随机变量的函数及其分布

只对 g( x) 0 的情形进行证明。 此时，g(x)的反函数h(y)是可导的，且 h( y) 0,
FY ( y ) P Y y P g ( X ) y FY ( y ) P g ( X ) y 0
当 y g() 时，
当 g() y g() 时，
0, y 0 P X arcsin y P arcsin y X , 0 y 1 1, y 1
0, y 0 FX (arcsin y ) FX ( ) FX ( arcsin y ),0 y 1 1, y 1
例7
设某零件的内径X～N(11，1)，并规定当X<10或X>12零件
1 Y 20 5 X 10 10 X 12 X 12
为不合格。又知销售利润Y与X的关系为 求Y的分布律。
解
Y为离散型随机变量，所有可能取值为－5,－1,20，且
P(Y=－5)=P(X>12) =1－P(X≤12) =1－Φ(
=1－Φ(1) =1－0.84=0.16
12 11 ) 1
P(Y=－1) =P(X<10) =Φ( 10 11) =1－Φ(1)=0.16
1
P(Y=20) =P(10≤X≤12) =Φ(1)－Φ(－1) =2Φ(1)－1 =0.68 即Y的分布律为
Y P －5 0.16 －1 0.16 20 0.68
解
X
sin
1
X
2
4
5
1
6 0
7
1
8

2
1
0 1
0
0
概率
1 2
1 1 1 1 1 2 2 23 2 4 25 2 6
1 27
1 28
于是有
Y P
1
0
1
8 15
1 3
2 15
同理可求 Y cos

2
X 的分布列等.
二、连续型随机变量的函数的分布
设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f X x , y = g(x) 为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数 fY y . 方法1 一般方法 (1) 求Y的分布函数 FY(y)
1 , - x f X ( x) 2 2 其它 0,
概率密度
求随机变量函数Y＝sinX的概率密度.
解
而 当 1 y 1 时， 1 arcsin y 1 dx (arcsin y ) P( X arcsin y ) 2 2 2
FY ( y)
根据分布函数的定义
P Y y P g ( X ) y
其中 B x g ( x ) y
P( X B) f X ( x)dx,
B


(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
fY ( y) FY ( y)
例2
设随机变量 X U (0,1) ，求Y=X2的概率密度。



y y
f X ( x)dx
y 1dx 0 1,
y, 0 y 1 y 1
即Y的分布函数为
y0 0, FY ( y ) y , 0 y 1 1, y1
所以，Y的概率密度为
1 , 0 y 1, fY ( y ) 2 y 0, 其他.
2
y0 其他
例4
设随机变量 X
N(， 2 ) ，
试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布； 特别有
X

~ N (0,1).
解：
当
y b FY ( y ) P (Y y ) P aX b y P X a
a0 时
ln y x 0 e dx, 0,
ln y y 0 f X x dx, y0 0,
y 1 y 1
y 1 y 1
所以
1 , 2 fY ( y ) Fy y y 0,
例6
设随机变量X在区间 , 上服从均匀分布，即 2 2
定理
方法2
公式法
设随机变量X具有概率密度 f X ( x), x , y=g(x)是一单调函数，且具有一阶连续导数，
则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y ) f X h( y ) h( y )
其中h(y)是g(x)的反函数。 证明略
证：
于是，
p1
p2
p3
．．．．． pn．．．．
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加．
例1
设随机变量X的概率分布为
X
P
-2
0.10
-1
0.20
0
0.25
1
0.20
2
0.15
3
0.10
求以下随机变量的分布律(1) Y1=X－1
(2) Y2=-2X
(3) Y3=X2。
解： 由X的分布律可得下表：
故满足定理要求，且其反函数
x h( y )
y (0 y 1),
h( y )
1 2 y
(0 y 1),
所以，Y的概率密度为
1 f X h( y ) h( y ) , 0 y 1, 2 y , 0 y 1, fY ( y ) 0, 0， 其他. 其他.
解： 因为 X
U (0,1) ，故X的密度函数为 1, 0 x 1, f X ( x) 其他. 0,
FY ( y ) P (Y y ) P X 2 y


