四川省成都市新都一中实验学校九年级数学2月月考试题

新都一中实验学校初2015级数学2月月考题
考试说明：请将解答写在答题卡上面，试题自己保管，只交答题卡。

A 卷（100分）
一．选择题：(每小题3分，共30分) 1．下列运算中正确的是（ ）
A ．2
325a a a += B ．2
2
(2)(2)2a b a b a b +-=-
C ．2
3522a a a =g D ．222
(2)42a b a ab b +=++
2．2011年4月28日国家统计局第六次全国人口普查主要数据公报发布，此次人口普查登记的全国总人口（大陆）为1339724852人，将1339724852近似保留四个有效数字并用科学记数法表示为（ ）
A ．6134010⨯
B ．6133910⨯
C ．101.339710⨯
D ．9
1.34010⨯ 3．若数据8、4、x 、2的平均数是4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．2和2 B ．2和4 C ．2和3 D ．3和2
4．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( )
A ．1925
B ．1025
C ．625
D ．525 5．下列说法，正确的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是平行四边形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6．若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >-且0k ≠ B ．1k >- C ．1k < D ．1k <且0k ≠
7．将抛物线2
3y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的
解析式是（ ）
A ．2
3(2)1y x =++ B ．2
3(2)1y x =-+ C ．2
3(2)1y x =+- D ．2
3(2)1y x =-- 8．一个物体从A 点出发，在坡度为1∶7的斜坡上直线向上运动到B ，AB ＝30米时，物体升高（ ）米
A ．
7
30 B ．3 2 C ．830 D ．以上的答案都不对。

9．下列四个图象表示的函数中，当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
10．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，当△AEF
的周长最小时，则DF 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题：（每小题4分，共16分） 11．函数2
x y -=
中，自变量x 的取值范围是____________。

12．已知抛物线2
(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，
，两点，则线段AB 的长度为____。

13．若关于x 一元二次方程02)2(2
=++-a x a x 的两个实数根分别是3、b ，则=b 。

14．如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、D 在
反比例函数x
y 6
=（x ＞0）的图象上，则点C 的坐标为 。

三．解答题：
15．（每小题6分，共12分） （1）计算： 2
002
( 3.14)12tan 30π--+--+2sin 452︒-
（2）解不等式组312(1)3
12
x x x -<+⎧⎪
⎨+≥⎪⎩并在所给的数轴上表示出其解集。

16．解方程：
1
2
13122+=
--+-x x x x （6分） x
x
x
x
y
y
y
y
O O O O
四．解答题（每小题8分，共16分）
17．放风筝是大家喜爱的一种运动．星期天的上午小明在圣达广场上放风筝．如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处．此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°．为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°．已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD=90°．请你求出小明此吋的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）。

18．有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，
3， B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字；
（1）用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，画出树状图（或列表），写出(m ，n)的所有取值； （2）求关于x 的一元二次方程02
1
2=+-n mx x 有实数根的概率。

五．解答题：（每小题10分，共20分）
19．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数y ＝ 4－2m x
(x ＞0)的图象于点A 、B ，交x
轴于点C ，(1)求m 的取值范围；(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且 BC
AB
＝
1 3
， 求m 的值和一次函数的解析式。

20．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB
的中点D 处，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点D 按顺时针方向旋转一个角度反（0°＜a ＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图1所示）．那么，在上述旋转过程中：
5题
V
U Q
P
N
M D
C
B
A
（1）如图1，线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？请说明你
发现的结论的理由；
（2）如图2，连接HK ，①若AK=12，BH=5，求△OKH 的面积；
②若AC=BC=4，设BH=x ，当△CKH 的面积为2时，求x 的值，并说出此时四边形CHOK 是什么特殊四边形。

B 卷（50分）
一．填空题：（4×5=20分）
21．已知a 、b 为方程x 2
-3x+1=0的两个根，则x 12
+x 22
=_______。

22．已知x=2是一元二次方程(a-1)x 2
+x+a 2
-a+4=0的一个根，则a=_____。

23．在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与两坐标轴围成一个△AOB。

现将背面完全相同，
正面分别标有数1、2、3、21、31的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上
的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵坐标，则点P 落在△AOB 内的概率为 。

24．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…， S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______。

A B
C D E
F
G
H
I
J
25．如图，四边形ABCD的边BC和DA上的三等分点是U，V和M，N．已知AU和BN交于P，CM和DV交于Q，六边形MNPUVQ的面积为80，△ABP与△CDQ的面积之和为30，则四边形ABCD的面积为________。

二．解答题：（8分）
26．跃进五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同。

（1）求每个甲种零件、每个已知零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个购进两种零件的数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价）超过371元，通过计算求出跃进五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来。

