雨中行走数学建模

雨中行走问题的分析
吴珍数学与应用数学二班 A班
冯奎艳数学与应用数学二班 A班
杨彦云数学与应用数学二班 A班
摘要本文讨论了雨线方向、跑步速度与淋雨量关系的问题.
针对问题一，将人视为长方体，采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题二，首先引入雨滴降落频率的概念，解决了用雨速来确定降雨量雨滴降落不连续的问题。

然后采用物理学中流体计算的思想方法计算淋雨量，建立跑步速度与淋雨量关系的优化模型，得到速度越大淋雨量越小的结论。

针对问题三，在问题二的基础上，改变雨线方向，采用物理学中流体计算的思想方法，建立与跑步速度与淋雨量关系的优化模型，确定淋雨量最小情况下的跑步速度.
针对问题四，综合雨线方向与跑步方向夹角，跑步速度，淋雨量的关系，建立几何模型，采用数形结合的方法建立淋雨量模型。

关键词雨滴降落频率；优化模型；淋雨量
一、问题重述
一般情况下，行人未带雨具却突降大雨，都会选择加快行走速度以减少淋雨量，但如果考虑风速、雨速，就会发现淋雨量并不光与淋雨时间有关。

那么在雨中以何种速度跑，淋雨量最少。

现假设要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型，讨论是否跑得越快,淋雨量越少。

按以下步骤进行讨论:
(1) 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。

(2) 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为θ,问
速度多大时,总淋雨量最少。

(3) 雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为
α,问速度多大时,总淋雨量最少。

(4) 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内即异面时,模型会有什么变化。

二、问题分析
人在雨中行走时，行走时间即淋雨时间。

把人看成一个长方体，总淋雨量是各个面淋雨量之和。

为解决雨滴不是连续的，引进雨滴频率P (模型建立部分会做具体阐述)的概念。

对于问题一，在不考虑雨速方向的前提下，人的前、后、左、右以及顶部都会被淋到雨，此时淋雨量只与行走时间及单位时间内的降雨量有关。

人以最大速度匀速运动时，通过位移公式S vt =，可计算出运动时间。

对于问题二，当雨迎面而来时，由于雨速与人行走方向成θ角且在同一铅直平面，通过速度分解，分别考虑人头顶方向雨的方向、人正面雨速方向，再根据淋雨面积和淋雨时间即可确定淋雨量，建立总淋雨量模型，分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v ，使淋雨量最小。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内,且与人体的夹角为α,与题二类似，淋雨量从人背面和头顶两个面讨论，两个面的雨速经过速度分解，雨降在两个面的速度是不同的，最终得出两个面的淋雨量，建立总淋雨量模型，通过分析淋雨量关于速度的函数，得到最优解v 使淋雨量最小。

对于问题四，固定人的行走方向，从一个点出发建立直角坐标系，雨斜向下与竖直方向成β（02
π
β≤<
）雨向以β绕竖直方向旋转一周包含了雨所有的方向，涵盖了雨的方向与行走方向处于铅直平面和异面的情况，建立模型，分情况讨论即可得出雨向与行走方向异面时的淋雨量。

三、模型假设
1．假设人是一个长为l ,宽为d ,高为h 的长方体，人的各个面都有被淋到雨的可能；
2.假设人在奔跑过程中以v 匀速运动；
3.假设下雨过程中，风速方向及大小稳定；
四、符号表示
五、模型建立与求解
冒雨行走是生活中常见的问题，为了被淋湿的最少，建立相应的数学模型来解决在雨中如何行走，使淋雨量最少。

5.1不考虑雨的方向时的淋雨量分析
在不考虑雨的方向的条件下，设降雨淋遍全身，则淋雨量包括顶部淋雨量，两个侧面淋雨量，迎面和侧面淋雨量。

淋雨时间 D
t v
=
淋雨面积（顶部和四个侧面面积） 22s dl hl hd =++
淋雨量 ()122D
Q c dl hl hd v
=⨯++
5.2雨迎面吹来的淋雨量分析
图1
雨迎面吹来时，雨的速度方向和人体的夹角为θ，当是大暴雨时，雨像屋檐流水是不间断的，用雨速就可以确定降雨量，但通常雨都是不连续下落的，为了描述雨的大小引入降雨频率p 的概念。

