或交于一点. 如三棱柱 的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是相互平行的；但有时三条交 线交于一点，如长方体的三个相邻的表面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点.4. a , b 是两条异面直线， A 是不在直线a , b 上的点，则下列结论成立的是 （ ）A .过A 有且只有一个平面同时平行于直线 a , bB .过A 至少有一个平面同时平行于直线a , bB •相交C •异面C .过A有无数个平面同时平行于直线a, bD .过A且同时平行于直线a, b的平面可能不存在解析：选D 直线a和点A确定一个平面，若b平行于这个平面，则a含于这个平面,故不存在过A且同时平行于直线a, b的平面，选D.5 .过三棱柱ABC-A i B i C i的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB I A I平行的直线共有_________ 条.冲i Dt Ci 解析：如图所示，与平面ABB i A i平行的直线有6条：D i E i, E i E, ED ,DD i, D i E, DE i.答案：66 .下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l, m是异面直线，I // a, m// 3,贝y all 3其中错误命题的序号为 _________ .解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A i B i C i D i, AB //平面DCC i D i, B i C i / 平面AA i D i D，又AB 与B i C i异面，而平面DCC i D i与平面AA i D i D相交，故②错误.答案：①②7 .试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？解：三个平面可把空间分成4（如图①）、6（如图②③卜7（如图④）或8（如图⑤）个部分.8.在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E、F分别为B i C i、A i D i的中点.求证：平面ABB i A i与平面CDFE相交.H0；③④证明：在正方体ABCD-A I B I C I D I中，E为B i C i的中点，二EC与B i B不平行,延长CE与BB I，延长线相交于一点H ,•••H € EC, H € B I B,又知B I B?平面ABB i A i,CE ?平面CDFE ,•••H € 平面ABB i A i, H € 平面CDFE , 故平面ABB i A i与平面CDFE相交.。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的点斜式方程
课时跟踪检测 直线的点斜式方程一、题组对点训练对点练一 直线的点斜式方程1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1. 2．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1 B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)解析：选C 由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y －1＝2(x ＋1)．3．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P (3,3)，所以直线l 的方程为x ＝3.答案：x ＝34．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.对点练二 直线的斜截式方程 5．直线y ＝ax －1a 的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a 可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．6．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.答案：y ＝－3x ＋27．直线y ＝kx ＋2(k ∈R)不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 解析：当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k >0时，直线过第三象限； 当k <0时，直线不过第三象限． 答案：(－∞，0]对点练三 两直线平行与垂直的应用8．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析：选A 在斜率存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率互为负倒数，则所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y －3＝－2(x ＋1)，即2x ＋y －1＝0.9．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 由a ＝2－a ，得a ＝1.10．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． 解：由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m . ∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m ，－23m ≠－6m ，解得m＝－1.∴m的值为－1.二、综合过关训练1．经过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是()A．y＝－x－3 B．y＝x＋3C．y＝－x＋3 D．y＝x－3解析：选C过点A(－1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程可以设为y－4＝k(x＋1)．令y＝0，得x＝－4k－1＝3，解得k＝－1，即所求直线方程为y＝－x＋3.2．已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－1n x－1n.若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为()A．－10 B．－2 C．0 D．8解析：选A∵l1∥l2，∴k AB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴⎝⎛⎭⎫－1n×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故选A.3．在同一直角坐标系中，直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2(k1>k2，b1<b2)的图象可能是()解析：选A在选项B、C中，b1>b2，不合题意；在选项D中，k1<k2，故D错．4．若AC＜0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－AB x－CB，∵AC＜0，BC＜0，∴AB＞0，∴k＜0，b＞0.故直线不通过第三象限，选C.5．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为________．解析：∵直线OP的斜率为－12，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2.∴直线的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)，化简，得y＝2x＋5.答案：y＝2x＋56．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．解析：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．答案：(3,2)7．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， ∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33. (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)． (2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 8．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程．解：设直线l 的斜截式方程为y ＝16x ＋b .则x ＝0时，y ＝b ，y ＝0时，x ＝－6b . 由已知可得12|b |·|－6b |＝3，即b 2＝1， 所以b ＝±1.从而所求直线l 的方程为y ＝16x －1或y ＝16x ＋1.。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线的两点式方程
