2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数：题型2+第4讲+第2课时+空间距离与几何体中体积、面积的计算

第2课时空间距离与几何体中体积、面积的计算[考情分析]空间距离和几何体体积(面积)问题是每年高考的必考内容，并且多在解答题的第二、三问中出现，难度适中，为中档题.热点题型分析热点1空间距离的计算点面距离常用以下两种方法求解：一是直接做出垂线段求解；二是利用三棱锥体积转换，求点到面的距离．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC ＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以由余弦定理，得OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)已知点P在线段EF上，且EPPF＝2，求D到面APE的距离．解(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，所以∠DAB ＝∠CBA ＝60°，AB ＝2，所以由余弦定理得BD ＝ 3.因此AB 2＝AD 2＋BD 2，所以AD ⊥BD .又因为平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面BFED .(2)由(1)知，AD ⊥平面BFED ，所以AD ⊥EP ，AD ⊥ED .又因为EP ⊥ED ，所以EP ⊥平面ADE .BD ＝3，BF ＝1，EP PF ＝2，所以EP ＝233，设D 到面PEA 的距离为d ，因为V A －EDP ＝V D －AEP ，即13·AD ·S △EDP ＝13·d ·S △AEP ，所以d ＝AD ·S △EDP S △AEP ＝1×3333×2＝22. 热点2 几何体体积(面积)的计算空间几何体体积的常用公式： (1)V 柱＝Sh (S 为底面面积，h 为体高)； (2)V 锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为体高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ′，S 分别为上，下底面面积，h 为体高)(不要求记忆)．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，AB ＝3，求四棱锥E －BB 1C 1C 的体积．解 (1)证明：由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3. 所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.1．直接法：求一些规则几何体的体积时，可以根据几何体的特点，利用线面垂直、面面垂直等条件，确定几何体的高，再根据体积公式直接求解；2．等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可以当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解；3．割补法：割补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以已知几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体．(2019·广州模拟)如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C，D分别是BE，AF上的点，且DA＝AB＝BC＝2a，DF＝2CE＝2a.沿CD将四边形CDFE 翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP ＝6a.(1)求多面体ABCDPQ 的体积； (2)求证：平面PBQ ⊥平面PBD .解 (1)∵DA ＝AB ＝BC ＝2a ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，CD ⊥DP . 又AD ∩DP ＝D ，AD ，DP ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥平面ADP .∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面ADP ， ∵AD 2＋DP 2＝AP 2，∴AD ⊥DP ，又CD ⊥AD ，CD ∩DP ＝D ，CD ，DP ⊂平面CDPQ ， ∴AD ⊥平面CDPQ ，又AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面CDPQ . ∴V B －CDPQ ＝13S 梯形CDPQ ·BC ＝13×(a ＋2a )×2a 2×2a ＝a 3，V B －ADP ＝13S △ADP ·AB＝13×12×2a ×2a ×2a ＝2a 33，∴多面体ABCDPQ 的体积为V B －CDPQ ＋V B －ADP ＝5a 33. (2)证明：取BP 的中点G ，连接GQ ，DG ，DQ ，在△ABP 中，BP ＝AB 2＋AP 2＝22a ，∴BG＝12BP＝2a，在△BCQ中，BQ＝BC2＋CQ2＝3a.PQ＝(DP－CQ)2＋CD2＝3a，∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP.∴QG＝BQ2－BG2＝a，又BD＝2AB＝2a＝DP，∴DG⊥BP，∴DG＝BD2－BG2＝2a，又DQ＝CQ2＋CD2＝3a，∴DQ2＝QG2＋DG2，∴QG⊥DG.又BP∩DG＝G，BP，DG⊂平面PBD，∴QG⊥平面PBD，又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD.专题作业1．(2019·河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求．证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ， 易知DH ＝3，∴NG ＝32， 又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×2×32－12＝22，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.2.已知四棱锥S －ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，△SAD 为正三角形．(1)点M 为线段AB 上一点，若BC ∥平面SDM ，AM →＝λAB →，求实数λ的值； (2)若BC ⊥SD ，求点B 到平面SAD 的距离．解 (1)因为BC ∥平面SDM ，BC ⊂平面ABCD ，平面SDM ∩平面ABCD ＝DM ， 所以BC ∥DM .又AB ∥DC ，所以四边形BCDM 为平行四边形， 所以CD ＝MB ，又AB ＝2CD ，所以M 为AB 的中点．因为AM→＝λAB →，所以λ＝12. (2)因为BC ⊥SD ，BC ⊥CD ，所以BC ⊥平面SCD ， 又BC ⊂平面ABCD ， 所以平面SCD ⊥平面ABCD .如图，在平面SCD 内过点S 作SE 垂直CD 交CD 的延长线于点E ，连接AE ， 又平面SCD ∩平面ABCD ＝CD ，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥CE，SE⊥AE，在Rt△SEA和Rt△SED中，AE＝SA2－SE2，DE＝SD2－SE2，因为SA＝SD，所以AE＝DE，又易知∠EDA＝45°，所以AE⊥ED，由已知求得SA＝AD＝2，所以AE＝ED＝SE＝1.连接BD，则V三棱锥S－ABD＝13×12×2×1×1＝13，又V三棱锥B－ASD＝V三棱锥S－ABD，S△SAD＝12×2×2×32＝32，所以点B到平面SAD的距离为233.3．(2019·河南洛阳统一考试)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，A1A⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝2，BC＝1，AA1＝6，E为A1B1的中点．(1)求证：平面A1BD⊥平面A1AD；(2)求多面体A1E－ABCD的体积．解(1)证明：在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝BC＝1，由余弦定理得BD＝3，∴BD2＋AD2＝AB2.∴BD⊥AD.∵A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.又A1A∩AD＝A，∴BD⊥平面A1AD.又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD.(2)设AB，CD的中点分别为F，G，连接EF，FG，GE，BD∩FG＝H. ∵E，F，G分别为A1B1，AB，CD的中点，∴多面体EFG－A1AD为三棱柱．∵BD⊥平面A1AD，∴DH为三棱柱的高．又S△A1AD＝12AD·A1A＝62，DH＝12BD＝32，∴三棱柱EFG－A1AD的体积为S△A1AD·HD＝62×32＝324.在四棱锥E－BCGF中，EF∥A1A，∴EF⊥底面BCGF，EF＝A1A＝ 6. ∵S四边形BCGF＝12S四边形ABCD＝12×2×1×sin60°＝3 2，∴四棱锥E－BCGF的体积为13S四边形BCGF ·EF＝13×32×6＝22，∴多面体A1E－ABCD的体积为324＋22＝524.。