定义p 为雨下落的频率用来描述雨的大小，将单位时间划分为n 个t ∆（n 尽
可能的大）
()cos sin Dc Dc v r
αα+- 其中有m 个t ∆的时间在下雨。

m
p n
=（0< p <1）记V 为雨的体积则
m mV c p n nV v ===
当p =1时，雨是大暴雨连续的下。

当p =0时，晴天没有下雨。

前部降雨量
()()sin D
r v p hl v θ+ 顶部降雨量 ()cos D
r p dl v θ
总降雨量
()()()()2sin cos cos sin D D
Q r v p hl r p dl v v
D Dchl r cdl chl v r v
θθθθ=
++=++
5.3雨背面吹的淋雨量分析
图2
顶部降雨量
cos D
rpdl v α 背部淋雨量 sin D
dh r v p v
α-⨯
总淋雨量 3cos sin D D
Q rpdl dh r v p v v αα=+-⨯
当sin r v α>时 ()3cos sin D D
Q dlrp dh r v p v v αα=+-⨯
=
cos sin 1Dcdl Ddhc r v r v αα⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
α 当sin r v α<时3Q =
cos sin 1Dcdl Ddhc r v r v αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭
5.4 雨线方向与行走方向异面
A x
图3（n 为雨向）
把人当做长方体以侧棱AB 为Z 轴建立图3所示的直角坐标系，确定人的行
走方向（如图3），引入角γ，γ是雨线在xoy 平面即水平面上的投影与y 轴的夹角，β是雨线与z 轴的夹角（0,022
π
βγπ≤<
≤≤）
，可以确定：雨线与人头顶的夹角为πβ-，与人的后面AA ’B ’B 的夹角为πγ-，与人的侧面ABCD 夹角为
γ。

其中：β=0时，雨线垂直下落； γ=0时，雨线从背面吹来； γ=π时，雨线迎面吹来。

这三种情况的雨线方向与行走方向都在同一铅直平面内，此处不予详细讨论。

即 02
πβ<<
，02γπ<<时，雨线方向与行走方向异面。

顶部淋雨量：
cos D
rdl v β 背面：30,222ππγγπ<<<<（迎面：32π
πγ<<
）淋雨量 ：sin()2
D hdr v v π
γ-- 侧面淋雨量：
sin D
hlr v
γ 总淋雨量：cos sin()sin 2D D D
Q dlr hdr v hlr v v v
πβγγ=
+--+ 六 、结果分析与检验
6.1不考虑雨的方向，雨淋遍全身时的淋雨量为
()122D
Q c dl hl hd v
=⨯++，
1Q 是关于v 的一元函数，随v 增大而减小。

即人的行走速度越大，淋雨量越小，
符合生活实际。

6.2雨迎面吹来情况
淋雨量为()2cos sin D Dchl r cdl
Q chl v r v
θθ=++，2Q 是关于v 的一元函数，随v
的增大而减小。

即人的行走速度越大，淋雨量越小，符合生活实际。

6.3 雨背面吹来情况
总淋雨量 3cos sin D D
Q rpdl dh r v p v v
αα=
+-⨯ 当sin r v α>即arcsin v r α⎛⎫
> ⎪⎝⎭时3Q =cos sin 1Dcdl Ddhc r v r v αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭.3Q 是关于v 的一元函数，随v 的增大而减小。

即人的行走速度越大，淋雨量越小。

当sin r v α>时即arcsin v r α⎛⎫
> ⎪⎝⎭时3Q = ()cos sin D D dlrp dh v r p v v αα+-⨯=
cos sin 1Dcdl Ddhc r v r v αα⎛⎫
+- ⎪⎝⎭。

因为在现实问题中sin 0v r α->，所以当sin v r α=时
3Q 取得最小值。

即当雨从背面吹来，行走方向和雨的方向的夹角arcsin v r α⎛⎫> ⎪⎝⎭
的
条件下，行走速度sin v r α=时，淋雨量最少。

6.4 异面情况分析
七、模型推广与评价
优点：
(1) 引入降雨频率来描述雨的大小，具有合理性和正确性. (2) 模型简单易懂； 缺点：
(1)将人的形状考虑为长方体，理想化. (2)仅考虑了道路为直线的形式 推广
可以将人考虑为圆柱体，将道路转弯处的因素考虑进去，建立出相应的模型
参考文献
[1]熊启才，数学模型方法及应用，重庆大学出版社 [2]方道元，韦明俊，数学建模，浙江大学出版社。