课时跟踪检测 直线的两点式方程一、题组对点训练对点练一 直线的两点式方程1．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选D 由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简得x －y －1＝0.2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：选A 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.3．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 002，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A ．2 003 B ．2 004 C ．2 005D ．2 006解析：选C 直线l 的方程为y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 002，则b ＝2 005.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C.25D ．2解析：选A 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y3＝1，则在x 轴上的截距为－32. 对点练二 直线的截距式方程5．过P 1(2,0)、P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 3－y 2＝1C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.6．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 7．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．8．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 解：设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1. 则6a ＋1＋－2a＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0. 对点练三 直线方程的综合运用9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上， 由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3.∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫0，－12、N ⎝⎛⎭⎫52，0，由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y －12＝1，即y ＝15x －12.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0. 二、综合过关训练1．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27D ．27解析：选D 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27.2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0的图象如图，则 ( ) A ．若c ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若c ＞0，则a <0，b ＞0C ．若c ＜0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b ＞0解析：选D 由ax ＋by ＋c ＝0，得斜率k ＝－a b ，直线在x 、y 轴上的截距分别为－c a 、－cb .如题图，k <0，即－a b ＜0，∴ab >0.∵－c a ＞0，－cb ＞0，∴ac ＜0 ，bc ＜0.若c <0，则a >0，b >0；若c >0，则a ＜0，b ＜0.3．下列命题中正确的是( )A ．经过点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可用方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x－x 1)表示D ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示解析：选C A 中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x ＝x 0；B 中经过定点A (0，b )的直线x ＝0无法用y ＝kx ＋b 表示；D 中不经过原点但斜率不存在的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示．只有C 正确，故选C.4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的( )解析：选B 由x m －y n ＝1，得到y ＝n m x －n ；又由x n －y m ＝1，得到y ＝mn x －m .即k 1与k 2同号且互为倒数．5．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．解析：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1.答案：x 2＋y3＝16．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．解析：设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点， ∴⎩⎨⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式得l 的方程为x －2＋y4＝1， 即2x －y ＋4＝0. 答案：2x －y ＋4＝07．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．解：根据题意，设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， 由题意，知a >2，b >1，∵l 过点M (2,1)，∴2a ＋1b ＝1，解得b ＝a a －2，∴△AOB 的面积S ＝12ab ＝12a ·a a －2，化简，得a 2－2aS ＋4S ＝0. ①∴Δ＝4S 2－16S ≥0，解得S ≥4或S ≤0(舍去)． ∴S 的最小值为4，将S ＝4代入①式，得a 2－8a ＋16＝0，解得a ＝4， ∴b ＝aa －2＝2.∴直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)， 由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二培优课时跟踪检测(十四) 直线与平面垂直的性质 平
姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十四）直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质一、题组对点训练对点练一直线与平面垂直的性质1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位置关系是( ）A．相交B．异面C．平行 D.垂直解析:选D 由题意可知l⊥α,所以l⊥m。
2．已知直线a，b,平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )A．b∥αB．b⊂αC．b⊥α D.b与α相交解析：选C 由线面垂直的性质定理可知,当b⊥α，a⊥α时，a∥b.3．如图，四棱锥S。
ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD,E，F分别是SD，SC的中点．求证:（1）BC⊥平面SAB；（2)EF⊥SD.证明:（1)∵四棱锥S。
ABCD的底面是矩形,∴AB⊥BC.∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD,∴SA⊥BC。
又∵SA∩AB＝A,∴BC⊥平面SAB.(2）∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA.又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD.∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD,∴EF⊥平面SAD。
又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD。
对点练二平面与平面垂直的性质4．如图所示,在长方体ABCD。
