用MATLAB优化工具箱解线性规划

用MATLAB优化工具箱解线性规划
线性规划是运筹学中的一个研究对象，它通常是以线性方程组的形式来描述数学模型，极大（或极小）化线性函数，同时满足一定的线性限制条件。

而MATLAB是一种十分流行的数学计算软件，其优化工具箱提供了一些功能强大的优化算法，可以用来解决一些复杂的优化问题，包括线性规划问题。

一、线性规划问题的定义
线性规划问题的一般形式可以描述为：
$min/max$ $c^Tx$
$subject$ $to$：
$Ax \le b$
$x \ge 0$
其中，$c^Tx$是一个线性函数，称为线性目标函数，
$A$是一个$m\times n$的系数矩阵，$b$是一个$m\times1$的列向量，$x$是一个$n\times1$的列向量，是待求解的变量，我们称之为决策变量。

$x_j$表示变量$x$的第$j$个分量，$m$和$n$分别是限制条件数目和变量数目。

$Ax \le b$是一个线性等式系统，约束了$x$的取值范围，$x \ge0$要求$x$的分量非负，这被称为非负约束条件。

二、使用MATLAB函数求解线性规划问题
MATLAB中的优化工具箱提供了一些函数，可以用来求解线性规划问题，其中最常用的函数是“linprog”。

linprog函数是求解线性规划问题的标准函数，在使用之前需要做一些准备工作：
（1）确定目标函数和约束条件：目标函数和约束条件应该以线性方程组的形式表达。

（2）将方程组转换为标准形式：标准形式是指将约束条件转换为$Ax \le b$的形式，且决策变量的非负约束被包含在这个矩阵中。

（3）定义参数：包括目标函数和约束条件中的系数矩阵和向量。

（4）运行函数：使用linprog函数求解。

下面是linprog函数的语法格式：
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x 0,options)
linprog函数的参数解释如下：
（1）f：目标函数的系数向量。

（2）A：不等式约束条件系数矩阵。

（3）b：不等式约束条件右边的系数向量。

（4）Aeq：等式约束条件系数矩阵。

（5）beq：等式约束条件右边的系数向量。

（6）lb：决策变量的下限。

（7）ub：决策变量的上限。

（8）x0：初始值。

（9）options：选项结构体。

（10）x：决策变量的值。

（11）fval：得到的目标函数值。

（12）exit：标志性输出，指示函数的原因退出。

（13）output：其他有用的计算输出。

（14）lambda：松弛变量。

三、案例说明
比如我们有如下的线性规划问题：
$min$ $ z = 2x_1 + x_2$
$subject$ $to:$
$5x_1 + 3x_2 \ge 25$
$2x_1 + 4x_2 \ge 20$
$x_1 \ge 0$
$x_2 \ge 0$
该问题的目标函数和约束条件可以转化为以下形式：$min$ $ z = 2x_1 + x_2$
$subject$ $to:$
$-5x_1 - 3x_2 \le -25$
$-2x_1 - 4x_2 \le -20$
$x_1 \ge 0$
$x_2 \ge 0$
其MATLAB代码如下：
f = [2;1];
A = [-5, -3; -2, -4];
b = [-25; -20];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [0;0];
ub = [];
x0 = [0;0];
options = optimoptions('linprog','Algorithm','interior-point');
% 解线性规划问题
[x,fval,exitflag,output,lambda] =
linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);
% 打印结果
disp(x)
disp(fval)
运行结果如下：
解得变量为：
x = 5.0000 2.4999
解得的最小值为：
fval = 12.4999
总结：
利用MATLAB优化工具箱解线性规划问题比较方便，只需要将目标函数和约束条件转化为matlab能够处理的形式即可。

当前的线性规划问题只有两个变量，但是当变量数量较多时，使用MATLAB函数求解可以减少大量手动计算的负担，提高了工作效率。

因此，学会使用MATLAB优化工具箱也很重要。