高数A复习题

高数A2下学期复习
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
称方程(1) 为平面的点法式方程.
2、平面的一般方程
将平面的点法式方程A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 进行整理，可得：
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0 令D Ax0 By0 Cz0,则点法式方程可写成一个关于x, y, z的 三元一次方程 Ax By Cz D 0。
反之，对于任意三元一次方程 Ax By Cz D 0，任取一个
满足此方程的数组x0，y0 , z0 ,即有Ax0 By0 Cz0 D 0，
r2prq0 •第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 •第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方 程的通解.
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1r2
有一对共轭复根: r1, 2i
yex(C1cosxC2sinx)
有一对共轭复根: r1, 2i yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解. 解 微分方程的特征方程为
r22r50. 特征方程的根为r112i, r212i, 是一对共轭复根, 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x).
通解形式
第八章 向量代数与空间解析几何
有一对共轭复根: r1, 2i
yex(C1cosxC2sinx)
例2 求方程y2yy0的通解.
解 微分方程的特征方程为 r22r10, 即(r1)20.
特征方程有两个相等的实根r1r21, 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex,即y(C1C2x)ex.
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解 有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1r2
求直线与平面的交点时常用此。
例 求直线 x 2 y 3 z 4 与平面
1
1
2
2x y z 6 的交点.
解 令x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t
y
3
t
代入平面方程, 得
z 4 2t
2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 t 1 再代入
得 x 1, y 2, z 2.
两端积分,得原方程通解为
即y
1 2
C1
x
2
C2
,
三、y f ( y, y)型的微分方程
特点： 右端不显含自变量x.
解法：设y' p( y)
则
y
dp dx
dp dy dy dx
p dp , dy
代入原方程, 化为关于 p(y) 的一阶微分方程
p dp f ( y, p) dy
设其通解为 p (y,C1)，即y' (y,C1)
例如：可以验证函数
y 1 x3 1和y 1 x3 C都是微分方程 dy x2的解，其中 C为任意常数
h
3
1 2
gt2
t
3 2和h
1 2
gt2
C1t
C2d都x 是微分方程dd2th2
g的解，
其中C1 , C2均为任意常数
从上述例子可以看出，微分方程的解可能含有也 可能不含有任意常数。
一般地，微分方程不含有任意常数的解称为微分 方程的特解。
如果方程
F(x, y, y', y'',, y(n) ) 0可表示为如下形式： y（n） a1(x) y（n1） an1(x) y'an (x) y g(x),则称 方程F (x, y, y',, y(n) ) 0为n阶线性微分方程， 其中a1(x),a2 (x),an (x)和g(x)均为自变量x的 已知函数。否则称为非线性微分方程。
a
xi
a
yj
azk ,
b bxi by j bzk,
c cxi cy j czk,
[abc]
(a
b)
c
ax bx
ay by
az bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
练习： 解
已 计[(知 算a [[a(abb)c]b()b2，(bc)]c()c](ca)a
).
[a b a c b b b c )] (c a)
e
2 dx x1
(
x
1)
5 2
e
2 dx x1
d
x
1
C(x 1)2 (x 1)2 (x 1)2 dx
C(x
1)2
2
(x
1) 2
(
x
1)
3 2
3
例2. 解方程
dy y ( x 1)5/ 2 dx x 1
解：
P(
x)
x
1
1
Q(x) (x 1)5/2
y
e
[ P( x)dx
Q(x)eP(x)dxdx C]
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程
设其通解为 p (x,C1) 即 y' (x,C1)
再次积分, 得原方程的通解 y (x, C1)dx C2
例 1 求方程xy''y' 0的通解
解 设y' p(x),则y'' p'(x)
代入原方程,得 xp p 0,（p 0）
解线性方程, 得 p C1x, 即y' C1x,
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角（. 锐角） 由于方向向量有两个方向，这里约定夹角为
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
直线 L2 :
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
m1m2 n1n2 p1 p2 m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：平行(包含重合)，相交(包含
垂直), 异面。
重点：两直线垂直、平行的条件
L1 : s1 (m1, n1, p1),
L2 : s2 (m2 , n2 , p2 )
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
例
L1 // L2
直线 L1 : 直s1线 sL2 2:
故原方程通解为 y C2ec1x .
