高等数学 第5章 第一节 定积分的概念

定积分存在的两个充分条件:
定理1 设 f ( x) 在区间 [a, b]上连续, 则 f ( x)在区间 [a, b] 上可积. 定理2 设 f ( x)在区间 [a, b] 上有界， 且只有有限个间断点,则
f ( x)在区间 [a, b]上可积.
6
定积分的几何意义
y y f (x)
A
o xa xb x
lim
n
6n 2
3
10
1 i n
i
},
0,
n
A lim 0 i1
f ( i )xi
An
x xn1 nxn b
3
2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动,
已知速度 v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ]上 的
连续函数, 且 v(t ) 0, 计算在这段时间内物体所经过的路程。
匀速直线运动：
路程=速度×时间.
(1) 分割
T1 t0 t1 ti1 ti tn T2 ,
v( i )
ti ti ti1
(i 1,2,, n)
(2) 近似代替
si v( i )t i
T1
i
T2
t t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn
(3) 求和 (4) 取极限
s
n i 1
s
i
n v(
i 1
i )t i
每 个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
2
（2）近似代替
y Ai f (i )xi
(i 1,2,, n)
（3）求和
y f (x)
A1 A2
Ai
A
n i 1
Ai
n
f (i )xi
i 1
O a x01x1 2
x 2 x i1 ix i
图5-2
(4)取极限
max{x
b
c
d
b
a
f ( x)dx
a
f ( x)dx c
f ( x)dx d f ( x)dx A1 A2 A3
7
两曲线围成的图形的面积：
Adx a f2 ( x)dx
y f1(x)
A
y f2(x)
o xa
xb x
8
例 利用定义计算
1 x 2dx 0
并 做 乘 积:
f i xi
i2
1 n
i
2
n
1 n
i2 n3
n
求和：
i 1
f i xi
1 n3
n
i2
i 1
1 n3
1 nn 12n 1
6
n 12n 1
6n 2 9
1 ,
n
当 n 时， 0.
1 x 2dx 0
n
lim 0 i 1
f
i
x i
(n 1)(2n 1) 1
n
max{t
1 i n
i
},
s lim v( 0 i1
i )ti .
4
面积
n
A
lim
0 i1
f ( i )xi
b
f
a
x dx.
路程
n
s
lim v(
0 i1
i )ti
v T2 t dt.
T1
二.定积分的定义(和式的极限)
设函数 f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
把区间[a,b] 分成 n个小区间:
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], , [ xn1 , xn ],
各小区间的长度依次为:
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1 ,
任取一点 i [ xi1 , xi ], 作乘积 f i xi (i 1,2,, n), 并作出和
n
S f i xi
1
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }, 当 0, 和 S总趋于确定的极限
I,
称这个极限为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,
记作
b
a
f
xdx,
即
b
n
a
f
x dx I lim f 0 i1
i
xi
(2)
5
a----积分下限, b----积分上限, [a,b]----积分区间.
解 f ( x) x 2 C[0,1] 1 x 2dx 0
1 x 2dx与 [0,1]的分法与点 i 取法无关. 0
把 [0,1] n 等份,
分点为
xi
i, n
i
0,1,2,, n,
xi
xi
x i 1
1, n
i 1,2,, n;
取 区 间 的 右 端 点 ： i
xi
i ,i n
1,2,, n;
b
f ( x) 0, a f ( x)dx A y
A lim 0
n [
i 1
f
( i
)]xi
y
lim 0
n i 1
f
( i
)xi
x a xb
o
x
A
y f (x)
b
f ( x) 0, a f ( x)dx A
y f (x)
A1 c
A3
x a o A2 d
x b x 图5-6
n
f i xi
f ( x)的积分和。
i 1
注意:1、
b
a
f
xdx
b
a
f
t dt
b
a
f
udu
b x 2dx b u2du
a
a
2、如果 f ( x)在 [a, b]上的定积分存在,
称 f ( x) 在 [a, b] 上可积.
且定积分与区间[a,b]的分法和 的取法无 关i 。
？ 问题： f ( x) 在 [a, b] 上满足什么条件， f ( x) 在 [a, b] 上一定可积
曲边梯形面积的求法
y
y f (x)
O a x0 x1 x2
x x i 1 x i x n1 xn b
(1)分割
在区间 [a, b] 上任意插n+1个分点， a x0 x1 x2 xi1 xi xn b, 把 [a, b] 分成 n 个小区间： [xi1 , xi ] (i 1,2,n).
第一节 定积分的概念
一. 定积分问题举例
1．曲边梯形的面积 曲边梯形的定义:
设 y = f (x) 在区间 [a,b] 上非负, 连续。 由直线 x = a, x = b ,y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边。
y
y f (x)
o xa
xb x
1