人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(52)

1.1 集合的概念
一、单选题
1．下列对象中，能组成集合的是（ ） A ．所有接近1的数的全体 B ．某班高个子男生的全体 C ．某校考试比较靠前的学生的全体
D ．大于2小于7的实数的全体
2．下列元素与集合的关系表示正确的是( ) ①1-∈N *；②2∉Z ；③32
∈Q；④π∈Q A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④
3．已知集合{}{}2
5,35,1,3M a a N =-+= ，若M N φ⋂≠，则实数a 的值为
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．4
4．已知集合{}|21M x Z x =∈-<≤，则M 的元素个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．已知x ，y 都是非零实数，||||||
x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ） A ．3A ∈，1A -∉ B ．3A ∈，1A -∈ C ．3A ∉，1A -∈ D ．3A ∉，1A -∉ 6．设集合A=－1,0,1},B=0,1,2},若x∈A,且x B,则x 等于 A ．－1 B ．0
C ．1
D ．2
7．已知集合A ＝x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是（ ）
A ．0∈A
B ．1.5∉A
C ．－1∉A
D ．6∈A
8．已知集合{}2
1,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1- B ．{}1-
C ．{}1,0,1-
D ．{}1
9．下列各项中，不可以组成集合的是（ ）
A ．所有的正数
B ．方程21x =-的实数根
C ．接近于0的数
D ．不等于0的偶数
10．下列各组对象不能组成集合的是（ ）
A ．俄罗斯世界杯参数队伍
B ．中国文学四大名著
C ．我国的直辖市
D ．抗日战争中著名的民族英雄
二、填空题
1．用符号“∈”或“∉”填空：
（1）0________N *；
（2）
，＞4}；
（3）(－1，1)________y|y ＝x 2}，(－1，1)________(x ，y)|y ＝x 2}． 2．若a∈4，5，6}且a∈6，7}，则a 的值为______．
3．已知集合A ＝0, 1}, B ＝2{,2}a a ，其中a R ∈, 我们把集合1212{|,,}x x x x x A x B =+∈∈记作A ＋B ，若集合A ＋B 中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是______.
4．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”.
（1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1A x
∈. 给出以下命题：
①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；
⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈； 其中真命题的序号是________.
5．设M 是由满足下列性质的函数()f x 构成的集合：在定义域内存在0x ，使得
()()()0011f x f x f +=+成立，已知下列函数：（1）()1f x x
=
；（2）()2x
f x =；（3）()()2l
g 2f x x =+；（4）()cos f x x π=，其中属于集合M 的函数是____________.（写出所有满
足要求的函数的序号） 三、解答题
1．请解决下列问题：
（1）设,,{1,},{1,}a b R P a Q b ∈==--，若P Q =，求-a b 的值；
（2）已知集合{|0},{|12}A x x a B x x =<<=<<，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.
2．已知集合A ＝x|ax 2﹣3x+1＝0，a∈R}． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；
（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
3．判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合{}2,4,6与集合{}4,2,6表示同一集合； （2）集合(){}2,3与集合(){}3,2表示同一集合； （3）集合{}3x x >与集合{}3t t >表示同一集合；
（4）集合{}2,y y x x R =∈与集合(){},2,x y y x x R =∈表示同一集合；
4．用描述法表示下列集合： （1）0，2，4，6，8}； （2）3，9，27，81，…}；
（3）1357,,,,2468
⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
；
（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
5．设集合W 是满足下列两个条件的无穷数列a n }的集合： ①
②
，其中n∈N *，M 是与n 无关的常数
(1)若a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，a 3=4，S 3=18，试探究S n }与集合W 之间的关系； (2)设数列b n }的通项为b n =5n-2n ，且b n }∈W，M 的最小值为m ，求m 的值； (3)在(2)的条件下，设，求证：数列C n }中任意不同的三项都不能
成为等比数列．
参考答案
一、单选题 1．D
解析：根据集合元素的特性：确定性即可排除ABC ，进而得到正确选项. 详解：
由集合元素的特性：ABC 不符合确定性原则，D 可表示为{|27}x x <<， 故选：D 2．B
解析：根据正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系. 详解：
①
1-不是正整数，∴1-∈N *Z 正确；
③3
2是有理数，∴32
Q ∈正确；④π是无理数，∴π∈Q 错误；∴表示正确的为②③． 故选B ． 点睛：
本题考查正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．C
解析：由M N φ⋂≠根据交集的定义可得，2351a a 或2353a a ,解方程即可得到结论. 详解：
因为集合{}{}2
5,35,1,3M a a N =-+= ，
M N φ⋂≠， 所以2351a a 或2353a a ， 即2340a a 或2320a a ； 解2340a a 得，此方程无解； 解2320a a 得，1a =或2a =； 综上，a 的值为1或2 ，故选C. 点睛：
本题主要考查集合交集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.