A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A 1B1C1D1的关系是（）A．平行 B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直 D．相交且垂直解析：选D 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ,则( )A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D。
以上都有可能解析：选D 可能平行,也可能相交．如图,α与δ平行,α与γ相交．6。
如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD,PA＝PD,E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( ）A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：选D 因为PA＝PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D。
2019-2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：(八)直线与平面垂直的判定
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版数学必修2课时跟踪检测：（八）直线与平面垂直的判定______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C 过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，cα，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C. 2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( ) B．m∥n，且n⊥βA．α∥β，且m⊂αD．m⊥n，且n∥βC．m⊥n，且n⊂β解析：选 B A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B.3．下列四个命题中，正确的是( )①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．B．②③A．①②D．③④C．②④解析：选D ①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )B．平行A．异面D．不确定C．垂直解析：选 C ∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴l⊥AC. 5．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( ) B．可能存在，也可能不存在A．有且只有一个D．一定不存在C．有无数多个解析：选B 当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．6．在三棱锥VABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的条件即可)解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB；故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可) 7．如图所示，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的中：边所在的直线直的直线有________；(1)与PC垂(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，所以与PC垂直的直线有AB，AC，BC.⑨(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.又AP平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC⑨8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是________．解析：如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PD∩PA＝P，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.答案：459．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.明：如图，连接PE，EC，证Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝在DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BEF.∴PC⊥平面正方体ABCDA1B1C1D1中．10．如图，BD1⊥平面AB1C. 求证：BD，则BD⊥AC.证明：连接又∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，⑨∴DD1⊥AC.又DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，⑨∴AC⊥BD1.同理B1C⊥BD1.又AC∩B1C＝C, ∴BD1⊥平面AB1C.层级二应试能力达标1．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能( )⑨B．相交A．平行D．垂直C．异面解析：选A ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交．又∵mα，∴l与m相交或异面．⑨由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )B．平面A1DB1A．平面DD1C1CD．平面A1DBC．平面A1B1C1D1答案：B3．如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )B．AA1A．A1DD．A1C1C．A1D1解析：选D由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.⑨4．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；⑨⑨③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④D．②③C．①④解析：选C ①正确；对于②，分别位于两个平行平面内的两条直线必没有公共点，但它们不一定平行，也可能异面，因此②是错误的；对于③，直线n也可能位于平面α内，因此③是错误的；对于④，由m⊥α且α∥β，得m⊥β，又m∥n，故n⊥β，因此④是正确的．5．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；⑨⑨③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．答案：①③④6．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线的位置关系为________．BC 解析：∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥AA1.⑨∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB.又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1B1B.又AM平面AA1B1B，⑨∴AM⊥BC.答案：垂直7．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.在求证：AN⊥平面PBM.证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BMα，⑨∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN平面PAM，⑨∴BM⊥AN.∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.8．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥CD，AD⊥BC.求证：AC⊥BD.证明：过A作AG⊥平面BCD于G，连接BG，则AG⊥CD.又AB⊥CD，AG∩AB＝A，∴CD⊥平面ABG.⊥BG.⑨∵BG平面ABG，∴CDDG⊥BC，连接DG，同理∴G是△BCD的垂心．连接CG，则CG⊥BD，又AG⊥BD，AG∩CG＝G，∴BD⊥平面ACG，又AC平面ACG，∴AC⊥BD.。
2019-2020学年同步北师大版高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测(十六) 直线方程的两点式和
姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十六） 直线方程的两点式和一般式一、基本能力达标1．过P 1(2,0），P 2（0,3)两点的直线方程是（ ）A 。
错误!＋错误!＝0 B.错误!＋错误!＝0C.错误!＋错误!＝1 D 。
错误!－错误!＝1解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为错误!＋错误!＝1。
2．经过点A (2，5），B (－3,6）的直线在x 轴上的截距为（ )A ．2B ．－3C ．－27D ．27解析：选D 由两点式得直线方程为错误!＝错误!，即x ＋5y －27＝0。
令y ＝0，得x ＝27。
3．直线错误!＋错误!＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a ＞0,b ＞0B ．a ＞0,b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析:选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0,b ＞0。
4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则a ，b 的值是( ）A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－错误!C ．a ＝－错误!，b ＝7D ．a ＝－错误!,b ＝－7解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－错误!，∴a ＝－错误!.5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A （2,1）,则过点P 1（a 1,b 1）和点P 2(a 2，b 2）的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2，1）在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上,∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1（a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A （2,1）在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0。
由此可知点P 2(a 2，b 2）也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1（a 1，b 1）和点P 2(a 2，b 2）的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.6．过点（－1,1）和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．解析：直线方程为错误!＝错误!，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－错误!.答案：－错误!7．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________;截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：由题意，k＝tan 60°＝错误!，点斜式方程:y＋4＝错误!(x－0），截距式方程：错误!＋错误!＝1，斜截式方程：y＝错误!x－4，一般式方程：错误!x－y－4＝0。
高中数学课时跟踪检测二十六直线与直线平行新人教A版必修第二册
直线与平面平行层级(一) “四基”落实练1．下列结论中正确的是( )①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选 B ①错，可以异面．②正确．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行线的传递性可知．故选B.2．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝30°，则β为( )A．30° B．150°C．60° D．30°或150°解析：选D ∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补．∵α＝30°，∴β＝30°或150°.故选D.3．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D OB与O1B1不一定平行，反例如图．故选D.4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD ＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( )A．5 B．10C．12 D．不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EH 綉12BD ，FG 綉12BD ，再根据基本事实4可得四边形EFGH 是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，EG 2＋HF 2＝2×(12＋22)＝10.故选B.5．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( ) A ．全等 B ．相似C ．仅有一个角相等D ．无法判断解析：选 B 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．6．在三棱台A 1B 1C 1ABC 中，G ，H 分别是AB ，AC 的中点，则GH 与B 1C 1的位置关系是__________．解析：如图所示，因为G ，H 分别是AB ，AC 的中点，所以GH ∥BC .又由三棱台的性质得BC ∥B 1C 1，所以GH ∥B 1C 1.答案：平行 7.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AE AB ＝AH AD ＝12，CF CB ＝CG CD ＝23，则EH 与FG 的位置关系是________．解析：连接BD .在△ABD 中，AE AB ＝AH AD ＝12，∴EH ∥BD .同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.答案：平行8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点．求证：E，F，G，H四点共面．证明：如图，连接AC.∵E，F分别是AD1，CD1的中点，∴EF∥AC.∵G，H分别是BC，AB的中点，∴GH∥AC.∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．层级(二) 能力提升练1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交 B．异面C．平行 D．垂直解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC.可理可得GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.2．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( ) A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5解析：选A 取AD 的中点H ，连接MH ，NH (图略)，则MH ∥BD ，且MH ＝12BD ，NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5.故选A.3．在三棱锥P ABC 中，PB ⊥BC ，E ，D ，F 分别是AB ，PA ，AC 的中点，则∠DEF ＝________. 解析：由题意可知DE ∥PB ，EF ∥BC ，所以∠DEF ＝∠PBC ＝90°. 答案：90° 4.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，点E 1，F 1分别是棱A 1D 1，C 1D 1的中点．求证：EE 1∥FF 1.证明：如图，连接EF ，E 1F 1，A 1C 1，AC . 由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1得AC ∥A 1C 1.∵点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，∴由三角形中位线定理，得EF ∥AC ，EF ＝12AC .同理E 1F 1∥A 1C 1，E 1F 1＝12A 1C 1.∴EF 綉E 1F 1，则四边形EFF 1E 1为平行四边形． ∴EE 1∥FF 1. 5.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明：(1)如图，连接AC .因为在△ACD 中，M ，N 分别是CD ，AD 的中点，所以MN 是△ACD 的中位线． 所以MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.