第7章 平稳时间序列模型预测

et l

xˆt l
预测误差
预测值
特别当 l=1时有 Xt1 t1 xˆt 1 ，即 t1 Xt1 xˆt 1
MA(q)序列的预测
当预测步长l大于等于MA模型的阶数q，即l >q时， Xt+l可以分解为：
X tl tl 1tl1 2tl2 L qtlq
即一期修正后第 l 步预测方差就等于修正前第 l 1步预测
方差。它比修正前的同期预测方差减少了Gl21 2，提高了预
测精度。
一般情况
假设获得k个新的观察值 Xt1,L , Xtk 1 k l ，则
X tl 的修正预测值为
Xˆ tk (l k ) Gl-k t+k L Gl1t+1 Glt Gl1t1 L
其中t+1=Xt1 Xˆt 1 是Xt+1的一步预测误差。
修正预测误差为 et1 (l 1) G0 tl Gl2 t2
修正预测原理
预测方差为
var[et1(l 1)] (G02 L

G2 l2
)
2
var et l 1

1

Xˆ
t
l
1

2
Xˆ
t
l

2
L
p Xˆ t l p
q
i tli , l q
il
1Xˆ t l 1 2 Xˆ t l 2 L p Xˆ t l p,
lq
例7.4
已知ARMA(1,1)模型为：
X t 0.8X t1 t 0.6t1, 2 0.0025
解: (1) 预测值计算
Xt 10 0.6Xt1 0.3Xt2 t , t ~ N(0,36)
x1 101, x2 96, x3 97.2
四月份: xˆ3 (1) 10 0.6x3 0.3x2 97.12
五月份: xˆ3 (2) 10 0.6xˆ3 (1) 0.3x3 97.432
G12

G22 )
2

0.002664
解: 置信区间的计算
95%置信区间：
xˆ100 l 1.96 var e100 l , xˆ100 l 1.96 var e100 l
估计结果：
时期
95％置信区间
101
（0.136，0.332）
102
（0.087，0.287）
103
（－0.049，0.251）
预测值 0.234 0.1872 0.14976
修正预测
定义
所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得 精度更高的预测值
方法
在新的信息量比较大时——把新信息加入到旧的信 息中，重新拟合模型；
在新的信息量很小时——不重新拟合模型，只是将 新的信息加入以修正预测值，提高预测精度。

t
~ WN
0, 2
, s t, E X s t 0
设当前时刻为t，已知时刻t和以前时刻的观测值xt-1,
xt-2, …，对观测值xt+l进行预测，用 xˆt l 表示时间序
列Xt的第l步预测值(l>0)。
最小均方误差预测
用et(l)衡量预测误差： et l Xtl xˆt l
var[e3(1)] G02 2 36 var[e3(2)] (G02 G12 ) 2 48.96 var[e3(3)] (G02 G12 G22 ) 2 64.6416
解: (3)置信区间
l 步预测销售额的95%置信区间为： (xˆ3(l) 1.96 var[e3(l)] , xˆ3(l) 1.96 var[e3(l)])
预测方差只与预测步长 l 有关，而与预测起始点t无关。
预测步长越大，预测值的方差也越大；因而为了保证预测的 精度，时间序列数据通常只合适做短期预测。
AR(p)序列的预测
在AR(p)序列场合有：
X t 1 X t1 2 X t2 L p X t p t
预测值
修正预测原理
在旧信息的基础上，Xt+l的预测值为

xˆt (l) Gli ti Glt Gl1t1 L i0
假设新获得一个观察值Xt+1 ，则
Xt+1的修正预测值为
xˆt1(l 1) Gl1 t1 Glt Gl1 t1 L Gl1t1 xˆt (l)
显然，预测误差越小，预测精度就越高。
最小均方误差预测原则： Exˆtl et2 l min E et2 l
xˆt l E Xtl Xt , Xt1,L
E et (l) 0, var[et (l)]
G02 G12 L
第七章 平稳时间序列模型预测
时间序列预测
定义：根据时间序列过去时刻的观测值，对序列在 未来某个时刻的取值进行估计。
设平稳时间序列{Xt} 是一个ARMA(p,q)过程，即
X t 1 X t1 L p X t p t 1t1 L qtq ,

