高考数学文81.docx

训练目标 (1)熟记复数的有关概念；(2)掌握复数代数形式的四则运算；(3)理解并能简单应

用复数的几何意义.

训练题型 (1)复数及其相关概念的应用；(2)复数的计算；(3)复数的模与共轭复数的求解与

应用；(4)复数的几何意义的应用.

解题策略 (1)正确理解复数的有关概念，会利用复数相等列方程；(2)复数除法的运算是难

点，应重点掌握；(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系. 1．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1z 2是实数，则t ＝________.

2．(2015·安徽屯溪一中月考)若复数z 满足(1＋3i)z ＝23i(i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在第________象限．

3．若z ＝sin θ－35＋(cos θ－45)i 是纯虚数，则tan(θ－π4

)＝________. 4．(2015·山东日照一中阶段检测)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.

5．设i 是虚数单位，复数1＋a i 3－i

为纯虚数，则实数a 的值为________． 6．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a ＋b ＝1，现有如下三个结论：

①z 可能为实数；

②z 不可能为纯虚数；

③若z 的共轭复数为z ，则z ·

z ＝a 2＋b 2. 其中正确结论的个数为________．

7．(2015·苏北三市高三第二次调研考试)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b 的值是________．

8．(2015·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 016，则z ＋10z

的模等于________． 9．(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2

对应的点在复平面内的第四象限，则实数a 的取值范围为________________．

10．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i i

(i 为虚数单位)，则|z |＝______. 11．下列命题中正确的是________．

①已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数”的充要条件；

②当z 是非零实数时，|z ＋1z

|≥2恒成立； ③复数z ＝(1－i)3的实部和虚部都是－2；

④设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z ＝－i.

12．已知复数z ＝1－i 在复平面内对应的向量为O Z →，把OZ →按逆时针方向旋转θ得到一个新

向量OZ 1→.若OZ 1→对应一个纯虚数z 1，则当θ取最小正角时，z 1＝________.

13．若复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a

＋(2a －5)i ，z 1＋z 2是实数，则实数a ＝________. 14．已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射f ：C →R 满足对任意的z 1，z 2∈C ，以及任意的λ∈R ，都有f (λz 1＋(1－λ)z 2)＝λf (z 1)＋(1－λ)f (z 2)，则称映射f 具有性质P ，给出如下映射：

①f 1：C →R ，f 1(z )＝x －y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；

②f 2：C →R ，f 2(z )＝x 2－y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )；

③f 3：C →R ，f 3(z )＝2x ＋y ，z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．

其中具有性质P 的映射为________．(写出所有满足条件的映射的序号)

答案解析

1．－34

2.一

3.－7

4.3＋4i

5.3 6．2

解析 当b ＝0时，a ＝1，此时z ＝1为实数，故①正确；

当a ＝0时，b ＝1，此时z ＝i 为纯虚数，故②错误；

z ·

z ＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2，故③正确． 7．0

解析 ∵(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，

∴(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ＝10i ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

3a －4b ＝0，4a ＋3b ＝10，∴3a －4b ＝0. 8．6 2

解析 z ＝i ＋i 2 016＝1＋i ，z ＝1－i ， ∴z ＋10z ＝1－i ＋101＋i

＝1－i ＋10×1－i 2＝6－6i ， 其模为6 2.

9．(－6，32

) 解析 z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝(3－a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－2a 5－6＋a 5

i ， 因为z 1z 2

对应的点在复平面内的第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

3－2a >0，6＋a >0，解得－6<a <32. 10.17 11.②③

12.2i

解析因为旋转时复数的模不发生变化，

又z＝1－i在复平面内对应的点在第四象限，

所以复数z1在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，所以z1＝|1－i|i＝2i.

13．3

解析z1＋z2＝

3

a＋5

＋(a2－10)i＋

2

1－a

＋(2a－5)i

＝(

3

a＋5

＋

2

1－a

)＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

＝

a－13

(a＋5)(a－1)

＋(a2＋2a－15)i，

∵z1＋z2是实数，

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.

又(a＋5)(a－1)≠0，

∴a≠－5且a≠1，

故a＝3.

14．①③

解析设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，

则λz1＋(1－λ)z2＝[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]i.

对于①，f1(λz1＋(1－λ)z2)＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，

而λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)

＝λ(a－b)＋(1－λ)(c－d)

＝[aλ＋c(1－λ)]－[bλ＋d(1－λ)]，

∴f1(λz1＋(1－λ)z2)

＝λf1(z1)＋(1－λ)f1(z2)，

所以f1具有性质P；

对于②，f2(λz1＋(1－λ)z2)

＝[aλ＋c(1－λ)]2－[bλ＋d(1－λ)]，

而λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)

＝λ(a2－b)＋(1－λ)(c2－d)，

显然f2(λz1＋(1－λ)z2)与λf2(z1)＋(1－λ)f2(z2)不恒相等，

所以f2不具有性质P；

对于③，f3(λz1＋(1－λ)z2)＝2[aλ＋c(1－λ)]＋[bλ＋d(1－λ)]，而λf3(z1)＋(1－λ)f3(z2)＝λ(2a＋b)＋