所以MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.所以四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， 所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 层级(三) 素养培优练 1.(多选)如图，在四棱锥A BCDE 中，底面四边形BCDE 为梯形，BC ∥DE .设CD ，BE ，AE ，AD 的中点分别为M ，N ，P ，Q ，则( )A ．PQ ＝12MN B ．PQ ∥MNC ．M ，N ，P ，Q 四点共面D ．四边形MNPQ 是梯形 解析：选BCD 由题意知PQ ＝12DE ，且DE ≠MN ，所以PQ ≠12MN ，故A 不正确；又PQ ∥DE ，DE ∥MN ，所以PQ ∥MN ，故B 正确；由基本事实的推论3，故C 正确；又PQ ≠MN ，所以D 正确．故选B 、C 、D.2.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ 解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD . 又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面． (2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时， 四边形EFGH 为平行四边形． 因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝mm ＋1BD .同理可得FG ＝nn ＋1BD .由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二培优课件：1章末小结与测评
几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间
几何体的形状，两者之间可以相互转化．
[典例 2] (1)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到图 2
所示的几何体，则该几何体的侧视图为
()
第六页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
(2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如
图所示，AB 边平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x
为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 V＝V 圆柱－V ＝ 圆锥
π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝53π，故选 C. (2)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为
6 cm 和 4 cm，
故 V 挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．
第四页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
[对点训练]
1．下列命题中正确的是
()
A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．仅有一组对面平行的六面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 解析：由五个平面围成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故 A
不正确；根据棱锥的定义，棱锥的高线可能在几何体之外，故
侧视图
第十页，编辑于星期六：二十三点 四十五分。
考点三
空间几何体的体积与表面积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的 问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积 最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、 台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平 面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴 截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：直线与平面垂直的判定
课时跟踪检测直线与平面垂直的判定一、题组对点训练对点练一直线与平面垂直的定义及判定定理1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D.m⊥n，且n∥β解析：选Bα⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A不正确；m∥n，且n ⊥β⇒m⊥β，故B正确；α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故C不正确；由m ⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正确．故选B.2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是()A．②B．①③C．②④ D.③解析：选C如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选②④.3．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面()A．有且只有一个B．可能存在，也可能不存在C．有无数多个D．一定不存在解析：选B当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．4.如图，在长方体ABCD-AB1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则()A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1与B1E共面D．以上都不对解析：选A连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E⊂平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形是菱形吗？解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC，又ABCD为平行四边形，∴ABCD为菱形．6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD, AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.对点练二直线与平面所成的角7．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D.120°解析：选A∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的( )A ．∠PADB ．∠PDAC ．∠PDBD.∠PDC解析：选B ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 上的射影，故∠PDA 是PD 与平面ABCD 所成的角．9．直线l 与平面α所成的角为70°，直线l ∥m ，则m 与α所成的角等于( ) A ．20° B ．70° C ．90°D.110°解析：选B ∵l ∥m ，∴直线l 与平面α所成的角等于m 与α所成的角，又直线l 与平面α所成的角为70°，∴m 与α所成的角为70°.10．在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AA 1，A 1D 1的中点，求： (1)D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值； (2)EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． 解：(1)如图所示，连接DB ， ∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴DB 是D 1B 在平面ABCD 内的射影． 则∠D 1BD 即为D 1B 与平面ABCD 所成的角． ∵DB ＝2AB ，D 1B ＝3AB ， ∴cos ∠D 1BD ＝DB D 1B ＝63， 即D 1B 与平面ABCD 所成角的余弦值为63. (2)∵E 是A 1A 的中点，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴∠EFA 1是EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． 