4．B
解析：根据题意求出集合中的元素，即可得出结果. 详解：
因为{}{}|211,0,1M x Z x =∈-<≤=-， 所以M 的元素个数为3. 故选：B 点睛：
本题主要考查集合中元素个数的判定，熟记集合的表示方法即可，属于基础题型. 5．B
解析：分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x
y
xy
z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 详解：
当0x >，0y >时，1113z =++=； 当0x >，0y <时，1111z =--=-； 当0x <，0y >时，1111z =-+-=-； 当0x <，0y <时，1111z =--+=-. 所以3A ∈，1A -∈. 故选：B. 点睛：
本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题. 6．A
解析：x 表示在A 中除B 之外的元素.所以x=-1. 7．D
解析：根据集合的定义求解出集合A ，进而逐项验证答案即可. 详解：
∵A＝x∈N|x<6}，A ∴0,1,2,3,4,5}， ∴6∉A ，选项ABC 不符合题意，选项D 符合题意 故选：D.
8．A
解析：根据元素的互异性可得出关于实数a的不等式，由此可求得结果.
详解：
由已知条件可得21
a≠±.
≠
a，解得1
故选：A.
9．C
解析：利用集合的确定性进行求解即可，中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素
详解：
根据集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；
“接近于0的数”是不确定的元素，故接近于0的数不能组成集合
故答案选：C
点睛：
本题考查集合的含义问题，属于基础题
10．D
解析：根据集合的性质可逐项排除.
详解：
根据集合的性质，要求元素是确定的，而D中什么情况算是著名，没有明确的界限，不确定，所以错误.
故选：D.
点睛：
本题考查集合的性质，属于基础题.
二、填空题
1．∉∉∉ ∈ ∉ ∈
解析：由正整数集、整数集的定义可得*
∉Z；通过比较大小，可得{|x x，
0N
x x；通过集合中元素是点还是数，可得(－1，1) ∉y|y＝x2}，(－1，1)∈(x，{|4}
>
y)|y＝x2}.
详解：
（1）*
∉Z；
0N
（2）22(23)>，∴>，∴{|<x x ；
22
(32)4>，即4>，∴{|4}>x x ；
（3）(－1，1)为点，y|y ＝x 2}中元素为数，故(－1，1) ∉y|y ＝x 2}． 又∵(－1)2＝1，∴(－1，1)∈(x ，y)|y ＝x 2}． 故答案为：∉；∉；∉；∈；∉；∈ 点睛：
本题考查了元素与集合的关系，考查了理解辨析能力，属于基础题目. 2．6 详解：
解：根据题意a∈4，5，6}∩6，7}=6}； ∴a=6． 故答案为6．
【点评】考查列举法表示集合的定义及形式，元素与集合的关系及表示，以及集合的交集的运算．
3．(0, 2)
解析：只要解不等式2121a a +<+即得． 详解：
由题意2121a a +<+，解得02a <<，即a 的取值范围是(0,2)． 故答案为(0,2)． 点睛：
本题考查集合的创新问题，解题中需要理解新概念，转化为旧知识．如本题转化为解不等式
2121a a +<+．
4．③④⑤
解析：取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断⑤的正误. 详解：
对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误； 对于命题②，2Z ∈，但12
Z ∉，②错误；
对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当y A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈， 当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确. 故答案为：③④⑤. 点睛：
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
5．（2）（4）
解析：根据集合M 的定义，可根据函数的解析式，()()()0011f x f x f +=+构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M 的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M 的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案． 详解：
解：（1）中，若存在x ，使()()()11f x f x f +=+ 则
11
11x x
=++ 即210x x ++=，
△1430=-=-<，故方程无解．即1()f x M x
=∉ （2）中，存在1x =，使()1(1)2()1x f x f x f ++==
+22x =+成立，即()2x f x M
=∈；
（3）中，若存在x ，使()()()11f x f x f +=+ 则22[(1)2](2)3lg x lg x lg ++=++ 即22230x x -+=，
△424200=-=-<，故方程无解．即2()(2)f x lg x M =+∉
（4）存在13
x =，使()()(1)cos (1)1f x x f x f π+=+=+cos cos x ππ=+成立，即()cos f x x M π=∈； 故答案为：（2）（4） 点睛：
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，及其它方程的解法，掌握判断元素与集合关系的方法，即元素是否满足集合的性质是解答本题的关键．
三、解答题 1．（1）0a b -= （2）2a ≥
解析：（1）直接根据集合相等得到答案.