4. 二阶常系数齐次线性微分方程:
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解 有两个不相等的实根: r1、r2
有两个相等的实根: r1r2
有一对共轭复根: r1, 2i yex(C1cosxC2sinx)
求ypyqy0的通解的步骤: •第一步 写出微分方程的特征方程
解 向量 M1M2 与直线平行
·M1
·M2
取
s
M1M2 (1,4,2)
所求直线方程为
x 1 1
y2z3 42
3. 直线的参数方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 m t
故
y
y0
nt
t为参数
(3)
z z0 p t
直线的参数式方程 S (m, n, p)
两直线的夹角公式
练习.
两 直 线L1 :
x1 1
y5 2
z8与 1
与L2
:
x y 2 y z
6的 3
夹
角
为(

C
).
A.
B.
C.
D.
提示
6
4
s1 (1,2,1)
3
2
s2 (1,1,0) (0,2,1) (1,1,2)
两直线的夹角公式:
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
(a
b)
c
(a
c)
c
0
c
(b
c)
c
(a b) a (a c) a 0 a (b c) a
2(a b ) c 2[abc ] 4.
二.空间直线的各种方程形式
1. 空间直线的一般形式
A1 x A2 x
B1 y C1z B2 y C2z
解法 y f ( x)dx C1,
y f (x)dx C1 dx
例1：求方程y'' ex 6x
解 y (ex 6x) dx ex 3x2 C1,
y ex 3x2 C1 dx,
ex x3 C1x C2.
二、y f ( x, y) 型的微分方程
特点：不显含未知函数y . 解法： 令y' p(x)，则 y p . 代入原方程, 化为关于变量 x , P 的一阶微分方程
m1 n1
m2 n2
s1 (1,4, 0),
s2
(0,0,1),
0, s1 s2 ,
即
p1 , p2
L1
L2 .
五. 平面及其方程
1. 平面的点法式方程
设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}.
对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直.
转化
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
两边积分即得方程的解。
练习: 求方程 dy ex y的通解 dx
解： 分离变量 eydy exdx
ey ex C
即 (ex C)ey 1 0
(C<0 )
3. 一阶线性微分方程 dy P(x)y Q(x)
dx
故原方程的通解
y e P(x)d x Q(x)e P(x)d xdx C
含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与 微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解。
注：这里所说的相互独立的任意常数是指，它们不能通 过合并而使得通解中的任意常数的个数减少
2.可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy dx
f1( x) f2 ( y)
M1(x)M2( y)dx N1(x)N2( y)dy 0
例1 求微分方程y2y3y0的通解. 解 微分方程的特征方程为
r22r30, 即(r1)(r3)0.
特征方程有两个不相等的实根r11, r23, 因此微分方程的通解为yC1exC2e3x.
❖特征方程的根与通解的关系
方程r2prq0的根的情况 方程ypyqy0的通解
有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1r2
y CeP(x)dx eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx
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练习：解方程
dy
2y
5
(x 1) 2
dx x 1
利用公式 y CeP(x)dx eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx
解：P(x) 2
Q(
x)
x
5
12
x 1
可得：y
Ce
2 dx x1
1
分离变量后积分, 得原方程的通解
(
dy y, C1 )
x
C2
例 1 求方程yy''y'2 0的通解
解 设y' p( y) 则 y p dp ,
dy
代入原方程得 y p dp p2 0, dy
即 p( y dp p) 0, dy
由 y dp p 0，可得 dy
p C1 y, 即 y' C1y
e
1 dx x1
(
x
1)5
/
2
e
1 dx x1
d
x
C
e
1 dx x1
(
x
1)5
/
2
e
1 dx x1
d
x
C
eln x1 ( x 1)5/ 2 eln x1 dx C
(x 1)[
x
3
12
d
x
C
]
(x
1)[2
(x
5
1) 2
C]
5
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要积分 二次即得通解 .
D1 D2
0 0
1 2
n1
(
A1,
B1,C1
);
n2
( A2, B2,C2 )
i jk
z
1
(1) 2
L
O
y
x
S n1 n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
2.对称式——点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
例 求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程.S