在Rt △EA 1F 中，∵F 是A 1D 1的中点， ∴∠EFA 1为45°. 二、综合过关训练1．已知直线m ，n 是异面直线，则过直线n 且与直线m 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．至多有一个 C ．有一个或无数个D.不存在解析：选B 若异面直线m ，n 垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 2．若PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD.PC ⊥BC解析：选C由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合选项B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.3.如图，点A∈α，点B∈α，点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是()A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点解析：选B连接BC，AB(图略)，因为PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.其中正确命题的序号为________．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n，故④正确．答案：①③④5．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B1D1.则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝BB1B1D1＝13＝33，则∠BD1B1＝π6.答案：π66.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥平面ABE.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解：(1)证明：如图，连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，又M为PD的中点，∴PB∥MO.∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM.(2)证明：∵∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1， ∴∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，∴AD ⊥平面PAC . (3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN . ∵M 为PD 的中点，∴MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， ∴∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，∴DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二课时跟踪检测：两条直线平行与垂直的判定
课时跟踪检测两条直线平行与垂直的判定一、题组对点训练对点练一两条直线平行的判定及应用1．若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1、α2，斜率分别为k1、k2，有下列命题：①若l1∥l2，则斜率k1＝k2；②若k1＝k2，则l1∥l2；③若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2；④若α1＝α2，则l1∥l2.其中真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C①错，两直线不一定有斜率．2．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是() A．4 B．1C．1或3 D．1或4解析：选B由题意，知4－mm－(－2)＝1，解得m＝1.3．过点A(1,3)和点B(－2,3)的直线与直线y＝0的位置关系为________．解析：∵直线y＝0的斜率为k1＝0，过A(1,3)，B(－2,3)的直线的斜率k2＝3－3－2－1＝0, ∴两条直线平行．答案：平行4．已知△ABC中，A(0,3)、B(2，－1)，E、F分别为AC、BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF∥AB.∴k EF＝k AB＝－1－32－0＝－2.答案：－2对点练二两条直线垂直的判定及应用5．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是() A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.6．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( )A ．－23B ．－32C.23D.32解析：选A 易知a ＝0不符合题意．当a ≠0时，直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a ，由－1a ·⎝⎛⎭⎫－23＝－1，得a ＝－23，故选A. 7．已知直线l 1⊥l 2，若直线l 1的倾斜角为30°，则直线l 2的斜率为________． 解析：由题意可知直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33， 设直线l 2的斜率为k 2，则k 1·k 2＝－1，∴k 2＝－ 3. 答案：－ 3对点练三 两条直线平行与垂直的综合应用8．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 解析：选C k AB ＝1－(－1)－1－2＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，∵k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 点为直角顶点的直角三角形．9．已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值． (2)若l 1⊥l 2，求a 的值． 解：设直线l 2的斜率为k 2， 则k 2＝2－(a ＋2)1－(－2)＝－a3.(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率为k 1＝2－a a －4，所以2－a a －4＝－a3，解得a ＝1或a ＝6，经检验当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意；②当k 2≠0时，l 1的斜率存在，k 1＝2－aa －4，由k 1·k 2＝－1得到2－a a －4×⎝⎛⎭⎫－a 3＝－1， 解得a ＝3或a ＝－4.10．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝y x －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，即⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．二、综合过关训练1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－6) B ．(0,7) C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1，即y ＋52·⎝⎛⎭⎫－y －66＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)．3．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135°B ．45°C ．30°D ．60°解析：选B k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l ＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.4．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD＝0.k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD＝－312，故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直．所以四边形ABCD 为平行四边形．5．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥B D. 答案：①④6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ·k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.8．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得k AB ＝6－(－4)6－(－2)＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－(－4)0－(－2)＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1， 即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在； AB 边上的高所在直线的斜率为－45；AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。