2 故当 y<0时，有 P X y 0, 即 FY ( y ) 0
当y≥0时，有 FY ( y ) P X 2 y P y X y
N (b a ,(a )2 ).
f X (x) 0 若X的密度函数为 f X (x)=0,
a x b， 其它，
则条件可减弱为“g(x)在区间（a,b）上单调且一阶连续可导”，
而
f X h( y ) h( y ) , fY ( y ) 0,
P X 0.10 -2 0.20 －1 0.25 0 0.20 1 0.15 2 0.10 3
X－1 －2X X2
－3 4 4
－2 2 1
－1 0 0
0 －2 1
1 －4 4
2 －6 9
故由上表可得 (1)Y1=X－1 的分布律为 Y1 P －3 0.1 －2 0.2 －1 0.25 0 0.2 1 0.15 2 0.1
第六章
随机变量的函数及其分布
离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布
问题：
已知随机变量X、(X，Y)的分布律、联合分布律或
是密度函数、联合密度函数，求随机变量Y＝g(X)、
Z ＝g(X，Y)的分布律或是密度函数。
方法：
将与Y、Z有关的事件转化成X、 (X,Y)的事件
§6.1
一维随机变量的函数及其分布
例7
设随机变量X在区间［0，π］上服从均匀分布，即
1 0 x , f X ( x) 0, 其它
概率密度
y 1 y y y arcsin
arcsin y
求随机变量函数Y＝sinX的概率密度.
解
Y的分布函数为
FY ( y ) P Y y P sin X y
1 , y
fY ( y ) f X h( y ) h( y ) f X ln( y )
e ln y 1 , y 0，
1 y
ln y 0,
其他.
1 2 , y 1, y 0, 其他.
例5 解
设随机变量 X
N(， 2 ) ，
一、离散型随机变量的函数的分布
若X为离散型 随机变量, 其分布律为 X pk x1 p1 x2 p2 x3 ．．．．．．． xn．．．． p3 ．．．．．．．pn．．．．
则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为 Y g( x1) g( x2) g( x3)．．．．． g (xn)．．．．
pk
1 2
所以

y b a
e
( x )2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
dx
1 2 a e
y b a 2 2
2
fY ( y ) Fy y


1 2 a
e

y a b
2 a 2 2
2
y R,
a 0， 时同理可证.
因此 Y ~ N a b, a
例3
Y
设X～N(0，1)，求 Y=│X│的密度函数.
P X y
x2 2
解：F ( y) P(Y y)
y 1 e P y X y y 2 0
所以
dx,
y0 y0
fY ( y ) Fy y
2 y e 2, 0,
FY ( y ) P g ( X ) y ＝P
X h( y ) F
X
(h( y))
当 g() y 时，
故Y的密度函数为
FY ( y ) P g ( X ) y 1
f X h( y ) h( y ), fY ( y ) 0,
fY ( y ) f X ( h( y )) h( y )
1 2
e
yb )2 a 2 2 (

1 2 (a )
e

y ( b a )
2( a )2
2
1 a
， － y
Y
同理可证，a<0时，
即 Y
N (b a ,(a )2 ).
试证明X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。 由于 X N(， 2 ), 所以X的密度函数为
f X ( x)
1 2
e
( x )2 2 2
， - x
下面只对a>0证明结论成立。函数 y=ax+b在实数集R上可导， 且恒有 y a 0, 其反函数为x=h(y)=(y－b)/a, y∈(－∞，+∞)， 则Y的密度函数为
(2) Y2=-2X的分布律为 Y2 P －6 0.1 －4 0.15 －2 0.2 0 0.25 2 0.2 4 0.1
(3) Y3=X2的分布律为 Y3 P 0 0.25 1 0.4 4 0.25 9 0.1
例
X
已知X的分布律为
1
2
n
1 2n
概率
1 2
1 22
求 Y sin

2
3
X 的分律列.
y 1, 0, FY ( y) P(Y y) P(sin X y) P( X arcsin y ), 1 y 1, 2 y 1. 1,
Y的分布函数为
因此
1 , 1 y 1 2 fY ( y) F '( y) 1 y 0, 其他.
y ，
其它，
其中 ( , ) 是h(y)的定义域,
=ming(a ),g(b), =maxg(a ),g(b),
例6
设随机变量 X U (0,1) ，求Y=X2的概率密度。 1, 0 x 1, 解： 因为 X U (0,1) ，故X的密度函数为 f X ( x ) 其他. 0, 函数y=x2 在区间（0,1）上单调递增，且一阶连续可导，
g ( ) y g ( ),
其它
例4
设随机变量 X
E (1) ，求Y=eX的概率密度。
因为 X 解：
e x , 0 x, E (1) ，故X的密度函数为 f X ( x ) 0, 其他.
函数y=ex 在实数集R上单调递增，且一阶连续可导，
故满足定理要求，且其反函数 所以，Y的密度函数为 x=h(y)=l n y，h( y )
特别当 a , b
1

2
2 .
时，
即有
Y
X

~ N (0,1).
例5 解：
设 X ~ E 1 ，求 Y e X 的密度函数.
FY ( y ) P (Y y ) P e X y


y0 y0
P X ln y , 0,