高考数学专题突破——导数与积分之导数与“恒成立”问题

高考数学专题突破——导数与积分

导数与“恒成立”问题（学生版，后附教师版）

【知识梳理】

恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处．

函数在给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上，某关系式恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a ．

【基础考点突破】

考点1．分离变量法解决恒成立问题

【例1 】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．

考点2． 构造函数解决恒成立问题

【例2】 已知函数2

3

2

()816,()254f x x x k g x x x x =+-=++，其中k R ∈．

（1）若对任意实数[3,3]x ∈-，都有()()f x g x ≤，求k 的取值范围； （2）若对任意实数12[3,3]x x ∈-、，都有12()()f x g x ≤，求k 的取值范围．

【归纳总结】本题2个问题都是恒成立问题，题目貌似相同． 仔细分析，可发现它们实则不一样．

第（1）问中，若对任意实数[3,3]x ∈-，都有()()()()max min f x g x f x g x ≤⇔≤，[3,3]x ∈-．此时的x ，能同时使()f x 取得最大值和()g x 取得最小值．

第（2）问中，若对任意实数12[3,3]x x ∈-、，都有12()()f x g x ≤()(),[3,3]max min f x g x x ⇔≤∈-． 此时的x ，不是同时使()f x 取得最大值和()g x 取得最小值的x ． 因此，只有分别求出()max f x 和()min g x ，才能求解．

变式训练1．（2013年高考新课标Ⅰ）设函数2()f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+，曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)p ，且在点p 处有相同的切线42y x =+．

（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤恒成立，求k 的取值范围．

变式训练2．（2014年新课标Ⅰ）设函数1()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为

(1)2y e x =-+．

（1）求,a b ； （2）证明：()1f x >．

考点3．利用导数证明不等式恒成立问题：

不等式恒成立问题是中学数学中常见的问题之一，解答这类问题常常有如下3种常用的技巧和思路：①利用判别式；②借用重要结论“不等式()a f x >恒成立()max a f x ⇔>”和“不等式()a f x <恒成立

()max a f x ⇔<”；③利用图形辅助求解．

【例3】已知函数2()(1)x f x x e -=+，当[]0,1时，求证1

1()1x f x x

-≤≤+．

【基础练习巩固】

1．（2016年北京模拟）设函数3()31()f x mx x x R =-+∈，若对任意的[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数m 的值为 ．

2.【2015高考福建改编】已知函数()ln(1)f x x =+，(),(k ),g x kx R =?

(Ⅰ)证明：当0()x f x x 时，><；

(Ⅱ)证明：当1k <时，存在00x >,使得对0(0),x x Î任意，恒有()()f x g x ；>

3．【2016高考山东理数】已知()2

21

()ln ,R x f x a x x a x -=-+

∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +

＞对于任意的[]1,2x ∈成立．

高考数学专题突破——导数与积分

导数与“恒成立”问题（教师版）

【知识梳理】

恒成立问题是高考数学中的热点问题，此类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，多以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质（单调性、极值、最值等），综合性较强，涉及多类数学思想，对于培养我们分析问题、解决问题的能力，训练数学思维有很大的益处．

函数在给定区间上的有关结论恒成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上，某关系式恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a ．

【基础考点突破】

考点1．分离变量法解决恒成立问题

【例1 】当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．

分析：讨论x 的取值情况，并分离字母a ，利用基本不等式恒成立，求解a 的取值范围． 解析：当0x =时，原不等式变为：30≥，显然恒成立，此时a R ∈；

当(0,1]x ∈时，2343x x a x --≥，2max 3

43

()x x a x --∴≥

设23

43

()x x x x ϕ--=，则

2323324(43)'(43)()'(9)(1)

'()0()x x x x x x x x x x x ϕ--⋅---⋅-+==->，从

而()x ϕ在(0,1]上单调递增，此时()(1)6max x ϕϕ==-，从而6a ≥-．

当[2,0)x ∈-时，2343x x a x --≤ ，2min 3

43

()x x a x

--∴≤． 由上述易知：当[2,1)x ∈--时，'()0x ϕ<；当(1,0)x ∈-时，'()0x ϕ>． 从而()x ϕ在[2,1)--上单调递减，在(1,0)-上单调递增．

∴当1x =-时，()x ϕ有极小值，也为最小值． 故：()(1)2min x ϕϕ=-=-，从而2a ≤-．

综上所述：a 的取值范围为[6,2]--．

考点2． 构造函数解决恒成立问题

【例2】 已知函数2

3

2

()816,()254f x x x k g x x x x =+-=++，其中k R ∈． （1）若对任意实数[3,3]x ∈-，都有()()f x g x ≤，求k 的取值范围；