北师大高中数学必修二课时跟踪检测：第二章 解析几何初步 §1 1 含解析
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1.2直线的方程(1)课时跟踪检测一、选择题1．过点(0,2)且斜率为－2的直线方程是()A．y＝－2x＋2B．y＝－2x－2C．y＝－2x－4 D．y＝－2x＋4解析：点斜式方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2. 答案：A2．过点A(3，1)且倾斜角为60°的直线方程为() A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝33x－2 D．y＝33x＋2解析：直线的斜率k＝tan60°＝3，方程为y－1＝3(x－3)，即y＝3x－2.答案：A3．直线l不经过第三象限，l的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则有()A．k·b>0 B．k·b<0C．k·b≥0 D．k·b≤0解析：由题意知k≤0，b>0，∴k·b≤0.答案：D4．已知直线方程y－3＝3(x－4)，则这条直线经过的已知点与倾斜角分别为()A．(4,3)，60°B．(3,4)，60°C．(－4，－3)，30°D．(4,3)，30°解析：由直线的点斜式方程：y－3＝3(x－4)，知斜率k＝3，∴倾斜角为60°，又过定点(4,3)．答案：A5．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：所求直线斜率为22×2＝2，则y－1＝2(x＋1)．答案：C6．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)解析：如图．∵AO＝AB，∴B(2,0)，k AB＝0－32－1＝－3，则直线AB点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．答案：D二、填空题7．已知直线的方程为y－3＝(a－2)(x＋1)，且其倾斜角为钝角，则a的取值范围是________．解析：由直线方程的点斜式可知直线的斜率k＝a－2，又∵直线的倾斜角为钝角，∴k＜0，即a－2＜0，∴a＜2.答案：(－∞，2)8．直线l的方程为y－x＋m2－m＋1＝0，直线l在y轴上的截距为－3，则m的值为________解析：令x＝0，则y＝－m2＋m－1.∵直线在y轴上截距为－3，∴－m2＋m －1＝－3，m2－m－2＝0，解得m＝－1或2.答案：－1或29．直线l经过点P(1,2)，且与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________．解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上截距为3.即直线l与y轴交点的坐标为(0,3)，故直线斜率为3－20－1＝－1.∴直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题10．根据下列条件，写出直线的方程．(1)斜率是33，经过点A(8，－2)；(2)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(3)经过点A(－1,8)，B(4，－2)．解：(1)y＋2＝33(x－8)，整理得3x－3y－83－6＝0. (2)y＝－4x＋7，即4x＋y－7＝0.(3)k＝－2－84－(－1)＝－105＝－2，∴y－8＝－2(x＋1)，即2x＋y－6＝0.11．已知△ABC的三个顶点在第一象限，且A(1,1)，B(5,1)，A＝45°，B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边和BC边所在直线的方程．解：根据已知条件，画出示意图如图所示．(1)由题意知，直线AB 平行于x 轴，由A ，B 两点的坐标知，直线AB 的方程为y ＝1.(2)由题意知，直线AC 的倾斜角等于角A ，所以k AC ＝tan45°＝1.又直线经过点A (1,1)，所以直线AC 的方程的点斜式为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .同理可知，直线BC 的倾斜角等于180°－B ＝135°，所以k BC ＝tan135°＝－1，又直线过点B (5,1)，所以直线BC 的方程的点斜式为y －1＝－1·(x －5)，即y ＝－x ＋6.12．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝16x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－6b ，∴S ＝12|b |·|－6b |＝3，即|b |2＝1|b |＝1，b ＝±1.∴所求方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.13．是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求直线l 的方程．解：假设存在满足题设条件的直线l 的方程，显然直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋5)．令x ＝0，得与y 轴的交点(0,5k －4)；令y ＝0，得与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －5，0. 由题意得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5·|5k －4|＝5.即25k2－30k＋16＝0(无解)或25x2－50k＋16＝0.解得k＝85或k＝25.所以直线l的方程为y＋4＝85(x＋5)或y＋4＝25(x＋5)．。
2019-2020学年同步人教A版高中数学必修二培优课时跟踪检测(二十) 两条直线的交点坐标、两点
姓名，年级：时间：课时跟踪检测(二十）两条直线的交点坐标、两点间的距离一、题组对点训练对点练一两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是（)A．2ax－ay＋6＝0（a≠0）B．y＝2xC．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0解析：选D 直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．2．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2:2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( ) A．6 B．－24C．±6 D．以上都不对解析：选C 分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－错误!和－错误!，由题意得－错误!＝－错误!,解得m＝±6.3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( ）A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：选 A 首先解得交点坐标为（1，6），再根据垂直关系得斜率为－2,可得方程y－6＝－2（x－1)，即2x＋y－8＝0.4．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1）平行于直线l1:4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程组错误!得交点P（1，1）．（1)若直线与l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2（x－1），即： 2x－y－1＝0.(2)若直线与l2垂直，∵k2＝错误!，∴斜率k＝－错误!＝－错误!,∴所求直线方程为y－1＝－错误!（x－1),即: 2x＋3y－5＝0.对点练二两点间的距离公式5．已知平面上两点A(x，2－x)，B错误!，则|AB｜的最小值为( )A ．3B.13 C ．2 D.错误!解析：选 D ∵|AB |＝错误!＝错误!≥错误!,当且仅当x ＝错误!时等号成立,∴｜AB ｜min ＝错误!.6．以A （5,5）,B （1,4）,C （4,1）为顶点的△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选 C 根据两点间的距离公式，得｜AB |＝错误!＝错误!,｜AC |＝错误!＝错误!，|BC |＝错误!＝3错误!，所以｜AB ｜＝|AC |≠|BC ｜，且｜AB ｜2＋｜AC |2≠|BC ｜2,故△ABC 是等腰非等边三角形．7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上,AB 的中点是P （2，－1），则｜AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y ）,∵AB 中点P （2，－1），∴错误!＝2,错误!＝－1,∴x ＝4，y ＝－2,即A （4，0)，B （0，－2），∴|AB |＝错误!＝2错误!.答案：2错误!8．过点A (3,－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ,若|BC |＝2|AB ｜，则直线l 的方程为________．解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3，∴B (3,0)，C （3,6）．此时｜BC |＝6，|AB ｜＝1，｜BC |≠2｜AB ｜，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)，显然k ≠0且k ≠2。