三．解答题：（10分）
27．如图，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米，跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米．已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上，（1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB、CD间的距离）；
（2）若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴，取单位长度为1米，BA的延长方向为y 轴建立坐标系，求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式。

四、解答题：（12分）
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得
28．如图，二次函数的图象经过点D(0，3
9
的线段AB的长为6，（1）求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD 最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

初三数学月考（2月）答案
A 卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
二．填空题（每小题4分，共20分）
三.解答下列各题（第15题每小题6分，第16题6分，第17、18题各8分，共34分）。

15．解答下列各题： ⑴计算： （1）计算： 2
002
( 3.14)12tan 30π--+--+2sin 452︒-
解：原式=1
4
-+1－12×33+（2-2） （对一个给1分，共4分）
=1
4
-+1－2+2-2 （1分） =
3
4
-2 （1分） （2）解不等式组312(1)3
12
x x x -<+⎧⎪
⎨+≥⎪⎩并在所给的数轴上表示出其解集。

解：解不等式3x －1＜2(x+1)得：x ＜3 （2分） 解不等式 x+3
2
≥1 得：x ≥－1 （2分）
（1分）
∴不等式组的解集为－1≤x ＜3 （1分）
16．解方程：
1
2
13122+=
--+-x x x x （6分） 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
D
C
C
C
A
C
B
D
D
题号 11 12 13 14 答案
X ≥2
4
2
（3,6）。

·
解：两边同乘以（x+1）(x-1)得： 2（x+1）+(x+3)=2(x-1) (2分) 去括号得：2x+2+x+3=2x-2 （1分） 移项、合并同类项得：x=－7 （1分） 检验：当x=－7时，（x+1）(x-1)≠0 （1分） ∴原方程的解为x=－7 （1分） 四．解答题（每小题8分，共16分）
17．放风筝是大家喜爱的一种运动。

星期天的上午小明在圣达广场上放风筝，如图他在A 处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝线AD 与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动边收线到达了离A 处10米的B 处，此时风筝线BD 与水平线的夹角为45°，已知点A 、B 、C 在同一条直线上，∠ACD=90°，请你求出小明此吋的风筝线的长度是多少米？（本题中风筝线均视为线段，结果保留根号）。

解：设DC=x 米，
在Rt △BCD 中，∠DBC=45°，
∴BC=DC=x 米，BD=2x 米 （2分） 在Rt △BCD 中，cot ∠DAC= AC
DC （1分）
∴AC=3DC 从而有10+x=3x （1分） 解得x=5（3+1） （1分）
∴BD=2×5（3+1）=（56+52）米 （1分） ∴小明此吋的风筝线的长度是（56+52）米。

18．有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，
3， B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字；
（1）用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，画出树状图（或列表），写出(m ，n)的所有取值； （2）求关于x 的一元二次方程02
1
2=+
-n mx x 有实数根的概率。

解：（1）（4分）
（2）一元二次方程02
1
2=+
-n mx x 有实数根的条件是△=22m n -≥0 ∴P （方程有实数根）= 8
12 （4分）
五．解答题：（每小题10分，共20分）
19．如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数y ＝ 4－2m x
(x ＞0)的图象于点A 、B ，交x
轴于点C ，
(1)求m 的取值范围；
(2)若点A 的坐标是(2，－4)，且 BC AB ＝ 1
3，求m 的值和一次函数的解析式。

解：（1）由题知：4－2m ＜0 , 解得：m ＞2 ∴m 的取值范围m ＞2 （2分）
（2）代A 的坐标(2，－4)入y ＝ 4－2m
x
得 4－2m=2×（－4）=－8
解得：m=6 （2分）
作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，（1分） 则△CAM ∽△CBN ， ∴BN AM = CB CA = CN CM ，
∴BN 4 = 14 = CN CM = CN
CN+MN
∴BN=1， （1分）
当y=－1时，x=8，∴B （8,－1）,ON=8 ∴MN=8－2=6
∴CN CN+6 = 1
4
∴CN=2 即有C （10,0） （1分）
n m
1
2
0 (0, 0) (0, 1)
(0, 2) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 2) 2 (2, 0) (2, 1) (2, 2) 3
(3, 0)
(3, 1)
(3, 2)
M
N
代A（2，－4），C（10,0）入y＝kx＋b得
24
100
k b
k b
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
2
5
k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
（2分）
∴一次函数的解析式为
1
5
2
y x
=-（1分）
20．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O处，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度反（0°＜a＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图1所示）．那么，在上述旋转过程中：
（1）如图1，线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？请说明你发现的结论的理由；
（2）如图2，连接HK，①若AK=12，BH=5，求△OKH的面积；
②若AC=BC=4，设BH=x，当△CKH的面积为2时，求x的值，并说出此时四边形CHOK是什
么特殊四边形。