（2）根据集合的包含关系得到2a ≥得到答案. 详解：
（1）由于P Q =，所以1a =-，且1b -=，0a b ∴-=. （2）{|0},{|12}A x x a B x x =<<=<<，且B A ⊆，2a ∴≥ 如图所示.
点睛：
本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力.
2．（1）94
a >（2）{|0a a =或9}4
a ≥
解析：（1）当A φ=时，得到方程2310ax x -+=无实数根，结合一元二次方程的性质，即可求解；
（2）由集合A 中至多只有一个元素，则A φ=或A 中只有一个元素，结合一元二次方程的性质，即可求解. 详解：
（1）由题意，集合A φ=，则方程2310ax x -+=无实数根， 则0940
a a ≠⎧⎨
∆=-<⎩，解得9
4a >，
所以当A 是空集，a 的取值范围为9
4
a >．
（2）由题意，集合A 中至多只有一个元素，则A φ=或A 中只有一个元素， ①当A φ=时，由（1）得94
a >； ②当A 中只有一个元素时，则0a =或0
940a a ≠⎧⎨∆=-=⎩
，
解得0a =或94
a =．
综上，若A 中至多只有一个元素，a 的取值范围为a|0a =或9}4
a ≥． 点睛：
本题主要考查了利用集合中元素的个数求解参数问题，其中解答中熟记元素与集合的关系，合理应用一元二次方程的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误
解析：（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合.
详解：
（1）集合元素具有无序性，{}2,4,6与{}4,2,6元素完全相同，故为同一集合，正确
（2）两集合为点集，()2,3与()3,2表示的点不同 (){}(){}2,33,2∴≠
∴两集合表示的不是同一集合，命题错误
（3）{}3x x >与{}3t t >均表示大于3的所有实数的集合 {}{}33x x t t ∴>=>
即两集合表示的是同一集合，命题正确
（4）{}2,y y x x R =∈为数集；(){},2,x y y x x R =∈为点集
∴两集合表示的不是同一集合，命题错误
点睛：
本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别.
4．（1）x∈N|0≤x<10，且x 是偶数}；（2）x|x ＝3n ，n∈N *}；（3）
*21|,2n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭
；（4）x|x ＝5n ＋2，n∈Z}；（5）(x ，y)| -1≤x≤32，-12≤y≤1且xy≥0}.
解析：（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的n 次幂，n 从1开始的整数，
（3）集合的分子为奇数，可表示为2n -1，分母为偶数，可以表示为2n ，（4）根据被除数=商×除数+余数，（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，
详解：
（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为x∈N|0≤x<10，且x 是偶数}；
（2）集合为3的n 次幂，n 从1开始的整数，则用描述法表示为x|x ＝3n ，n∈N *}；
（3）该集合的分子为奇数，可表示为2n -1，分母为偶数，可以表示为2n ，且n 为自然数，所以集合用描述法表示为*21|,2n x x n N n -⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭
； （4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为x|x ＝5n ＋2，n∈Z}；
（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表
示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为(x，y)| -1≤x≤3
2
，-
1
2
≤y≤1且
xy≥0}.
5．(1) S
n
}⊆W ； (2) M的最小值为7； (3) 见解析.
解析：第一问利用S
n
=-n2+9n
满足①当n=4或5时，S
n
取最大值20
第二问中b
n+1-b
n
=5-2n可知b
n
}中最大项是b
3
=7
∴ M≥7 M的最小值为7 …………8分
第三问中，假设C
n }中存在三项b
p
、b
q
、b
r
（p、q、r互不相等）
成等比数列，则b
q 2=b
p
·b
r
∴
∴
∵ p、q、r∈N*
∴ p=r与p≠r矛盾
解：(1) S
n
=-n2+9n
满足①
当n=4或5时，S
n
取最大值20
∴S
n ≤20满足② ∴S
n
}∈W …………4分
(2) b
n+1-b
n
=5-2n可知b
n
}中最大项是b
3
=7
∴ M≥7 M的最小值为7 …………8分
(3)，假设C
n }中存在三项b
p
、b
q
、b
r
（p、q、r互不相等）
成等比数列，则b
q 2=b
p
·b
r
∴
∴
∵ p、q、r∈N*
∴ p=r与p≠r矛盾
∴ C
n
}中任意不同的三项都不能成为等比数列…………12分。