Xˆ t l E Xtl Xt , Xt-1，L
E 1Xtl1 2 Xtl2 L p Xtl p t Xt , Xt-1，L
1Xˆ t l 1 2 Xˆ t l 2 L p Xˆ t l p
估计结果
预测时期 四月份 五月份 六月份
95％置信区间 （85.36，108.88） （83.72，111.15） （81.84，113.35）
预测值 97.12 97.432 97.5952
例:北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合 与预测图(预测1999-2003)
X t t 1t1 2t2 L qtq
xˆt (4) 100 xˆt (5) 100
解：置信区间的计算
var[et
(1)]


2

25,
var[et
(2)]

(1

12
)
2

41
var[et (3)] (112 22 ) 2 50
var[et (4)] var[et (5)] (112 22 32 ) 2 51
六月份: xˆ3 (3) 10 0.6xˆ3 (2) 0.3xˆ3 (1) 97.5952
解: (2)预测方差的计算
计算Green函数: 根据递推公式
方差
G0 1
G1 1G0 0.6 G2 1G1 2G0 0.36 0.3 0.66

计算Green函数：
GG01
1
1G0
1

0.2
G2 1G1 0.16
预测方差：

var[e100 var[e100
(1)] G02
(2)] (G02
2 0.0025
G12 ) 2
0.0026

var[e100
(3)]

(G02
统计人数 预测人数
104
110
108
100
105
109
t2 x2002 xˆ2001(1) 104 110 6 t1 x2003 xˆ2002 (1) 108 100 8 t x2004 xˆ2003(1) 105 109 4
xˆt (1) 100 0.8 t 0.6 t1 0.2 t2 109.2 xˆt (2) 100 0.6 t 0.2 t1 96 xˆt (3) 100 0.2t 100.8

G2 l 1
2
说明
xˆt l E Xtl Xt , Xt1,L
E et (l) 0,
var[et (l)]
G02 G12 L

G2 l 1
2
在预测方差最小原则下得到的估计值 xˆt l 是序列值Xt+1在
Xt ,Xt-1,…已知的情况下得到的条件无偏最小方差估计值。
MA(q)序列的预测
当预测步长l小于等于MA模型的阶数q即l≤q时，Xt+l可以分解 为：
X tl tl 1tl1 2tl2 L qtlq
tl L l1t1 lt l1t1 L qtlq
tl 1tl1 2tl2 L qtlq 0

et l
Xˆ t l
预测误差
预测值
MA(q)序列的预测

l步的预测：
xˆt
(l
)


i
q l
i
t
l
i
0
,l q ,l q
说明MA(q)序列理论上只能预测q步之内的序列走势， 超过q步预测值恒等于序列均值。这是由MA(q)序列 自相关q步截尾的性质决定的。
100
ARMA(p,q)序列预测
ARMA(p,q)序列场合 :
X t 1 X t1 L p X t p t 1t1 L qtq
预测
xˆt l E Xtl Xt , Xt-1，L
E 1 X tl1 L p X tl p tl 1tl1 L qtlq X t , X t -1，L
AR(p)序列的预测
预测方差 et (l) tl G1 tl1 L Gl1 t1
var[et (l)] (1 G12 L

G2 l 1
)
2
95％置信区间


Xˆ t
(l)
mz1 2

1 G12 L

G2 l 1
1
2

------假设总体服从正态分布
例7.2
已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型 (单位：万元/每月)
Xt 10 0.6Xt1 0.3Xt2 t , t ~ N (0, 36)
今年第一季度该超市月销售额分别为： 101，96，97.2万元
请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间
最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下：
年份
统计人数
预测人数
2002
104
110
2003
108
100
2004
105
109
预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间
解: Xt 100 t 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
年份 2002 2003 2004
95%置信区间的计算：
xˆt l 1.96 var et l
预测年份 95％置信区间 预测人数 2005 （99，119） 109.2
估计结果：
2006 2007
（83，109） （87，115）
96 100.8
2008 （86，114）
100
2009 （86，114）

预测方差：var[et
(l)]


(1 12 (1 12
L L

2 l 1
)
2


2 q
)
2
,l q ,l q
例7.3
已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型 （单位：万人）：
X t 100 t 0.8t1 0.6t2 0.2t3, 2 25
且x100=0.3,ε100=0.01，预测未来3期序列值的95％ 的置信区间。
解: X t 0.8X t1 t 0.6t1, 2 0.0025
x100=0.3,ε100=0.01
xˆ100 1 0.8X100 0.6100 0.234 xˆ100 2 0.8xˆ100 1 0.1872, xˆ100 3 0.8xˆ100 2 0.14976