解：（1）BH=CK，四边形CHOK的面积不变。

（1+1=2分）
理由：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O为AB的中点
∴∠OCA=∠B=45°①， OC=OB ②, ∠BOC=90°
又∵∠HOK=90°
∴∠BOH=∠COK ③
由①②③得△BOH≌△COK （2分）
∴BH=CK，S△BOH =S△COK（2分）
∴S四边形CHOK=S△OCH+ S△COK
= S△OCH+ S△BOH=S△OBC
∴四边形CHOK的面积不变。

(1分)
（2）∵AC=BC=4， BH=x，BH=CK
∴CH=4－x，CK= x
又∵△CKH的面积为2
∴1
2
×（4-x）×x=2 解得
1
x=
2
x=2 （2分）
此时四边形CHOK为正方形。

（1分）
B 卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
二．解答题：（8分）
26．跃进五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售，若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同。

（1）求每个甲种零件、每个已知零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个购进两种零件
的数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价）超过371元，通过计算求出跃进五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来。

解：（1）设每个乙种零件进价为x 元，则每个甲种零件的进价为（x-2）元，
由题意得知：80(x-2) = 100
x ，解得x=10， （2分）
经检验x=10为原方程的解，10-2=8， （1分） 所以，甲种零件的进价为8元，乙种零件的进价为10元。

（2）设购进乙种零件y 个，则购进甲种零件（3y-5）个，由题意得：
()()()35952325128351510371y y y y y -+≤⎧
⇒<≤⎨
--+->⎩
（列出不等式组2分，解出结果1分）
∵y 为整数，∴y=24或25 ∴有两种方案，分别为：
方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个； （1分）
题号 21 22 23 24
25 答案
7
a=2
35
128
150
方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个。

（1分）
三．解答题：（10分）
27．如图，AB 、CD 是两个过江电缆的铁塔，塔AB 高40米，AB 的中点为P ，塔底B 距江面的垂直高
度为6米，跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米。

已知：人在距塔底B 点西50米的地面E 点恰好看到点E 、P 、C 在一直线上；再向西前进150米后从地面F 点恰好看到点F 、A 、C 在一直线上， （1）求两铁塔轴线间的距离（即直线AB 、CD 间的距离）；
（2）若以点A 为坐标原点，向东的水平方向为x 轴，取单位长度为1米，BA 的延长方向为y 轴
建立坐标系，求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式。

解： 如图，AB=40米，BP=20米，BE=50米，BF=50+150=200（米），
设CD 的延长线交地平面于点H ， （1）设CH=x ， BH=y （1分）
由△EBP ∽△EHC 得
BP EB
CH EH
=
，即205050x y =+① 由△FBA ∽△FHC 得
AB FB
CH FH
=
，即40200200x y =+ ② 由①②解得：x=60，y=100
答：两铁塔轴线间的距离为100米； （5分）
（2）依题意建立坐标系如图，由（1）得CH=60米，C 点比A 点高20米，
这时A 、C 两点的坐标为：A （0，0），C （100，20），
设抛物线顶点为P （x 0，y 0），因为要求最低点高于地面为30-6=24（米），点A 高度为40米，所以y 0=-16．设过点A 的抛物线解析式为y=ax 2
+bx （a ＞0），则该抛物线满足：
222
010010020
41644a b ac b b y a a ⎧+=⎪⎨-=
=-=-⎪⎩
化简得：125b 2
+80b-16=0 解得：b 1=
425 ，b 2=4
5
- ∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， 有－
2b
a
＞0，而a ＞0
∴b ＜0，故b 1= 4
25
舍去 把b 2= 4
5
-
代入前式得：a= 1100
∴214
1005
y x x =-
答：所求的抛物线的解析式为214
1005
y x x =
- （5分）
四．28. 如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上
截得的线段AB 的长为6，（1）求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

（12分） 解：⑴ 设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2
+k
∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，7
39
) ∴y=a(x-4)2
+k
7
3169
a k =+ ………………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k …………② 由①②解得a=
3
9
，k=3- ∴二次函数的解析式为：y=
39
(x-4)2
3-（4分） ⑵ ∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB
∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ， ∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO
∴△BPM ∽△BDO ∴PM BM DO BO = ∴7
33
3973
PM ⨯== ∴点P 的坐标为(4，
3
) （4分）
⑶存在符合条件的点Q （1分）
，由⑴知点C(4，，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=
3∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N ，
如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=
BN=3，ON=10，此时点Q(10，，（1分）
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，（1分）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，（1分）
经检验，点(10，与(-2，都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，
点Q的坐标为(10，或(-2，或(4，)。