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课时跟踪检测（六）直线与平面平行层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．2．已知a，b表示两条不同的直线，α表示平面，若a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∩α＝A B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：选D如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1D1∥BC，直线A1D1与平面AC没有公共点，即A1D1∥平面AC，而直线BC⊂平面AC；另外，直线B1C1∥A1D1，又直线B1C1∥平面AC，而直线A1D1∥平面AC.因此满足题意的直线b与α的位置关系是b∥α或b⊂α.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：选B因为A1B1∥AB，AB⊄平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.又A1B1⊄平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1，所以DE∥AB.5.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，PN∥BD，有下列说法：①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.其中正确的说法是()A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：选C由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°，故④正确；而AC＝BD没有论证来源，所以③错误．6.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条．解析：由题意知EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段．答案：27．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9.如图，在三棱锥P-ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.又EF∥AB，所以AB∥GH.10.如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．层级二应试能力达标1．已知下列说法，其中，正确的个数是()①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．A．1B．2C．3 D．4解析：选A①错．因为l可能在平面α内．②错．因为直线a在平面α外有两种情形：a∥α和a与α相交．③错．因为a可能在平面α内．④正确．无论a在平面α内或a∥α，在α内都有无数条直线与a平行．2．对于以下说法：①如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行；②经过两条异面直线外一点，必有一个平面与这两条异面直线都平行；③经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线；④若直线b是平面α外的一条直线，若b与α内的所有直线都不相交，则直线b与平面α平行．其中正确的是() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选C对于①，这两条直线也可能相交，也可能异面；对于②，过两条异面直线外一点分别作这两条直线的平行线，确定的平面与这两条异面直线都平行或一条平行，另一条在平面内；对于③，过两条异面直线中的一条上的某一点，作另一条直线的平行线，确定的平面平行于另一条直线；易知④正确．3.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE解析：选B ∵在平行四边形AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM 綊BN ，∴MN 綊AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B.4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定解析：选C 如图所示，设α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与平面α，β都相交的平面γ，记α∩γ＝b ，β∩γ＝c ，则a ∥b ，且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β＝l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5.如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB ⊂平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5. 答案：56.如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四条边上的点，它们共面，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，HG ∥AC ，∴EF ＝HG ＝BE AB ·m .同理，EH ＝FG ＝AE AB ·n ，∴BE AB ·m ＝AE AB ·n ，∴AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，与PA ，BC 都平行的截面为四边形EFGH .(1)求证：四边形EFGH 为平行四边形．(2)若PA ＝4，BC ＝6，四边形EFGH 的周长为l ，试确定l 的取值范围．解：(1)证明：PA ∥平面EFGH ，PA ⊂平面PAB .平面PAB ∩平面EFGH ＝EH .∴PA ∥EH .同理PA ∥FG ，∴EH ∥FG .同理BC ∥EF ，BC ∥HG ，EF ∥HG . ∴四边形EFGH 为平行四边形． (2)由(1)知BC ∥EF ，∴EF BC ＝AE AB ，EF ＝AE ·BC AB. 同理FG AP ＝CF CA ＝BE BA ，∴FG ＝BE ·AP AB .∴l ＝2(EF ＋FG )＝2(AE ·BC ＋BE ·AP )AB ＝12AE ＋8BE AB ＝8AB ＋4AE AB ＝8＋4AE AB. ∵0<AE AB <1，∴8<l <12.故l 的取值范围为(8,12)．8.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ .求证PQ ∥平面BCE .证明：法一：如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连结MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD .又∵AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .又∵PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD. ∴PM ∥QN .∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ ∥MN .又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面BCE .法二：如图所示，连结AQ 并延长交BC (或其延长线)于K ，连结EK .。