复变函数与积分变换B试卷

浙江理工大学20 —20 学年第 学期 《复变函数与积分变换B 》期末试卷（ B ）卷
班级： 学号： 姓名：
一． 填空题。

（10⨯3=30分）
1. 设1z =，则||__,arg __,__z z z ===
2、Re (,0)z
n e s z
=_________________.
3．级数0
(cos )n n in z ∞
=∑的收敛半径为____________________.
4．设a 为函数()
()()
z f z z ϕψ=
的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠，则Re [(),]s f z a =_____________________.
5．设(cos sin )z r i θθ=+，则n z =___________________． 6. 单位脉冲函数()t δ的拉氏变换F(s)为___________________． 7．设2
1
()1f z z =
-，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_________________． 8．10
i z ze dz +=⎰___________________________．
9．设21
()sin f z z z
=，则()f z 在0z =处的留数为________________________．
10.1
(1)4
i e
π+= _______________________．
二、选择题(5⨯4=20分)
1、复数sin
cos
3
3
z i π
π
=-的幅角主值为（ ）。

A.6π
-
B.
6π C.3π- D.3
π
2．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a
为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰
+-c n a z z f 1
)()
(等于（ ）
A ．)()!
1(2)1(a f n i n ++π B ．)(!2a f n i
π C ．)(2)
(a if
n π D ．
)(!
2)
(a f n i
n π
3．幂级数∑∞
=1
n 1
-n n!z 的收敛区域为（ ）
A ．+∞<<|z |0
B ．+∞<|z |
C ．-1|z |0<<
D ．1|z |< 4．3z π=是函数f(z)=
π
π
-3z )3-sin(z 的（ ） A ． 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点
5．设Q （z ）在点z=0处解析，1)
-z(z Q(z)
f(z)=
,则Res[f(z),0]等于（ ）
A ． Q （0）
B ．－Q （0）
C ．Q ′（0）
D ．－Q ′（0）
三、计算题（50分） 1.求221
,c z dz c z z
--⎰
为包含||1z =在内的任意简单正向曲线。

（10分）
2.把下列函数展成z 的幂级数；(10分) (1).
2
1
(1)z + (2).ln(1)z +
3．设22u x y xy =-+，验证u 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之
()1f i i =-+．
（9分）
4．试将函数1
()(1)(2)
f z z z =
--在圆环域12z <<内展开为洛朗级数。

（6分）
5.求函数||()(0)t f t e ββ-=>的Fourier 变换，并推证
||
220
cos .2t t d e βωπωβωβ
+∞
-=+⎰
（9分）
6． 求正弦函数()sin ()f t kt k =为实数的Laplace 变换。

(6分)
浙江理工大学2009 —2010 学年第 一 学期
《复变函数与积分变换 B 》期末试卷（ B ）卷标准答案和评分标准
一．填空题。

1. 2, 3
π
-
, 1; 2.
1(1)!n - . 3．1e 4. ()()
a a ϕψ' 5. ()cos sin n r n i n θθ+；6.1
7、2421n
z z z
+++++ ；8、11i
ie
++ ；9、16-
14(1)i +；
二．选择题
1.A ; 2 D 3.B; 4. B; 5.B
三．计算题
1.
221c z dz z z --⎰ =1221z dz c z z -+-⎰ 2221
z dz c z z --⎰ (2')
=1211z z dz c z --⎰ +2211z z dz c z --⎰ (8') =012121
2|2|41z z z z i i i z z
πππ==--⋅
+⋅=- (10') 2.(1).11
2
00
11[][],|z|1)<1(1(1)(1)n n n n n n d d n z dz z dz z z ∞∞+-===-=-=++--∑∑， (5') （2）.1
0000
ln(1)(1)(1),||111n z
z n n
n n n dz z z dz z z n z +∞∞==+==-=-<++∑∑⎰⎰， (10').
3. 解: 222,2x y u x y xy u x y u y x =-+⇒=+=-+
2222220u u
u x y
∂∂⇒+=-=⇒∂∂是调和函数. (3') (,)
(,)
(0,0)
(0,0)
(,)()(2)(2)x y x y y x v x y u dx u dy c y x dx x y dy c =-++=-+++⎰⎰
()(2)x
y x dx x y dy c =
-+++⎰
⎰
22
222
x y xy c =-+++ (7')
222
2
1
()()(2)222
x y f z u iv x y xy i xy ⇒=+=-++-
+++=22(1)2i z z +-. (9') 4. 12z <<时11111
()1(1)(2)212(1)(1)2f z z z z z z z z
-=
=-=-
------ (3') 111
2n n n n o n z z
+∞
+∞
+===--∑∑ (6')
22
22cos (3')jwt
t
dt wtdt w e
e
ββββ∞
+∞
--∞
==
+⎰⎰+-t -5.
F(w)=F[f(t)]=e
22
11
2()()cos 2jwt
f t F w dw wtdw w
e β
π
π
β+∞
+∞
-∞
⇒=
=
+⎰
⎰
22
2cos wt
dw w β
π
β+∞
=
+⎰
(6')
即
22
cos ()(0)22t
wt dw f t w e βππββββ
+∞
-==>+⎰
（9'） 6. 0
(sin )sin st
L kt kt dt e +∞
-=
⎰
(2')
2
2
22
(sin cos )(Re()0)st
k
s kt k kt s e
s k
s k
+∞
-=
--=
>++ (6')。