北京市海淀区清华附中2022~2023学年第一学期高二期末数学试卷

高二第一学期期末试卷

数学

（清华附中高21级） 2023.1.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。 1．已知集合{2,1,0,1,2}A =−−，{12}B x x =−<<，则A B =（ ）

A ．{0,1}

B ．{1,0,1}−

C ．{012},,

D ．{1012}−,,,

2．在复平面内，复数i

1i

−对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．双曲线22

1169x y −

=的渐近线方程为（ ） A ．34y x =± B ．43y x =± C ．35y x =± D ．9

16

y x =±

4．设函数331

()f x x x

=−

，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0+)∞，

单调递增 B ．奇函数，且在(0+)∞，

单调递减 C ．偶函数，且在(0+)∞，

单调递增 D ．偶函数，且在(0+)∞，

单调递减 5．已知,αβ是两个不同的平面，直线l α⊂，那么“αβ‖”是“l β‖”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数1,0,()2,0x x x f x a x ⎧<⎪

=⎨⎪ −⎩

≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(,0)−∞

B ．(0,)+∞

C ．(,1]−∞

D ．[1,)+∞

7．点P 在抛物线24y x =上，则P 到直线1x =−的距离与到直线34120x y −+=的距离之和的最小值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 8．如图，半径为1的半球内有一内接正六棱锥P －ABCDEF ， 则异面直线PB 与AF 所成的角为（ ） A ．512π B ．3

π

C ．

4

π

D ．

2

π

9. 已知直线l ：1y mx m =−−，P 为圆C ：224210x y x y +−−+=上一动点，设P 到直线

l 距离的最大值为()d m ，当()d m 最大时，m 的值为（ ）

A ．12

−

B ．32−

C ．2

3

D ．2

10．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱11B C 的中点. 动点P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论： ①存在点P ，使得1PA PE =； ②存在点P ，使得1BD ⊥平面1PA E ； ③1PA E ∆的面积越来越小； ④四面体11A PB E 的体积不变. 其中，所有正确的结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11

．函数y =

的定义域是______________． 12．已知双曲线22

22:1x y C a b

−=(0a >,0)b >

的焦点到其渐近线的距离

为5，则a = .

13．若2

4AB AC AB ⋅==，且||1AP =，则||AB = ；CP AB ⋅的最大值为 . 14．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，前n 项乘积为n T ，27T T =，

676a a +=，则公比q = ；满足n n S T >的正整数n 的最大值为 .

15．已知点(20)P ,和圆22:36O x y +=上两个不同的点M ，N ，满足90MPN ∠=︒，Q 是弦MN 的中点，给出下列四个结论： ①||MP 的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；

③若点(53)A ,，点(55)B ,，则存在点Q ，使得90AQB ∠=︒； ④△MPN

面积的最大值是其中所有正确结论的序号是 .

C

1

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题14分）已知函数()4sin cos()3f x x x m π

=−+的最大值与最小值之和为0.

（Ⅰ）求m 的值以及()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]a 上是增函数，求实数a 的最大值.

17．（本小题14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，现有下列四个条件：

)2222a c b ac +−=−；

②cos

22

A =

；

③a ④2b =. （Ⅰ）条件①和条件②可以同时成立吗？请说明理由；

（Ⅱ）请从上述四个条件中选择三个条件作为已知，使得ABC ∆存在且唯一，并求ABC ∆的面积.

18．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，11AAC C ABC ⊥侧面底面，D 为AC 中点，AC =AA 1=2 ，AB =BC =√6 . （Ⅰ）求证：11//B C A BD 平面；

（Ⅱ）求证：平面BDA 1⊥平面AA 1C 1C ；

（Ⅲ）若B 1C =2√2，求三棱柱111ABC A B C −的体积.

19．（本小题14分）已知函数ln ()x f x x

=

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求曲线()y f x =与直线1y x =−的公共点个数，并说明理由；

（Ⅲ）若对于任意(0,)x ∈+∞，不等式()2f x ax <+恒成立，直接写出．．．．实数a 的取值范围.

20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b

+=>>

的离心率2e =，短轴长为2.

（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；

（Ⅱ）设A 为椭圆W 的右顶点，,C D 是y 轴上关于x 轴对称的两点，直线AC 与椭圆W 的另一个交点为B ，点E 为AB 中点，点H 在直线AD 上且满足CH OE ⊥（O 为坐标原点），记,AEH ACD ∆∆的面积分别为12,S S ，若123

25

S S =，求直线AB 的斜率.